281. Сложили числа 9, 99, 999, …, 99…99 (20 девяток). Сколько единиц в записи получившейся суммы?

#олмат
#7класс

​​282. (Ханойские башни) Eсть три стержня и n колец разного размера (изначально все кольца на одном стержне). Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Докажите, что для любого n можно всю башню переложить с одного стержня на другой.

#олмат
#бессмертнаяклассика

​283. В шахматном турнире участвовало 10 человек. Турнир проходил в 4 круга. В одном круге каждый человек играл со всеми другими (победа - 1 очко, ничья 0.5 очков, проигрыш - 0 очков). Какая наибольшая разница очков могла быть между двумя соседними игроками после окончания турнира?

#олмат
#турниры

​284. На бесконечной плоскости расположены фишка-волк и 2000 фишек-овец. Двое ходят по очереди: один игрок передвигает волка, а другой одну из овец. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции, волк поймает хотя бы одну овцу?

#олмат
#матигры

285. Сумма нескольких натуральных чисел равна 20. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.

#олмат
#алгебра

286. На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого были ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

#олмат
#всерос
#9класс

287. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x²–3x+1)¹⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

#олмат
#алгебра

288. Найдите все натуральные n и m, для которых выполняется равенство: m!+12=n².

#олмат
#тч

​​289. (Окружность девяти точек) Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.

#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика

290. В строке 2, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 4 каждое из чисел от 1 до 4 встречается дважды, и количество запятых между одинаковыми числами равно этому числу. А можно ли записать такую строку для чисел от 1 до 2018?

#олмат
#7класс

​291. Паук и муха бегают по прямой. Известно, что скорость паука в двое больше скорости мухи. Но паук слепой и не видит муху, если только не находится с ней в одной точке. Верно ли, что паук всегда сможет догнать и съесть муху, где бы она ни находилась в начальный момент?

#олмат
#матигры

292. Функция f(x) непрерывна и задана на всей оси. Известно, что уравнение f(f(x))=x имеет решение. Докажите, что уравнение f(x)=x также имеет решение.

#олмат
#матан
#алгебра

293. Докажите, что у любого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон.

#олмат
#стереом

​​294. Группа туристов делит печенье. Если они разделят поровну две одинаковые пачки, останется одно лишнее печенье. А если разделят поровну три такие же пачки, останется 13 лишних печений. Сколько туристов в группе?

#олмат
#ммо
#7класс

295. В клетки доски 3×3 случайным образом поставили 4 фишки. Найдите вероятность того, что какие-то 3 из них находятся в одном столбце, в одной строке или на одной диагонали (фишки неразличимы).

#олмат
#теорвер

296. Дано 100 различных натуральных чисел, взяты все 4950 попарных сумм. Какое наибольшее количество степеней пятерок может быть среди них?

#олмат
#тч

297. Докажите, что из 11 различных двузначных чисел всегда можно выбрать два непересекающихся подмножества, средние арифметические чисел в каждом из которых равны.

#олмат
#10класс

​298. На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх. Могла ли при этом верхняя грань куба повернуться на 90° относительно своего начального положения?

#олмат
#инвариант

​​299. Никита и Аня по очереди ломают шоколадку 6×8, Никита начинает. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?

#олмат
#матигры

300. Даны два отрезка с длинами a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длиной корень из ab.

#олмат
#геом

301. Придумайте 10 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.

#олмат
#делимость