72. Сумма расстояний от каждой внутренней точки выпуклого пятиугольника до всех прямых, содержащих его стороны, одна и та же. Верно ли, что этот пятиугольник обязательно является правильным?

#олмат
#геометрия
#10класс

74. Пусть в трехмерном пространстве задаётся некоторый граф. Всегда ли можно нарисовать на плоскости эквивалентный ему граф, у которого ребра не пересекаются?

#олмат
#графы
#10класс

82. Найдите сумму цифр всех чисел от 1 до 1000000.

#олмат
#10класс
#комбинаторика

87. Докажите следующее свойство биномиальных коэффициентов:

#олмат
#комбинаторика
#10класс

110. Первой в очереди из 100 человек стоит сумасшедшая старушка. У каждого пассажира в очереди, кроме старушки, есть билет, на котором написано его место. Первой в самолет заходит старушка и садится на случайное место (в самолете 100 мест). Далее пассажиры заходят по одному и садятся на свое место, если оно свободно, иначе садятся на случайное свободное. Какова вероятность того, что последний пассажир в очереди сядет на свое место?

#олмат
#тервер
#10класс

139. Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?

#олмат
#10класс
#тч
#бессмертнаяклассика

147. Существуют ли различные девять чисел, среди которых нельзя выбрать четыре, стоящие в порядке возрастания или в порядке убывания?

#олмат
#10класс

​​​​156. Имеется 80 подозреваемых, среди которых один убийца и один свидетель. Пуаро каждый день приглашает к себе любое количество подозреваемых. Если окажется, что среди них есть свидетель, но нет убийцы, то свидетель расскажет всю правду, и Пуаро раскроет это дело. Сможет ли Пуаро за 12 дней наверняка раскрыть дело?

#олмат
#10класс

167. За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

#олмат
#10класс

176. Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

#олмат
#10класс

186. На шахматной доске отмечены центры всех клеток. Рассмотрим все векторы, начало которых в центре черной клетки, а конец в центре белой клетки. Докажите, что сумма этих векторов равна нулевому вектору.

#олмат
#геометрия
#10класс

190. Известно, что в некотором треугольнике две высоты не меньше соответствующих сторон, к которым они проведены. Найдите все углы такого треугольника.

#олмат
#геометрия
#10класс

​223. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

#олмат
#геометрия
#инвариант
#10класс

​249. Докажите, что график кубического многочлена f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0) имеет центр симметрии.

#олмат
#10класс

263. Квадрат n×n разрезали на n² прямоугольников (n-1)-ой горизонтальной и (n-1)-ой вертикальной прямой. Затем раскрасили все прямоугольники в шахматном порядке. Оказалось, что главная диагональ, клетки которой покрашены в черный цвет, состоит только из квадратов. Докажите, что суммарная площадь черных прямоугольников не меньше суммарной площади белых.

#олмат
#10класс

297. Докажите, что из 11 различных двузначных чисел всегда можно выбрать два непересекающихся подмножества, средние арифметические чисел в каждом из которых равны.

#олмат
#10класс

331. Можно ли все натуральные числа раскрасить в два цвета так, чтобы не было бесконечной арифметической прогрессии одного цвета?

#олмат
#10класс