285. Сумма нескольких натуральных чисел равна 20. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.

#олмат
#алгебра

287. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x²–3x+1)¹⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

#олмат
#алгебра

292. Функция f(x) непрерывна и задана на всей оси. Известно, что уравнение f(f(x))=x имеет решение. Докажите, что уравнение f(x)=x также имеет решение.

#олмат
#матан
#алгебра

334. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее — полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

#олмат
#алгебра

337. Известно, что a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b)=x. Найдите x.

#олмат
#алгебра

350. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 228 членов — целые числа, а все остальные члены не являются целыми числами?

#олмат
#алгебра

353. Что больше: ₑπ или πᵉ?

#олмат
#алгебра
#матан

​​358. Докажите, что для любого натурального n следующее выражение является целым числом:

#олмат
#алгебра

387. Вычеркните из произведения 1!·2!·3!·...·99!·100! один из ста факториалов, чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа.

#олмат
#тч
#алгебра

390. Найдите сумму всех семизначных чисел, полученных перестановкой цифр 1, 2, ..., 7.

#олмат
#алгебра

393. Натуральное число разрешено увеличить на любое целое число процентов от 1 до 100, если при этом получаем натуральное число. Найдите наименьшее натуральное число, которое нельзя при помощи таких операций получить из числа 1.

#олмат
#алгебра
#проценты

412. Можно ли представить число 110 в виде суммы натуральных слагаемых (не обязательно различных), сумма обратных величин которых равна 1?

#олмат
#тч
#алгебра

440. Для каких N>1 существуют N натуральных чисел, сумма которых равна их произведению?

#олмат
#алгебра

442. Решите в целых числах уравнение: 3x²+3y²+3z²+2x+2y+2z=28071996.

#олмат
#уравнения
#алгебра

456. Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень 2019-ой степени?

#олмат
#алгебра

462. На окружности стоят 50 единиц. За одну операцию можно выбрать 4 подряд стоящих числа и из любого из них вычесть единицу, одновременно прибавив единицу к трём остальным. Могут ли через несколько таких операций все числа стать равными 100?

#олмат
#алгебра

465. Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N четно.

#олмат
#алгебра