А вот еще интересные соотношения из статьи из предыдущего поста: рассматривая малые возмущения скорости движения электронов сверхпроводника в виде плоской волны, авторы получают их дисперсии, показанные на картинке. Они различаются, в зависимости от поляризации волны.

Продольные колебания – это возмущения плотности. В статическом пределе они спадают в пространстве на масштабах длины залечивания ξ, связанной с лондоновской глубиной проникновения λ_L и длиной когерентности λ_C. В динамике же их дисперсия выходит из плазменной частоты ω_p при k = 0 и становится квадратичной в коротковолновом пределе k → ∞.

В то же время, поперечно поляризованные колебания – это электромагнитные волны, экранированные сверхпроводником. В статике они спадают на расстоянии λ_L – это обычное лондоновское экранирование. А в коротковолновом пределе они превращаются в свободно распространяющиеся фотоны, как и должно быть при больших частотах.

#сверхпроводимость

В системах отталкивающихся бозонов иногда встречается переход между моттовским изолятором и сверхтекучестью: когда сила отталкивания на узле U превышает интеграл перескока между узлами J, система находится в состоянии моттовского изолятора, а в обратном случае – в сверхтекучем бозе-конденсированном состоянии.

В этой работе аналогичный переход предсказан для неэрмитовой модели Обри-Андре-Харпера. Это бозоны, движущиеся по одномерной цепочке с несимметричными интегралами перескока, отталкивающиеся на узле и помещенные в периодический потенциал.

Как видно на графиках, с ростом U пропадает недиагональный дальний порядок ρ_ab и появляется заметная щель Δ_ex в многочастичной спектре возбуждений. Это свидетельствует о переходе в состояние моттовского изолятора. А на диаграммах снизу видно, как распространение частиц по цепочке – несимметричное из-за неэрмитовости – идет свободно в сверхтекучей фазе (U=1) и подавляется в фазе изолятора (U=4).

#неэрмитовы_системы #сверхтекучесть

Кстати говоря, сверхтекучесть в работе из предыдущего поста авторы назвали «скин-сверхтекучестью» – по аналогии с неэрмитовым скин-эффектом, при котором из-за несимметричности перескоков частицы скапливаются у одного края образца.

Здесь частицы, как показано черной кривой, тоже скапливаются у правого края, но при этом система в целом сверхтекучая. В этом суть эффекта скин-сверхтекучести.

#неэрмитовы_системы #сверхтекучесть

Авторы этой статьи утверждают, что они распутали сложное поведение оптической проводимости σ(ω) купратных сверхпроводников. Это поведение включает загадочную линейную зависимость скорости рассеяния квазичастиц γ от ω и T, приписываемую квантовому критическому режиму, а также восстановление нормальных фермижидкостных свойств при сильном допировании.

Здесь предложена модель, согласно которой σ(ω) складывается из друдевской части, обусловленной нормальными, делокализованными квазичастицами плотностью n_eff, и лоренцевской части на ненулевой частоте, обусловленной локализованными частицами плотностью n_loc. Поведение n_eff на фазовой диаграмме показано справа.

При росте температуры происходит перенос спектрального веса от локализованных квазичастиц к делокализованным, а при увеличении уровня допирования p – еще и рост общей суммы n_eff+n_loc (как показано стрелочками слева). Это, в совокупности с нормальным поведением делокализованных квазичастиц γ ~ ω², T², объясняет все загадки.

#сверхпроводимость

Соотношение Крамерса-Кронига между амплитудой и фазой коэффициента отражения G(ω) – или любой другой причинной функции отклика – называется также соотношением Боде. Оно полезно на практике, поскольку позволяет восстановить фазу G(ω) по измеряемому коэффициенту отражения по интенсивности |G(ω)|².

Но пользоваться им следует с осторожностью: оно неприменимо, если G(ω) имеет нули, то есть точки полного поглощения, в верхней полуплоскости комплексной плоскости ω. В этом случае соотношение Боде превращается в неравенство: оно дает лишь оценку снизу для фазы φ(ω) = arg G(ω).

На рисунке показан простой пример: G(ω) в виде разности двух лоренцианов на частотах 0.5 и 1 с очень малым затуханием. Функция G(ω) имеет два полюса при ω=1 и ω=0.5 чуть ниже вещественной оси и ноль при ω=1/√2 чуть выше нее. При этом фаза φ(ω), восстановленная из соотношения Боде (черная кривая снизу), по модулю меньше, чем оригинальная фаза функции G(ω), показанная серой кривой.

#фотоника #математика

Еще комментарий насчет соотношения Боде. Любая физическая функция отклика G(ω) должна быть аналитической в верхней полуплоскости комплексной плоскости ω – это следствие принципа причинности. Это означает, что G(ω) не должна иметь в этой полуплоскости полюсов и существенно особых точек. Аналитичность позволяет провести показанное на рисунке контурное интегрирование и вывести соотношения Крамерса-Кронига.

А вот отсутствие нулей G(ω) в верхней полуплоскости принцип причинности никак не гарантирует. Они вполне могут существовать и наблюдаются в эксперименте как частоты ω, на которых отклик системы равен нулю. Почему же они портят соотношение Боде? Потому что оно выводится как частный случай соотношений Крамерса-Кронига для функции ln G(ω).

Если G(ω) аналитична в верхней полуплоскости и не имеет там нулей, то и ln G(ω) тоже там аналитична. Появление же нулей функции G(ω) дает точки ветвления логарифма, делая его неаналитичным.

#фотоника #математика

А вот эксперимент, в котором демонстрировалось нарушение соотношения Боде. Микроволны, поляризованные под углом 45º к вертикали, пропускались через «фотонный кристалл» в виде массива акриловых цилиндров. Коэффициент их пропускания измерялся при чуть меньшем (β = 40º) и чуть большем (β = 50º) углах поворота приемника.

Амплитуда коэффициента пропускания в обоих случаях ведет себя одинаково как функция частоты, как показано синими кривыми. А вот поведение фазы (красные кривые) кардинально различается: при β = 40º она демонстрирует нисходящий участок аномальной дисперсии, а при β = 50º монотонно возрастает.

Здесь мы видим наглядно, как при одной и той же амплитуде функции отклика имеются две различные зависимости фазы от частоты. Только первая из них (при β = 40º) удовлетворяет соотношению Боде. Во втором же случае (при β = 50º) прошедший сигнал запаздывает по фазе сильнее, чем предсказывает это соотношение, из-за наличия у коэффициента пропускания нуля в верхней комплексной полуплоскости частот.

#фотоника

Недавняя работа, вызвавшая множество споров среди астрофизиков, переворачивает наши представления о природе черных дыр и темной энергии. Авторы утверждают, что черные дыры увеличивают свою массу синхронно с расширением Вселенной, а таинственная темная энергия – движущая сила этого расширения – находится как раз у них внутри.

Дело в том, что традиционные решения уравнений Эйнштейна для черных дыр (решения Шварцшильда и Керра) требуют, чтобы метрика пространства-времени на бесконечности становилась плоской. Но в нашей Вселенной это не так из-за ее расширения, поэтому нужно искать другие решения. Одно из них – решение Крокера-Вайнера – подразумевает, что внутри черной дыры отсутствует сингулярность, зато она заполнена энергией вакуума. Масса же ее должна расти как M ~ a³(t), где a(t) – масштабный параметр, описывающий расширение Вселенной. Анализ масс сверхмассивных черных дыр показывает, что степень k, с которой их масса растет с течением времени, действительно очень близка к 3.

#популярное #отвал_башки

Сверхтекучая турбулентность, в отличие от обычной, тесно связана с квантованными вихрями. В трехмерной системе вихревые линии должны либо заканчиваться на краях системы, либо замыкаться в кольцо. При турбулентном течении они образуются в большом количестве и перепутываются в пространстве, давая начало масштабно инвариантному распределению импульсов 1/kⁿ. Оно тесно связано с энергетическим каскадом – процессом передачи энергии от больших масштабов к меньшим.

В этой работе показано, что сверхтекучая турбулентность в атомном газе сильно отличается от таковой в жидком гелии. Если в гелии, как показано на рисунке сверху, вихревые линии заполняют пространство более-менее равномерно, то в атомном газе, из-за его сжимаемости, вихревые линии распределены неравномерно. Как показано снизу, кольцевые линии (синие) расположены вблизи оси атомного облака, движущегося справа налево, а оканчивающиеся на границах линии (красные) тяготеют к его задней части.

#сверхтекучесть #гидродинамика

Это известный эксперимент, в котором впервые был достигнут режим сверхсильной связи между светом и веществом для электронного газа в сильном магнитном поле. Оптические переходы между уровнями Ландау – или циклотронный резонанс – связываются здесь в с электромагнитными модами резонатора в терагерцовом диапазоне.

Как показано на рисунке, резонатор представлен массивом металлических петель. Картины амплитуды электрического поля показывают две моды: m₁ (стандартные колебания в LC-контуре) и m₂ (дипольные колебания вдоль пластин конденсатора). У них не очень высокие добротности в районе 5, но для сверхсильной связи это и не нужно.

На спектре пропускания снизу видны два антипересечения мод m₁ и m₂ с циклотронным резонансом в стопке 4 квантовых ям, энергия которого пропорциональна магнитному полю. Для нижней моды m₁ видно гигантское расщепление Раби. Его отношение к энергии самой моды составляет 0.58, в то время как для режима сверхсильной связи достаточно уже 0.1-0.2.

#уровни_Ландау #фотоника

В электронном газе каждый электрон создает вокруг себя обменно-корреляционную дырку – область пониженной электронной плотности, которую также называют «шубой». Ее обменная часть, или обменная дырка, обусловлена принципом Паули: вероятность обнаружить электрон какой-либо ориентации спина снижается до нуля в точке, где уже есть другой электрон того же спина.

Корреляционная же дырка обусловлена кулоновским отталкиванием и возникает при любых ориентациях спинов. Наглядно это видно на примере двух электронов в атоме гелия. Их спины в основном состоянии антипараллельны, так что обменная дырка отсутствует, а существует только корреляционная дырка. Она не улавливается приближением Хартри-Фока, так что ее можно увидеть, сравнивая точный расчет с хартри-фоковским, как показано снизу.

Можно заметить, что корреляционная дырка слабее обменной: вероятность совместного обнаружения обоих электронов в одной точке проваливается не до нуля, а лишь на 5-10%.

#объяснения #квантовая_механика

Параксиальная оптика сейчас используется для имитации топологических материалов. Распространение света вдоль оптоволоконного массива, вырезанного в прозрачном диэлектрике, описывается аналогом уравнения Шредингера, где показатель преломления играет роль потенциала.

Если массив отповолокон, имеющий форму решетки «пчелиные соты» (синие точки на рисунках) подвергнуть искажению Кекуле (красные точки), то получится фотонный кристалл. Левый рисунок показывает однородное искажение Кекуле, а справа его направление медленно меняется на угол 2π при обходе вокруг центра. Такой дефект решетки создает внутри щели фотонного кристалла связанное состояние для света, чем-то похожее на майорановскую моду.

Такие моды являются неабелевыми энионами – после их перестановки конечное состояние зависит от порядка парных перестановок, или от топологии соответствующей косы. Две перестановки, показанные снизу, дают разные относительные фазы трех мод, локализованных на дефектах: (–,+,–) и (–,–,+).

#топологические_материалы #фотоника

А в этом эксперименте была экспериментально реализована перестановка двух неабелевых энионов, следующая теоретическому предложению, описанному в предыдущем посте. Если, по ходу распространения света, само дефектное искажение Кекуле медленно поворачивается на угол π, это оказывается эквивалентным обходу сидящей на нем моды вокруг бесконечно удаленной «референсной» моды. В итоге наша мода приобретает обменную фазу, зависящую от направления обхода – по или против часовой стрелки.

Авторы взяли одну пару массивов, в которой оба искажения поворачиваются идентично, так что обе моды приобретают одинаковые фазы и в конце интерферируют конструктивно (синие точки). В другой паре массивов искажения поворачиваются в противоположные стороны, так что обменные фазы оказываются разными, и в результате получается деструктивная интерференция (красные точки).

Это пока демонстрация приобретения энионами обменной фазы при одной парной перестановке, но не доказательство их неабелевости.

#топологические_материалы #фотоника

Нарушение критерия сверхтекучести Ландау не обязательно означает реальное исчезновение сверхтекучести. Формально при сверхкритической скорости потока энергии некоторых боголюбовских возбуждений становятся отрицательными, и это приводит к затуханию сверхтекучего потока за счет их массового возбуждения.

Однако в случае сверхтекучих ферми-систем – таких как купратные сверхпроводники или гелий-3 – боголюбовские возбуждения могут просто заполнить те области импульсного пространства, где их энергии отрицательны. Они образуют свои поверхности Ферми и на этом все закончится. Как результат, из-за нарушения критерия Ландау сверхтекучая плотность уменьшается, но не до нуля.

А в этой статье предложено погрузить в сверхтекучий гелий-3 решетку цилиндриков, из-за которой поверхность Ферми боголюбовских возбуждений примет форму, показанную на рисунке. При этом в некоторых местах (в окрестностях точек вырождения) боголюбовские возбуждения будут вести себя как электроны в вейлевских полуметаллах.

#сверхтекучесть

Наполовину обзор, наполовину педагогическое введение в физику неэрмитовых топологических состояний Флоке-Блоха. Это периодические в пространстве системы, которые подвергаются периодическим во времени возмущениям, обладают неэрмитовыми гамильтонианами и, вдобавок, демонстрируют нетривиальную топологию квантовых состояний.

Как показано на рисунке, здесь совмещаются сразу три популярные темы – открытые системы, состояния Флоке и топология. Из-за периодического внешнего воздействия нужно смотреть не на энергии частиц, а на их квазиэнергии, заполняющие зону Флоке – аналог периодически повторяющейся первой зоны Бриллюэна.

Классификация топологических фаз получается здесь довольно сложной, поскольку энергии, вообще говоря, являются комплексными. Из-за неэрмитовости важную роль играют исключительные точки, в которых происходит бифуркация энергий, а периодичность зоны Флоке дает возможность возникать новым видам зонных структур и краевых состояний.

#неэрмитовы_системы #топологические_материалы

А вот пример из обзора из предыдущего поста, иллюстрирующий запутанную структуру топологически нетривиальных состояний в неэрмитовых флоке-системах.

Это относительно простая модель одномерной цепочки, для которой на верхней и нижней строках графиков показаны спектры, соответственно, вещественных и мнимых частей квазиэнергии. Посчитаны они в зависимости от величины асимметрии двух подрешеток μ при слабой (левый столбец) и сильной (правый столбец) неэрмитовости.

Серые линии показывают энергии цепочки при периодических граничных условиях. Видно, что при этом энергии всегда комплексны, а на оси Re E имеются две энергетические зоны, щель между которыми может закрываться. Синие линии отвечают цепочке с открытыми граничными условиями. В этом случае энергии иногда полностью вещественны, это проявление неэрмитового скин-эффекта. Желтые круги показывают величину топологического инварианта, а красные линии указывают на краевые состояния.

#неэрмитовы_системы #топологические_материалы

Визуализация плазмонных резонансных мод на серебряном квадрате размером 850 нм при различных энергиях.

Любопытно, что вначале плазмонные моды сосредоточены преимущественно на краях, то есть являются одномерными стоячими волнами. Но затем, по мере роста энергии, они сменяются модами толщи, то есть двумерными стоячими волнами на квадрате.

https://www.youtube.com/watch?v=rnfCdhTZbJQ

#плазмоны

Связанные состояния двух притягивающихся частиц стабильны потому, что им некуда распадаться: их полная энергия опускается ниже края континуума, где отсутствуют другие состояния, в которые можно было бы перейти с сохранением энергии. Но этот же принцип можно и перевернуть: две отталкивающиеся частицы могут образовать стабильное связанное состояние, если его энергия находится выше континуума свободного движения. Для этого он должен быть ограничен сверху, что в кристаллах – обычное дело.

В модели Хаббарда энергия такого «связанного» состояния с двумя частицами в одной ячейке порядка силы отталкивания на узле U. А ширина континуума – то есть энергетической зоны кристалла – задается интегралом перескока J. При U >> J связанному состоянию некуда распадаться с сохранением энергии (если нет диссипации). Это подтверждается графиком снизу, где, как функции суммарного импульса K, посчитаны энергии связанного (черная кривая) и свободных (серый континуум) двухчастичных состояний.

#квантовая_механика #отвал_башки

Представим себе мир, в котором нет квантовых когерентностей – то есть матрицы плотности всех систем диагональны в базисе собственных векторов своих гамильтонианов. Такой мир будет застывшим и в нем будет невозможно отсчитывать время, поскольку для такого отсчета нужны осцилляции вида exp{i(E₁–E₂)t/ℏ}, возникающие только при наличии квантовых суперпозиций состояний с энергиями E₁ и E₂. Можно сказать, что наличие квантовой когерентности создает точку отсчета, нарушающую симметрию по отношению к сдвигам во времени и, тем самым, позволяющую его измерять.

Таким образом, квантовая когерентность – это важный ресурс. Он необходим не только для отсчитывания времени, но и для реализации любых когерентных операций, то есть операций, не коммутирующих с гамильтонианом и позволяющих создавать суперпозиции его собственных векторов. Пример такой операции – это преобразование Адамара, поворачивающее блоховский вектор кубита на угол π/2 и превращающее состояние |0> в суперпозицию (|0>+|1>)/√2. Реализовать его можно, в частности, облучая кубит лазерным импульсом определенной длительности, и здесь источником когерентности является когерентное состояние лазерного света – суперпозиция фоковских состояний |n> с различными числами фотонов.

Как любой ценный ресурс, когерентность может быть использована для чего-то полезного, а может быть растрачена напрасно. В любом случае, в мире диагональных матриц плотности количество имеющейся у нас когерентности не может возрастать – если только у нас нет какого-то внешнего источника такого ресурса. А в этой работе показано, что с когерентностью, в принципе, можно обращаться очень осторожно, используя ее как катализатор – ресурс, который многократно используется, но не тратится в процессе.

Автор показал, что при наличии резервуара, обладающего квантовой когерентностью (недиагональными элементами матрицы плотности), можно совершать над имеющимся у нас кубитом любые унитарные операции, в том числе когерентные. После каждой такой унитарной операции матрица плотности резервуара изменяется, но его ресурсность – способность помогать нам в совершении когерентных операций – остается прежней.

Хотя здесь имеется тонкость: состояние резервуара деградирует в том смысле, что его матрица плотности после каждого использования должна разбрасываться по все большему числу уровней энергии. К примеру, если до использования были населены уровни с номерами от n₁ до n₂, то после использования будут населены уровни с n₁–1 по n₂+1. Поскольку уровни энергии ограничены снизу, нам нужно каждый раз «регенерировать» резервуар, поднимая его как целое на один уровень энергии, чтобы в конце этого были населены уровни с n₁ по n₂+2. Для такой регенерации нужно тратить дополнительную энергию (но не когерентность).

Тем не менее, на практике возможность нарастания разброса энергии резервуара также будет ограничена, так что квантовая когерентность как катализатор может иметь хоть и долгий, но ограниченный срок службы.

#квантовая_механика #квантовая_термодинамика

Разложение электромагнитного поля по полному набору нормальных мод – собственных решений уравнений Максвелла в заданной геометрии – не всегда возможно и практично, особенно при наличии диссипации и дисперсии отклика среды.

Здесь на помощь приходят так называемые квазинормальные моды – это несколько решений уравнений Максвелла, отвечающие самым важным в контексте задачи резонансам и обладающие комплексными частотами (то есть затухающие). Они не образуют полного базиса, так что часть электромагнитного поля, не разложенная по квазинормальным модам, рассматривается как нерезонансный фон.

В этой статье дается практический рецепт численного разложения поля на квазинормальные моды и нерезонансный фон. Он основан на том, что поле при интересующей нас вещественной частоте ω (любая из черных точек на диаграмме снизу) представляется в виде интеграла Коши по комплексной плоскости ω. Вклады полюсов (крестики) отвечают квазинормальным модам, а оставшийся интеграл (по синему контуру) дает нерезонансный фон.

#фотоника

А вот пример разложения электромагнитного поля по квазинормальным модам из статьи из предыдущего поста. Дипольный источник излучения слегка погружен в цилиндр из алмаза, диэлектрическая функция которого описывается моделью Лоренца с двумя затухающими резонансами в УФ-диапазоне.

Панель (b) показывает полное электромагнитное поле, образуемое дипольным источником на одной из частот – видно, что там велик вклад вертикальной дипольной моды. А на панелях (c), (d), (e) показаны поля трех квазинормальных мод, найденные как собственные решения уравнений Максвелла с комплексными частотами.

При помощи интегрирования по комплексной плоскости поле можно разложить на сумму вкладов трех квазинормальных мод (с амплитудами, зависящими от частоты колебаний диполя ω) и оставшегося нерезонансного фона. Это позволяет посчитать, например, скорости передачи энергии от диполя к каждой моде. Их зависимости от ω, имеющие форму уширенных резонансов (что свидетельствует об эффекте Пёрселла), показаны на графике снизу.

#фотоника