206. Дана окружность, у которой проведены 2 радиуса (они не составляют диаметр). Постройте с помощью циркуля и линейки хорду, которая делится радиусами на 3 равные части.

#олмат
#8класс
#геометрия
#построения

212. На координатной плоскости проведены 7 прямых и отмечены все точки их попарного пересечения. Могло ли оказаться так, что на каждой из прямых лежит ровно 3 точки с положительными абсциссами и ровно 3 точки с отрицательными абсциссами?

#олмат
#геометрия
#комбинаторика
#8класс

218. Хулиганки Аня и Алиса порвали стенгазету, причем Аня рвала каждый кусок на 5 частей, а Алиса на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 2018 обрывков. Докажите, что нашли не все обрывки.

#олмат
#8класс

220. Докажите, что число способов расставить максимальное количество слонов на шахматную доску, что никакие два не бьют друг друга - квадрат натурального числа.

#олмат
#комбинаторика
#8класс

221. В таблице n×m расставлены произвольные числа. Разрешается менять знаки у всех чисел в любой строке или в любом столбце. Докажите, что можно за несколько операций добиться того, что суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце будут неотрицательны.

#олмат
#полуинвариант
#8класс

224. Глеб Пособин пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... На каких местах, считая от начала, будут впервые стоять пять цифр 5 подряд?

#олмат
#8класс

233. Пятеро спортсменов в красных футболках бегут слева направо, а пятеро в синих футболках - справа налево. Когда спортсмен добегает до конца, он разворачивается и бежит в обратную сторону. Скорости всех спортсменов различны и находятся в промежутке от 9 до 12 километров в час (не включительно). Когда встречаются два спортсмена в красных и синих футболках, тренер ставит галочку в своём блокноте. Будем считать, что никакие 3 спортсмена не могут встретиться в один момент. Сколько галочек будет в блокноте у тренера к тому моменту, как самый быстрый спортсмен закончит свой бег?

#олмат
#8класс

235. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записали по кругу в некотором порядке. Назовем записанное число хорошим, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных?

#олмат
#оценкаплюспример
#8класс

​237. В ряд выложено 100 монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат 50 подряд фальшивых (остальные - настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы 34 настоящие монеты?

#олмат
#8класс
#взвешивания

​238. Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и записал каждое из них красным или синим карандашом (каждый цвет присутствует). Могла ли сумма НОК всех красных чисел и НОК всех синих чисел заканчиваться на 2016? НОК - это наименьшее общее кратное набора натуральных чисел, то есть наименьшее натуральное число, которое делится на все числа этого набора.

#олмат
#тч
#8класс