405. Внутри квадрата ABCD найдите все точки X, для которых AХ+CX = BX+DX.

#олмат
#геом

​Сегодня у Никиты Жуковского -- одного из админов Ежидзе день рождения! Давайте поставим лойсы, чтобы он продолжал радовать нас отличным контентом!

​​406. Докажите, что (n+1)⋅...⋅2n делится на 2ⁿ, но не на 2ⁿ⁺¹.

#олмат
#тч

​​407. В одном стакане было молоко, а в другом -- столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

#олмат
#бессмертнаяклассика

​​408. В клетчатом квадрате 6×6, вначале пустом, Саша закрашивает по одной клетке, вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел в них будет равна 60.

#олмат
#текстовыезадачи

Друзья!
Из-за многочисленных жалоб на то, что решения не открываются без впн, мы решили поменять формат: теперь подсказки и решения будут публиковаться не в telegraph, а в другом редакторе статей. Посмотрим, что из этого получится. Оставайтесь с нами!

409. Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ... , 99, 100 разложить на 10 кучек разного веса (и количества гирь) так, чтобы чем тяжелее была кучка, тем меньше было в ней гирь?

#олмат
#гири

​​410. В магазине есть палочки только простых длин, но зато всех: 2 см, 3 см, 5 см, 7 см и т.д. Какое наименьшее число палочек разных длин нужно купить, чтобы сложить из них контур квадрата?

#олмат
#оценкаплюспример

​​411. В авиакомпании 17 пилотов. Известно, что среди любых трех пилотов хотя бы два летали в одном экипаже. Докажите, что есть пилот, который летал в одном экипаже не менее чем с восемью другими.

#олмат
#текстовыезадачи

412. Можно ли представить число 110 в виде суммы натуральных слагаемых (не обязательно различных), сумма обратных величин которых равна 1?

#олмат
#тч
#алгебра

413. На новогоднюю ёлку отправились 30 учеников. Они построились парами так, что ровно половина всех девочек оказалась в парах с мальчиками. Докажите, что их не удастся перестроить так, чтобы ровно половина всех мальчиков оказалась в парах с девочками.

#олмат
#текстовыезадачи

​414. Докажите, что среди чисел, записываемых только цифрами 1 и 0, найдется число, кратное 414414.

#олмат
#делимость

415. Существует ли многочлен P(x) такой, что P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=4, P(5)=5, а его значения при всех остальных натуральных x – иррациональны?

#олмат
#многочлены

416. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 2003?

#олмат
#тч

417. Отрезок [0;1] разделили на 2¹⁰⁰ равных частей. В каком отношении (считая от левого конца) точка 1/3 делит ту часть, в которую попадает?

#олмат
#тч

​418. На описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) лежит точка D. Она расположена на дуге CB, не содержащей точку A. Докажите, что AB + BC > AD + DC.

#олмат
#геометрия

419. У каждого из 11 островитян на лбу надпись «рыцарь» или «лжец». Островитяне видят все надписи, кроме своей, и заявляют «Все надписи, которые я вижу, соответствуют действительности». Сколько рыцарей могло быть среди них?

#олмат
#логика

420. В каждой клетке доски 8×8 написано некоторое натуральное число так, что у каждой пары клеток, соседних по ребру, числа отличаются на 1. Найдите наибольшую возможную сумму чисел на главных диагоналях, если на доске присутствуют числа 6 и 20.

#олмат

421. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

#олмат
#геом