На картинке – пример графического языка, используемого при записи волновых функций и матриц плотности многочастичных систем при помощи матричных и тензорных произведений (matrix product states, tensor product states).

Такие произведения дают вариационную форму волновых функций и матриц плотности, описываемую относительно небольшим числом параметров – линейным по числу степеней свободы системы, а не экспоненциальным, как при полном переборе состояний во всем гильбертовом пространстве.

Этого оказывается достаточно для довольно точной аппроксимации основных и низковозбужденных многочастичных состояний. А дополнительные матричные трюки позволяют столь же компактно записывать операторы эволюции, вычисление матричных элементов и прочие выкладки, как раз удобно представимые в графическом виде.

https://arxiv.org/abs/1111.6950

#квантовая_механика

В этой статье дается педагогический пример использования так называемого наклонного базиса (oblique basis) для задачи о гармоническом осцилляторе со стенками бесконечной высоты. Это смесь задач о гармоническом осцилляторе и о прямоугольной потенциальной яме.

При низких энергиях влияние стенок невелико и решения задачи мало отличаются от осцилляторных, а при высоких энергиях невелико, наоборот, влияние квадратичного потенциала. При промежуточных энергиях ситуация сложнее, и здесь пригождается наклонный базис. Он представляет собой сочетание решений задачи о прямоугольной потенциальной яме (волновых функций в виде синуса и косинуса) и осцилляторных решений (гауссовой функции, умноженной на полиномы Эрмита).

Такой базис не является ортонормированным и, вдобавок, переполнен, но он удобен для численного решения задачи: для хорошей точности достаточно около 15 базисных векторов. Подобный метод наклонного базиса используется, например, для задачи о взаимодействующих нуклонах в ядре.

#квантовая_механика

Вот работа, в которой дается простейший расчет аномального магнитного момента электрона – поправки к его g-фактору, изначально равному 2, за счет поляризации вакуума.

Расчеты аномального магнитного момента с 15 значащими цифрами хорошо известны как пример самого точного количественного предсказания во всей науке вообще. А здесь показан однопетлевой расчет, дающий результат 1-го порядка по постоянной тонкой структуре α, а именно, g ≈ 2 + α/π.

Расчет в этой статье делается на основе уровней Ландау: во внешнем магнитном поле мы находим функцию Грина электрона, считаем однопетлевую поправку к энергии его основного состояния за счет электромагнитного взаимодействия, а затем дифференцированием энергии по магнитному полю находим магнитный момент. Примечательно, что сама поправка к энергии основного состояния расходится при суммировании по всем уровням Ландау, а ее производная уже конечна. Таким образом, можно посчитать аномальный магнитный момент без перенормировок.

#уровни_Ландау

В этом эксперименте на основе электронных цепей был реализован аналог неабелевого топологического изолятора с 4 энергетическими зонами. В отличие от абелевого топологического изолятора, возникающего в случае 2 энергетических зон, где топологический инвариант является скаляром, здесь топологические инварианты могут принимать значения из группы Q₁₆ – обобщенной группы кватернионов.

На рисунке можно видеть графическое изображение группы Q₁₆, а также два примера измерений и расчетов, демонстрирующих 4 энергетические зоны толщи, разделенные щелями, внутри которых существуют краевые состояния. Топологический инвариант в этих двух случаях принимает значения –q₁₄ и –q₁₂₃₄.

Примечательны диаграммы справа с двумерными «зонными структурами»: они нарисованы в переменных k₁ = cos k и k₂ = sin k и демонстрируют топологическую структуру гамильтониана. А наша система одномерна, так что физический случай вещественного квазиимпульса k отвечает их цилиндрическому сечению.

#топологические_изоляторы

А вот так авторы статьи из предыдущего поста пытаются изобразить – понятным читателю образом – некие четырехмерные фигуры.

Остроумная работа с предсказанием невзаимности дисперсии плазмонов, обусловленной квантовой метрикой.

В расчете отклика плотности на импульсе q фигурируют множители перекрытия |<k|k+q>|². Их можно интерпретировать как квантовую метрику – меру того, насколько состояния с импульсами k и k+q далеки или близки в гильбертовом пространстве. Иными словами, квантовый метрический тензор показывает, насколько быстро вектор состояния поворачивается на блоховской сфере с изменением k.

В материале с нарушенными P- и T-симметриями метрический тензор может быть невзаимным, то есть различным для k и –k. Пример показан на рисунке красной линией для одномерной цепочки с комплексными перескоками между соседями 3-го порядка.

Хотя структура волновых функций в этом примере обладает асимметрией, дисперсия электронов (синяя линия) полностью симметрична. Таким образом, за счет одних лишь квантовых геометрических эффектов дисперсия плазмонов оказывается невзаимной, как показано черной кривой снизу.

#плазмоны #геометрия

Интересная работа про псевдоевклидово обобщение квантовой механики и квантовых вычислений, перекликающееся с теорией сверхпроводников. В обычной квантовой механике метрика евклидова: квадрат нормы вектора равен сумме квадратов его компонент. В псевдоевклидовой – или лоренцевой – квантовой механике сигнатура метрики имеет вид (1,...,1, –1,..., –1), то есть часть компонент дают положительные вклады в квадрат нормы, а часть – отрицательные. Компоненты с отрицательными вкладами являются при этом физически ненаблюдаемыми.

Такая конструкция может показаться искусственной и не имеющей отношения к физике, но это не так: при рассмотрении сверхпроводников (или бозе-конденсата) при помощи уравнений Боголюбова-де Жена происходит удвоение степеней свободы, в результате которого появляются нефизические (но участвующие в квантовой динамике!) боголюбовские возбуждения с отрицательными энергиями, отзеркаливающие реальные возбуждения с положительными энергиями. При вычислении наблюдаемых и в унитарных преобразованиях в матричном формализме Намбу также фигурирует матрица с псевдоевклидовой сигнатурой.

В работе предложена концепция лоренцева квантового компьютера, регистр которого содержит не только обычные кубиты, но и гибиты – лоренцевы (или гиперболические) кубиты с сигнатурой метрики (1, –1), у которых только состояние |0> является физически наблюдаемым. И даже предложен алгоритм поиска, который может работать на таком компьютере и является экспоненциально более быстрым, чем квантовый алгоритм Гровера.

Алгоритм Гровера позволяет определить, какая из N возможных функций выполняется над волновой функцией, за O(√N) операций. Ускорение здесь является корневым по сравнению с простым перебором. А новый алгоритм для лоренцева квантового компьютера позволяет сделать это за O(log N) операций, то есть обеспечивает экспоненциальное ускорение.

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1674-1056/acad6a

#квантовая_механика #квантовые_вычисления #геометрия

Что общего у кота и задачи трех тел? В обоих случаях система может поворачиваться в пространстве благодаря изменениям своей формы, сохраняя при этом угловой момент. Такое явление имеет и геометрическую интерпретацию: при обходе по замкнутому контуру в пространстве своих внутренних геометрических конфигураций система набирает голономию (аналог фазы Беррри), не возвращаясь в прежнее состояние в пространстве своей угловой ориентации.

В этой статье было показано, что простая система трех грузиков, соединенных пружинками и приведенных в состояние свободных колебаний, может вращаться в пространстве за счет своей внутренней динамики. Получается, что система вроде как вращается сама собой, имея при этом нулевой угловой момент! В зависимости от амплитуд колебаний, вращение может быть разным: почти равномерным, равномерным со случайными разворотами или полностью хаотичным.

https://telegra.ph/Vrashchenie-sistemy-treh-tel-za-schet-kolebanij-07-09

#механика #хаос

А это картинка, кратко выражающая смысл предыдущего поста.

Очень полезная и довольно понятно написанная статья, дающая педагогическое введение в физику и геометрию топологически нетривиальных фотонных материалов. Обычно теория топологических материалов отправляется от зонной структуры и волновых функций, даваемых уравнением Шредингера, и только потом «по аналогии» все переносится на электромагнитные волны в фотонных кристаллах. Здесь же автор использует другой подход, более подходящий для электромагнитных волн с поперечной поляризацией.

Основные моменты статьи следующие:

● Сначала автор показывает на простых примерах – таких, как эйлерова характеристика сферы и тора, – геометрический смысл и причину возникновения нетривиальных топологических инвариантов. Ключевой момент здесь – наличие критических точек, в которых нарушается гладкость касательного к поверхности векторного поля. К примеру, знаменитая «теорема о причесывании шара» гласит, что на сфере должны существовать как минимум 2 такие критические точки (или одна двукратная критическая точка).

● Если считать, что двумерная поверхность – это поверхность постоянной частоты электромагнитных волн в анизотропной среде, проведенная в пространстве волновых векторов, то наличие критических точек для поляризации волны делает материал топологически нетривиальным. Таким образом, критерий нетривиальности формулируется иначе, чем принято в физике твердого тела – на языке кривизны Берри, интегрируемой по всей зоне Бриллюэна. Хотя, конечно, математически эти формулировки эквивалентны.

● Также показан относительно простой пример вывода соотношения между толщей и краями (bulk-boundary correspondence) для топологических изоляторов. Это теорема о том, что на границе двух материалов с топологическими инвариантами n₁ и n₂ внутри их общей энергетической щели должны существовать |n₁ – n₂| краевых состояний.

● В случае двумерной системы для топологической нетривиальности достаточно наличия критической точки поляризационных состояний в комплексном направлении, то есть вдоль комплекснозначного вектора n. Мы получаем относительно простой критерий того, будет ли фотонный материал нетривиальным и будут ли на его границе существовать краевые состояния, распространяющиеся только в одном направлении.

https://link.springer.com/article/10.1007/s10773-023-05368-y

#топологические_материалы #фотоника

Интересный пример возникновения эффективно однонаправленного распространения электромагнитных волн в простой структуре, взятый из статьи из предыдущего поста и математически схожий со случаем топологического изолятора.

По вертикальному проводу течет ток, модулированный с волновым вектором k_z, а параллельно проводу располагается металлическая поверхность. Три строчки диаграмм показывают случаи различных k_z в единицах волнового вектора волны в свободном пространстве k_0 = ω/c. Яркость и оттенок цвета на диаграммах показывают амплитуду и фазу поля.

По мере того, как k_z приближается к k_0 снизу, происходит нечто интересное. Распределения электрического (E, первый столбец) и магнитного (h, второй столбец) полей демонстрируют распространение поверхностных плазмонов на металле. А если смотреть на поля в базисе правой и левой циркулярных поляризаций (третий и четвертый столбцы), распространение плазмонов оказывается однонаправленным, как на границе топологического изолятора.

#топологические_материалы #плазмоны

С помощью такой картинки я на лекциях пытался объяснить студентам, что фейнмановские диаграммы – это совсем не страшно. Это лишь графические схемы, на которых каждой линии отвечает функция, а все эти функции потом умножаются и интегрируются по импульсам и частотам во внутренних петлях. Но, похоже, эффект оказался обратным...

Некоторые популярные нейросети, занимающиеся генерацией изображений, такие как Midjorney, DALL-E и Stable Diffusion, работают по принципу обратной диффузии.

Этот принцип, основанный на идеях неравновесной термодинамики и методе Монте-Карло, заставляет генерируемое изображение совершать блуждания подобно точке в многомерном пространстве. Обычные случайные блуждания приводят к диффузии, то есть равномерному расплыванию множества точек во все стороны, а здесь они искусно направляются таким образом, чтобы диффузия шла не от осмысленных изображений к случайному шуму, а в обратном направлении – от случайного шума к осмысленному изображению.

В этом посте я пишу о статье 2015 года – одной из основополагающих работ, где был сформулирован метод обратной диффузии. Так что ее будет полезно почитать тем, кто хочет понять, как же работают эти штуки, рисующие картины, которыми уже завалили половину интернета.

https://telegra.ph/Metod-obratnoj-diffuzii-dlya-generativnyh-nejrosetej-07-10

#нейронные_сети #популярное

Красивая иллюстрация инвариантности системы, помещенной в магнитное поле, по отношению к магнитным трансляциям.

Векторный потенциал A(r) магнитного поля зависит от координат и поэтому меняется при сдвигах в пространстве. Если система помещена еще и в периодический потенциал V(r) = V(r + R), то наличие векторного потенциала мешает полному гамильтониану быть периодическим даже с периодом потенциала R.

Тем не менее, давно было замечено, что уравнение Шредингера оказывается инвариантным к магнитным трансляциям: сдвигу в пространстве r --> r + R с одновременным калибровочным преобразованием векторного потенциала. Если «координату» электромагнитного поля, отвечающую векторному потенциалу, обозначить как u, это будет означать, что система инвариантна к сдвигам вдоль наклонных плоскостей в расширенном пространстве (r, u). На рисунке они показаны синим цветом.

#квантовая_механика #уровни_Ландау

Волновая функция квантовой системы, находящейся в связанном состоянии, экспоненциально (или еще быстрее) убывает на больших расстояниях. Поэтому возмущения, накладываемые на систему где-то там, далеко, слабо сказываются на уровнях энергии.

Авторы этой работы посчитали, как будут сдвигаться уровни энергии, если на волновую функцию одномерной квантовой системы далеко от начала координат наложить условия Дирихле, то есть создать для частицы жесткие непроницаемые стенки. Оказывается, что сдвиг энергии, грубо говоря, обратно пропорционален интегралу от 1/ψₒ², где ψₒ – невозмущенная волновая функция. Этот интеграл берется от точки a, находящейся внутри границы и достаточно удаленной и от границы, и от ближайших нулей ψₒ, до положения границы L. Главный вклад в интеграл дается непосредственной окрестностью границы x ≈ L, поскольку именно там ψₒ минимальна.

На картинке показана формула для сдвига энергии в общем случае, когда две границы установлены в точках L₊ и L₋.

#квантовая_механика

В результате оптической накачки в полупроводнике образуются электроны и дырки, которые, после термализации, связываются в экситоны. Если плотность экситонов превышает порог Мотта, их волновые функции настолько сильно перекрываются, а электрон дырочное притяжение настолько сильно экранируется, что экситоны как таковые перестают существовать. Вместо них образуется электрон-дырочная плазма.

Этот эксперимент позволил достичь очень высоких плотностей электронов и дырок, вплоть до 4×10¹⁴ см⁻² в бислое двумерных дихалькогенидов переходных металлов WSe₂/MoSe₂. Оптическая накачка здесь является непрерывной.

Переход Мотта можно обнаружить по спектрам люминесценции: при пересечении плотностью электронов и дырок порога 3×10¹ см⁻² доминирующая спектральная линия, идущая от рекомбинации межслойных экситонов, резко уширяется. А вдобавок появляется линия внутрислойных экситонов MoSe₂, потому что выравниваются края энергетических зон двух соприкасающихся материалов.

#экситоны #дихалькогениды_переходных_металлов

Хорошая иллюстрация из статьи по топологической фотонике, о которой я недавно писал. Она показывает, чем аналитическая функция, удовлетворяющая условиям Коши-Римана, отличается от неаналитической.

Слева показана фаза комплексной функции, полученной в результате суперпозиции 8 плоских волн со случайными амплитудами и различными волновыми векторами. Стрелочки показывают получившиеся вихри и антивихри – точки, при обходе вокруг которых фаза набегает на 2π или –2π.

Справа же показана аналитическая функция переменной z = x + iy. У нее на плоскости нет полюсов и существенно особых точек, а могут быть лишь нули. Вокруг каждого нуля z₀ функция ведет себя как z – z₀, а значит, получает набег фазы 2π при обходе против часовой стрелки.

В итоге, аналитическая функция получается в целом «закрученной» против часовой стрелки, в то время как случайная функция такой преимущественной закрученности не демонстрирует.

#объяснения

Диэлектрическая проницаемость воды ε, как показано на графике, заметно уменьшается при растворении в ней поваренной соли. С 1926-го года это объясняли диэлектрическим насыщением: молекулы воды выстраиваются вокруг ионов в гидратационные оболочки и направляются своими дипольными моментами либо к иону, либо от него (в зависимости от его заряда). Это затрудняет повороты дипольных моментов молекул воды под действием внешних полей, уменьшая ε.

В этой работе при помощи молекулярно-динамических расчетов с нейросетевыми потенциалами модель диэлектрического насыщения была опровергнута. Оказывается, причина уменьшения ε в том, что вмешательство ионов нарушает сетку водородных связей. В чистой воде благодаря этой сетке ближайшие диполи почти сонаправлены и поэтому могут откликаться на внешнее поле коллективно – сильнее, чем по отдельности. В соленой же воде они вблизи ионов могут быть почти антипараллельны (как показано синими стрелками), из-за чего коллективный отклик молекул воды подавляется.

#популярное #химия

Заполнение электронами одночастичных состояний в порядке возрастания их энергий называют принципом Ауфбау. В этой работе показывается, что такой же принцип справедлив и для неэрмитовых систем с комплексными энергиями, только одночастичные заполняются в порядке возрастания вещественных частей их энергий.

Еще один интересный момент показан на рисунке. В одномерной модели Хатано-Нельсона (с несимметричными перескоками вправо и влево) с открытыми граничными условиями частицы скапливаются возле левого края. Диаграммы показывают импульсное (слева) и координатное (справа) распределения в нескольких низших по энергии многочастичных состояниях l для системы 5 фермионов (сверху) или бозонов (снизу).

Видно, что фермионы образуют нечто вроде сферы Ферми (b) и скапливаются вблизи края, насколько позволяет принцип Паули ((a), l=1 для основного состояния). Бозоны же конденсируются как в импульсном пространстве (d), так и в координатном ((c), l=1). Этот факт авторы называют «аномальной конденсацией».

#неэрмитовы_системы

Полюсы и нули функций отклика электромагнитной системы на комплексной плоскости частот ω дают информацию, соответственно, о ее собственных модах и о точках полного поглощения.

Авторы этой статьи обращают внимание на метод численного нахождения полюсов и нулей, основанный на контурном интегрировании по комплексной плоскости. К примеру, мы рассматриваем метаповерхность в виде массива диэлектрических усеченных конусов и, численным решением уравнений Максвелла, находим ее функцию отклика, – например, коэффициент отражения q(ω), – вдоль контура комплексных частот, показанного черными точками. Посчитав интегралы от ωⁿq(ω) с разными степенями n, по ним можно найти положения нулей и полюсов внутри контура – они показаны красными и синими точками. Таким образом, не требуется решать уравнения Максвелла на всей плоскости комплексных частот.

Правда, не стоит забывать, что такой метод применим лишь в том случае, когда оптические константы материалов хорошо определены на комплексных частотах.

#фотоника

Циркулярно поляризованная электромагнитная волна заставляет электроны в облучаемом материале двигаться по кругу. В этом эксперименте показано, что это может создавать магнитное поле до 0.7 Тл, если облучать графеновые нанодиски терагерцовыми импульсами.

Импульс частотой 3.5 ТГц попадает в резонанс с дипольным плазмоном на графеновых дисках диаметром 1.2 мкм. При их облучении циркулярно поляризованным импульсом образуется суперпозиция двух перпендикулярных дипольных плазмонов, сдвинутых по фазе на π/2, то есть циркулярный плазмон с круговым током. Снизу показан результат моделирования магнитного поля, создаваемого таким током.

Его можно обнаружить по аналогу эффекта Фарадея, то есть по вращению плоскости поляризации второго, зондирующего терагерцового импульса, имеющего изначально линейную поляризацию. Даже при не очень большой интенсивности накачки угол вращения достигает 1°, что сравнимо с результатом обычного эффекта Фарадея во внешнем магнитном поле 0.7 Тл.

#плазмоны #графен