50. Существует ли плоский четырёхугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

#олмат
#9класс
#геометрия

65. Координаты вершин четырехугольника – целые числа. Может ли его площадь равняться 148,8?

#олмат
#геометрия
#тч
#10класс

72. Сумма расстояний от каждой внутренней точки выпуклого пятиугольника до всех прямых, содержащих его стороны, одна и та же. Верно ли, что этот пятиугольник обязательно является правильным?

#олмат
#геометрия
#10класс

83. На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?

#олмат
#геометрия
#8класс

96. В треугольнике есть угол, равный 60 градусов. Сторона, которая лежит против этого угла, равна трети периметра треугольника. Верно ли, что такой треугольник равносторонний?

#олмат
#геометрия
#9класс

(Наверное самый популярный софизм в геометрии, который сломает вам мозг в 8 классе)
105. Докажем, что все треугольники являются равнобедренными.

#олмат
#геометрия

126. Можно ли накрыть квадрат со стороной 1,5 тремя квадратами со стороной 1?

#олмат
#геометрия
#7класс

149. Плоскость случайным образом покрасили в два цвета.
а)Докажите, что найдутся две одноноцветные точки на расстоянии 1.
б)Докажите, что найдутся две разноцветные точки на расстоянии 1.

#олмат
#геометрия
#раскраски
#7класс

153. Какое наименьшее количество точек надо расположить внутри выпуклого пятиугольника ABCDE, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в точках A, B, C, D, и E лежала хотя бы одна точка?

#олмат
#геометрия
#оценкаплюспример
#9класс

186. На шахматной доске отмечены центры всех клеток. Рассмотрим все векторы, начало которых в центре черной клетки, а конец в центре белой клетки. Докажите, что сумма этих векторов равна нулевому вектору.

#олмат
#геометрия
#10класс

190. Известно, что в некотором треугольнике две высоты не меньше соответствующих сторон, к которым они проведены. Найдите все углы такого треугольника.

#олмат
#геометрия
#10класс

206. Дана окружность, у которой проведены 2 радиуса (они не составляют диаметр). Постройте с помощью циркуля и линейки хорду, которая делится радиусами на 3 равные части.

#олмат
#8класс
#геометрия
#построения

212. На координатной плоскости проведены 7 прямых и отмечены все точки их попарного пересечения. Могло ли оказаться так, что на каждой из прямых лежит ровно 3 точки с положительными абсциссами и ровно 3 точки с отрицательными абсциссами?

#олмат
#геометрия
#комбинаторика
#8класс

​223. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#10класс

254. Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#8класс

264. Могут ли обе декартовы координаты всех вершин равностороннего треугольника быть целыми числами?

#олмат
#геометрия
#тч
#бессмертнаяклассика

​326. Есть бильярдный стол, который имеет вид правильного шестиугольника со стороной 1. Лузы располагаются в вершинах шестиугольника. Изначально бильярдный шар лежит в центре стола. Какое минимальное расстояние он должен прокатиться, чтобы попасть в лузу с двумя отскоками от бортов?


Пояснение: удар шара о борт - упругий (угол падения равен углу отражения). Считаем, что размеры шара и лузы очень малы (они являются точками).

#олмат
#геометрия

351. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами, равна половине площади треугольника.

#олмат
#геометрия

​383. Ортогональными проекциями некоторого тела на каждую из двух данных плоскостей являются круги. Докажите, что диаметры этих кругов совпадают.

#олмат
#геометрия
#стереометрия

​418. На описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) лежит точка D. Она расположена на дуге CB, не содержащей точку A. Докажите, что AB + BC > AD + DC.

#олмат
#геометрия