80. Перед вами мост через глубокую и широкую реку, на мосту стоит охранник. Ему было дано указание вешать тех людей, которые говорят правду и топить тех, кто лжёт. Что нужно сказать охраннику, чтобы он пропустил вас пройти через мост?

#олмат
#6класс
#логика
#бессмертнаяклассика

111. Какое наибольшее число следующих фигур можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие две друг друга не били:
а) коней; б) слонов; в) ладей; г) ферзей;
д) королей?

#олмат #8класс #шахматы
#оценкаплюспример
#бессмертнаяклассика

139. Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?

#олмат
#10класс
#тч
#бессмертнаяклассика

(Сейчас ещё раз повторим задачу 20, поскольку она черезвычайно важна)
154. Докажите, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

#олмат
#графы
#бессмертнаяклассика

183. В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все числа равны.

#олмат
#бессмертнаяклассика

Кто понял?

#математикишутят
#бессмертнаяклассика

264. Могут ли обе декартовы координаты всех вершин равностороннего треугольника быть целыми числами?

#олмат
#геометрия
#тч
#бессмертнаяклассика

280. Докажите, что число 100! не является полным квадратом.

#олмат
#тч
#бессмертнаяклассика

​​282. (Ханойские башни) Eсть три стержня и n колец разного размера (изначально все кольца на одном стержне). Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Докажите, что для любого n можно всю башню переложить с одного стержня на другой.

#олмат
#бессмертнаяклассика

​​289. (Окружность девяти точек) Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.

#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика

​380. 100 гирек выставили в ряд. Известно, что веса соседних гирек отличаются ровно на 1 грамм. Докажите, что можно разложить все гирьки на две чаши весов так, чтобы было равновесие.

#олмат
#бессмертнаяклассика
#взвешивания

​​407. В одном стакане было молоко, а в другом -- столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

#олмат
#бессмертнаяклассика