Как говорилось в предыдущем посте, соотношение неопределенностей Робертсона-Шредингера не особо полезно с точки зрения теории информации. Его альтернативой являются энтропийные соотношения неопределенностей, имеющие дело не со стандартными отклонениями, а с энтропиями измеряемых величин.

Простейший вариант таких соотношений показан на рисунке: сумма энтропий Шеннона H(X) и H(Z) результатов измерений двух наблюдаемых X и Z ограничена снизу убывающей функцией log(1/c) величины c. Эта величина определяется как максимальное перекрытие |X> и |Z> (собственных векторов X и Z), то есть максимальный квадрат модуля их попарных скалярных произведений.

Если наборы собственных векторов X и Z почти совпадают, то c ≈ 1, так что log(1/c) ≈ 0, и наблюдаемые X, Z могут быть измерены одновременно с почти нулевой энтропией. Если же их направления максимально не совпадают, то log(1/c) достигает верхнего предела log(d), где d – размерность гильбертова пространства системы.

#квантовая_механика #информация #объяснения

Судя по списку авторов, в этой статье уже произошло квантовое запутывание с генерацией нелокальной информации.

#цитаты #квантовая_механика #информация

Теория квантовой информации позволяет посмотреть свежим взглядом на школьную арифметику:
оказывается, 2 – это не 1 плюс 1, а 1 или 1.

Например, если Маша дает Пете 2 яблока, это означает, что Петя может взять себе и скушать только одно из этих яблок, но не оба сразу.

#цитаты #квантовая_механика #квантовые_вычисления #информация

Интересная работа, в которой описывается и доказывается математически принцип дополнительности для локальной и нелокальной информации о квантовых системах. Его можно считать некоторым аналогом принципа дополнительности Бора: утверждения о том, что любую квантовую систему мы можем описывать в рамках одной из двух дополнительных картин (например, координатной и импульсной), но не двумя одновременно.

«Описывать» в данном случае подразумевает определение статистики наблюдаемых величин и дальнейшее использование полученной информации в нашей классической жизни: передача ее по классическим каналам связи от одних исследователей к другим, публикация полученных результатов, использование информации для извлечения работы, для решения вычислительных задач и т.д. Действительно, поскольку операторы координаты и импульса не коммутируют, мы не можем работать одновременно с полной совместной статистикой этих величин, а должны ограничиваться одной из них (или неким компромиссом между ними, как это делается в представлении когерентных состояний).

В этой работе показано, что, похожим образом, дополнительными – то есть взаимно несовместимыми – являются локальная и нелокальная информация об одной и той же квантовой системе, состоящей из двух или большего числа пространственно разнесенных подсистем (parties). Локальная информация – это та информация, которая может быть получена в результате набора локальных операций (унитарных преобразований над каждой подсистемой и проведения локальных измерений над ними) и классических коммуникаций (передачи сигналов по классическим каналам связи о результатах локальных измерений).

Более точно ее можно определить как I_l – число бит информации, которую можно получить в результате набора локальных операций и классических коммуникаций. Иными словами, это число получаемых чистых сепарабельных кубитов. Локальная информация имеет важный практический смысл: к примеру, ее можно использовать для того, чтобы превращать теплоту в работу, потому что при доступе к термостату с температурой T каждый бит локальной информации позволяет извлечь T ln 2 работы. Можно ввести еще такую величину, как I_cor = I_l – I_LO – разность между локальной информацией I_l и той информацией I_LO, которую мы можем получить только локальными операциями, без классических коммуникаций между подсистемами. То есть I_cor – это та локальная информация, которую мы можем извлечь из существующих корреляций между подсистемами.

Нелокальную информацию можно определить как число E_D синглетных максимально запутанных пар кубитов (|0>₁|1>₂ – |0>₁|1>₂)√2, распределенных по разным подсистемам, которые мы можем очистить, то есть получить в чистом виде в результате набора локальных операций и классических коммуникаций. Величина E_D имеет важный практический смысл: это число кубитов, которые мы можем подвергнуть квантовой телепортации, используя текущее состояние нашей системы как ресурс, который будет использован в ходе телепортации.

Авторы доказывают следующее неравенство: I_cor(P) + E_D(P) ≤ n/2, где n – полное число кубитов в системе. Неравенство говорит о том, что сумма локальной информации I_cor(P) и нелокальной информации E_D(P), получаемых в ходе одного и того же набора P локальных операций и классических коммуникаций, не может превышать универсального предела n/2. Таким образом, локальная и нелокальная информация взаимно дополнительны: в ходе любого набора операций P мы можем получить максимум локальной информации (использовав ее, например, для превращения тепла в работу), но тогда потеряем нелокальную информацию. А можем, наоборот, получить максимум нелокальной информации (потратив ее на телепортацию), но тогда потеряем локальную информацию. Одновременно получить максимум и локальной информации, и нелокальной информации невозможно.

#квантовая_механика #квантовые_вычисления #информация #отвал_башки

Простейший пример взаимной дополнительности локальной и нелокальной информации, описанной в предыдущем посте, возникает в случае двух максимально запутанных кубитов.

Если у нас имеется белловская пара в состоянии (|0>₁|1>₂ – |0>₁|1>₂)√2, то мы можем извлечь из нее 1 бит локальной информации. Например, Алиса измеряет состояние своего кубита и отправляет результат Бобу по классическому каналу связи, а Боб инвертирует свой кубит, если у Алисы получилось состояние |0>, и не трогает его в противном случае. Таким образом, у Боба окажется кубит, достоверно находящийся в состоянии |0>. Его можно потом использовать – например, привести в максимально смешанное состояние, превратив благодаря этому теплоту в работу.

Это пример протокола, в котором мы, в ходе набора локальных операций и классических коммуникаций, получаем 1 бит локальной информации, но полностью теряем нелокальную информацию: после пересылки результата измерения по классическому каналу связи квантовая запутанность кубитов разрушается. Но можем, напротив, использовать исходное состояние двух кубитов для извлечения нелокальной информации – а именно, для стандартной квантовой телепортации одного кубита. Можно показать, что после этого состояния двух исходных кубитов, использованных в качестве ресурса для осуществления телепортации, будут максимально смешанными, так что из них уже нельзя будет извлечь никакой локальной информации. Оба этих случая попадают под описанное выше неравенство I_cor(P) + E_D(P) ≤ n/2 = 1 для системы n = 2 кубитов. В первом случае 1 + 0 ≤ 1, во втором 0 + 1 ≤ 1.

Примечательно, что если вся совместная квантовая система находится в чистом состоянии, то это вместо этого неравенства можно записать равенство max[I_cor] + max[E_D] = I_M, где I_M – взаимная информация подсистем, а максимумы берутся по всем возможным протоколам P. В случае белловской пары кубитов I_M = 2, и это часто трактуется в таком духе, что взаимная информация складывается из «классической» части (1 бита, обусловленного скоррелированностью состояний кубитов) и существенно квантовой части (1 бита, содержащего информацию об относительной фазе двух кубитов). Указанное выше равенство 1 + 1 = 2 выражает такую трактовку на математическом уровне.

Но любопытно, что на практике, используя лишь локальные операции и классические коммуникации, мы не можем использовать оба этих бита взаимной информации одновременно. Мы извлекаем лишь первый из них (локальную информацию), либо второй (нелокальную информацию). В этом смысл утверждения авторов о том, что 2 – это не 1 + 1, а 1 или 1.

#квантовая_механика #квантовые_вычисления #информация #отвал_башки

В некоторых материалах и диапазонах частот групповая скорость распространяющейся в ней волны оказывается отрицательной. Казалось бы, это противоречит принципу причинности: волновой пакет как целое будет распространяться не вперед, а назад, так что на выходе сигнал появится раньше, чем на входе.

В этой работе рассматривается электронный аналог подобного вещества: соединенные последовательно полосовые усилители, каждый из которых в большей части спектра дает отрицательную групповую задержку проходящего через него волнового пакета. При пропускании через такую систему волновых пакетов их «центры масс» на выходе оказываются опережающими таковые на входе, потому что передняя часть пакета усиливается сильнее задней.

Это и есть проявление отрицательной групповой скорости: как видно на графиках справа, в среднем пакет выходит из системы раньше, чем входит. Но начальный фронт сигнала появляется на выходе одновременно со входным, так что принцип причинности здесь не нарушается.

#электродинамика #объяснения

Как мы все помним из курса оптики, вблизи частоты резонансного поглощения нормальная дисперсия, то есть растущая n(ω), сменяется аномальной, то есть убывающей n(ω), а затем снова нормальной. Это означает, что групповая скорость отрицательна вблизи резонанса, положительна вдали от него и два раза переходит через ±∞ между этими областями.

Как я писал в предыдущем посте, аномальное поведение групповой скорости не противоречит принципу причинности. Групповая скорость определяет лишь скорость распространения «центра масс» волнового пакета, а начальный фронт импульса никогда не распространяется быстрее скорости света. Если групповая скорость отрицательна, время средней задержки импульса при прохождении через вещество тоже отрицательно, если же уходит в ±∞, то время задержки зануляется.

Вот эксперимент с допированным фосфидом галлия, где хорошо видно, как ведет себя измеренная задержка импульса вблизи экситонного резонанса – ровно так, как описывается теорией.

#электродинамика #объяснения

Еще насчет групповой скорости: ситуация, при которой она оказывается отрицательной и обеспечивает «сверхсветовой» режим распространения импульсов – не что-то атипичное и патологическое. Напротив, существование областей частот, в которой групповая скорость ведет себя аномально, неизбежно вытекает из принципа причинности.

В этой работе при помощи соотношений Крамерса-Кронига доказываются две теоремы. Согласно первой теореме, в любой среде с линейным откликом – неважно, поглощающей, активной или смешанной – должны существовать значения частот, при которых групповая скорость v_g либо превышает скорость света, либо уходит в бесконечность, либо отрицательна. Вторая теорема гласит, что при той частоте, где поглощение достигает абсолютного максимума, групповая скорость обязана быть отрицательной. Интуитивно это понятно, поскольку в пике поглощения мы имеем аномальную дисперсию.

Hа рисунке показан пример поведения групповой задержки L/v_g в материале с полосами поглощения и усиления.

#электродинамика #объяснения

В этой работе теоретически рассмотрен магнонный спиновый конденсатор – аналог конденсатора, в котором на обкладках вместо противоположных электрических зарядов накапливаются магноны с противоположными спинами.

Он состоит из двух ферромагнетиков, играющих роль обкладок и связанных обменным XXZ-взаимодействием между электронными спинами. Спиновые токи, поступающие на них из прилегающих электродов, накапливаются и создают разность химических потенциалов магнонов, аналогичную напряжению на конденсаторе.

Как в случае обычного конденсатора, емкость магнонного конденсатора складывается из классической и квантовой емкости. Квантовая емкость обусловлена сжимаемостью магнонного газа в каждой обкладке, а классическая – XXZ-взаимодействием обкладок (в то время как в обычном конденсаторе она обусловлена электростатическим взаимодействием). Интересно, что у магнонного конденсатора классическая емкость обратно пропорциональна площади обкладок, а еще она может быть как положительной, так и отрицательной.

#магнетизм

Какой статистикой описываются величины весов w межнейронных связей в большой обученной нейронной сети? Авторы этой работы подходят к такой задаче с точки зрения экономической теории игр: число связей с одним и тем же модулем весов |w| определяется компромиссом между выгодой (минимизацей функции потерь) от существования таких связей, издержками на их поддержание и соревнованием между связями. В равновесии Нэша суммарная полезность всех величин |w| достигает максимума.

Простейшая модель для полезности и издержек показывает, что в равновесии модули |w| должны следовать логнормальному распределению – то есть логарифм ln |w| должен иметь гауссово распределение. Как показано на графиках, эмпирическая статистика весов в современных больших нейронных сетях действительно описывается логнормальным распределением.

Интересно, что такая статистика проявляется, только когда число связей действительно большое – как минимум, несколько десятков тысяч, что можно считать аналогом термодинамического предела.

#нейронные_сети

Проникновение магнитных вихрей внутрь сверхпроводника иногда происходит в форме лавин. Если где-то на поверхности сверхпроводника 2-го рода температура, магнитное поле или электрический ток локально повышаются настолько, что магнитное поле превышает верхнее критическое, в него начинают проникать вихри. Движение вихрей приводит к выделению тепла, что еще сильнее облегчает проникновение новых вихрей и т.д. – возникает цепная реакция, которая останавливается, когда выделяющееся тепло достаточно сильно рассеивается по толще сверхпроводника.

На рисунке показан пример такой лавины в сверхпроводящем MgB₂, которая видна по проникновению магнитного поля (первая строка диаграмм), по локальному росту температуры (вторая строка) и по локальному уменьшению электрического поля из-за разрушения сверхпроводимости (третья строка). В ходе этой лавины в сверхпроводник проникло несколько миллионов вихрей.

#сверхпроводимость

Один из способов моделировать теоретически и реализовывать в эксперименте эволюцию открытых квантовых систем основан на столкновительной модели (collision model). В этой модели взаимодействие квантовой системы с окружением аппроксимируется в виде последовательности столкновений – актов взаимодействия с внешними, вспомогательными подсистемами, происходящих в определенные моменты времени.

Если каждая вспомогательная система представляет собой кубит, то после взаимодействия можно измерять его состояние и отбирать только те реализации эксперимента, в которых получен определенный результат – 0 или 1. Отбирая нужную последовательность нулей и единиц, получаемую в результате измерения состояний всех вспомогательных подсистем после актов их взаимодействия с нашей квантовой системой, можно отбирать заданную квантовую траекторию ее эволюции. С математической точки зрения, состояние системы пропускается при этом через квантовый канал с заданной последовательностью операторов Крауса.

#открытые_квантовые_системы

В этой работе столкновительная модель была реализована на квантовом компьютере ibmq jakarta. При этом квантовые траектории системы, отвечающие последовательностям (pᵢ) результатов измерений pᵢ = 0, 1 над вспомогательными подсистемами, не жестко отбирались, а взвешивались с гиббсовскими весами exp(–sH(pᵢ)), где H(pᵢ) – заданный гамильтониан модели Изинга, s – ее обратная температура.

Таким образом, здесь реализуется ансамбль квантовых траекторий системы, распределение которых можно смещать в нужную нам сторону по сравнению с равномерным распределением, которое возникает, если вспомогательные подсистемы никак не трогать.

Для случая, когда H – гамильтониан ферромагнитной цепочки 3 спинов, на рисунке показаны вероятности реализации траекторий (p₁,p₂,p₃). Видно, как изменение s = 0,±1, показанное разными цветами, позволяет смещать их веса, хотя из-за дефектов квантового чипа экспериментальные результаты (круги) заметно отклоняются от точного моделирования (линий на нижней панели).

#открытые_квантовые_системы

В этой работе решалась одна из задач, называемых термином epidemic inference – это задачи байесовского (вероятностного) вывода в применении к моделированию распространения эпидемий. К примеру, у нас имеется модель распространения эпидемии и набор отрывочных данных – результатов анализов, дающих информацию о состояниях xᵢ(t) (здоров, заражен или выздоровел) определенных людей i в некоторые моменты времени t.

По имеющейся модели и этим данным мы хотим восстановить (вероятностным образом) остальную информацию о ходе распространения эпидемии: например, найти нулевого пациента (то наиболее правдоподобную статистику xᵢ(0)) или оценить риск последующего заражения для конкретного человека (распределение вероятностей xᵢ(t) для фиксированного i и разных t).

Известно, что подобные задачи сводятся к задаче о моделировании спинового стекла – NP-трудной задаче, нуждающейся в приближенных методах решения. В этой работе для решения использовался набор связанных нейронных сетей.

#оптимизация #стекла #нейронные_сети

Вот горький урок современной практики машинного обучения: улучшения результатов проще всего добиться тупым увеличением размера модели или длительности ее обучения, а не изобретением хитроумных методов и тонкой подстройкой нейросетевых архитектур.

#цитаты #нейронные_сети

Небольшой комментарий к этому посту о важной работе, в которой задача обучения нейронной сети методу обратной диффузии сводится к задаче предсказания шума.

Цель метода обратной диффузии – уметь обращать вспять расплывание исходного облака осмысленных изображений, имеющего плотность q(x₀) и существующего в многомерном пространстве изображений, представленных векторами x. Здесь важно понимать, что обращению поддается не любая диффузия (на уровне блуждания одной частицы это невозможно), а расплывание лишь определенного облака. Оно идет, в среднем, вдоль определенных траекторий, примерный вид которых показан на рисунке.

Если мы найдем поле таких траекторий, то, двигаясь по ним в обратном направлении, мы можем обратить диффузию. Вот только нахождение этих траекторий – очень сложная вычислительная задача, особенно в пространстве огромной размерности. Метод предсказания шума дает остроумный рецепт их нахождения на практике путем подгонки любой достаточно гибкой функции ϵ_θ(x_t, t).

#нейронные_сети #объяснения

Метод обратной диффузии позволяет обращать зашумление изображений и превращать случайный шум в осмысленные картинки, «похожие» статистически на картинки из обучающей выборки. Но как получить не просто случайную картинку, а изображение определенного класса – например, изображение сиамского кота?

Простейший случай направления обратной диффузии называется classifier diffusion guidance. О нем я писал в этом посте, и он основан на использовании классификатора. Напомню, что классификатор – это отдельно обученная нейросеть, умеющая распознавать зрительные образы, то есть вычислять функцию p(y|x) – вероятность того, что изображение x принадлежит к классу y. При обратной диффузии на каждом шаге обновления изображения x⁽ᵗ⁻¹⁾ → x⁽ᵗ⁾ из него постепенно удаляется шум, так вектор x движется все ближе к множеству осмысленных картинок. Направление при помощи классификатора технически сводится к тому, что к шагам обратной диффузии добавляется, в меру некоторого коэффициента, градиент функции ∂p(y|x)/∂x – то есть мы смещаем траекторию обратной диффузию в сторону увеличения p(y|x) при заданной метке класса y (к примеру, класса изображений сиамских котов).

Проблема этого метода в том, что подобное движение вдоль градиента ∂p(y|x)/∂x аналогично враждебным атакам (или «взлому») нейросетей, призванных обмануть классификатор, подсунув ему изображение x, на котором функция p(y|x) достигает больших значений, но выглядящего для нас совершенно бессмысленно или неправильно. В этой работе был изобретен метод обратной диффузии, направляемый без использования классификатора (classifier-free diffusion guidance). Сейчас он является де-факто стандартом для нейросетевой генерации заданных изображений.

Чтобы понять, как работает этот метод, лучше вспомнить формулировку метода обратной диффузии в виде метода предсказания шума: перебирая различные изображения из обучающей выборки, мы подгоняем функцию ϵ_θ(x, t), которая для любого случайного вектора с гауссовым распределением ϵ дает нам решение уравнения ϵ_θ(x⁽ᵗ⁾, t) = ϵ, где точка x⁽ᵗ⁾ получается смещением из одной из точки x⁽⁰⁾ обучающей выборки (которые перебираются при обучении) на тот же вектор ϵ. При этом исходный вектор x⁽⁰⁾ и вектор ϵ перемасштабируются в зависимости от числа шагов t случайных блужданий, которые тоже перебираются при обучении.

Если обучающая выборка разбита на различные классы y, то мы подгоняем уже функцию ϵ_θ(x, y, t), зависящую дополнительно от y. При обучении функции ϵ_θ(x, y, t) при каждом y мы перебираем не все изображения x⁽⁰⁾ обучающей выборки, а лишь те, которые принадлежат к классу y. А еще некоторой вероятностью в качестве класса берется y = ∅ (пустое множество), что означает перебор всех изображений x⁽⁰⁾ без ограничений.

После того, как, уменьшением функции потерь, мы подогнали функции ϵ_θ(x, y, t) для всех имеющихся классов y и, дополнительно, функцию ϵ_θ(x, ∅, t), мы готовы к реализации обратной диффузии: на каждом шаге устранения шума x⁽ᵗ⁻¹⁾ → x⁽ᵗ⁾ мы вместо оригинальной ϵ_θ используем взвешенную линейную комбинацию (1 + w) ϵ_θ(x, y, t) – w ϵ_θ(x, ∅, t). Параметр w регулирует силу направления диффузии: чем он больше, тем в большей мере мы стремим обратную диффузию поближе к заданному классу y и подальше от общего множества картинок y = ∅. Более сильное направление обратной диффузии позволяет добиться от нейросети более точного выполнения задания, когда создаваемое изображение более строго соответствует нужному классу. Но происходит это ценой снижения разнообразия результатов.

Направление обратной диффузии без классификатора имеет ряд важных преимуществ. Во-первых, нам не нужен, собственно, классификатор – отдельная нейросеть, которую нужно разрабатывать и обучать. Во-вторых, мы защищены от эффектов враждебных атак. А дополнительная вычислительная нагрузка от обучения набора функций ϵ_θ(x, y, t) вместо исходной функции ϵ_θ(x, t) относительно невелика, поскольку сводится лишь к появлению у нейросети дополнительного входного сигнала y.

#нейронные_сети #популярное #объяснения

В этой работе предсказаны резонансы Фешбаха в двусхлойных структурах, составленных из двумерных дихалькогенидов переходных металлов: электрон, рассеиваясь на экситоне, может временно образовать виртуальный трион, из-за чего длина рассеяния демонстрирует (как показано на графике справа) полюсы при определенных значениях разности энергий между слоями ΔE.

Диаграмма снизу показывают численно найденные спектры энергий системы трех тел – двух электронов и одной дырки – как функции ΔE. Синее и зеленое затенение показывают континуумы несвязанных электрон-экситонных состояний для внутри- и межслойного экситона. А толстые цветные линии показывают энергии соответствующих трионов – связанных состояний, лежащих ниже континуумов.

Резонансы Фешбаха возникают в тех точках (F₁ и F₂), где трион одного вида гибридизуется с континуумом другого вида: из-за туннелирования дырки между слоями рассеивающаяся пара одного вида может превращаться в виртуальный трион другого вида и обратно.

#дихалькогениды_переходных_металлов

Двухкомпонентные атомные бозе-конденсаты – это, как правило, более сложная система, чем просто совокупность двух конденсатов. Например, в смеси атомов с противоположными ориентациями спинов компоненты можно гибридизовывать (то есть когерентно перекачивать друг в друга) при помощи лазерного облучения, тогда в гамильтониане появляются недиагональные по компонентам слагаемые, пропорциональные расщеплению Раби.

В этой работе теоретически показано, что такая гибридизация в двухкомпонентном бозе-конденсате позволяет управлять его квантовым давлением и совершать механическую работу – когда конденсат расширяется, толкая поршень. На графике справа показано, как давление конденсата зависит от координаты поршня a при разных величинах расщепления Раби Δ. По мере увеличения Δ (красная, затем зеленая и синяя кривые) давление в целом возрастает, хотя, как видно по точке бифуркации, после перехода конденсата в полностью поляризованное состояние давление насыщается и перестает зависеть от Δ.

#атомные_газы #бозе_конденсация

А вот любопытный пример из статьи из предыдущего поста, в котором производится термодинамическая оптимизация в духе коротких путей к адиабатичности.

Представим, что мы хотим расширить сосуд с газом по определенной траектории a(t), показанной красной кривой на верхнем графике. В начале и в конце этой траектории скорость поршня должна зануляться. «Наивный» способ так сделать – менять, к примеру, угол гибридизации компонент конденсата ϕ(t) таким образом, чтобы в каждый момент времени мгновенное давление отвечало требуемой координате поршня a(t). Такой протокол (снизу) и его результат (сверху) показаны синими кривыми: как видно, из-за неадиабатичности динамики в реальности поршень заканчивает движение с ненулевой скоростью.

Чтобы добиться движения поршня именно по заданной траектории, нужен оптимизированный протокол ϕ(t), который авторы нашли подгонкой полиномиальной функции. Он сам и его результат показаны зелеными кривыми.

#атомные_газы #бозе_конденсация #квантовая_термодинамика

Недавно я писал об Imagen – нейросети нового поколения от корпорации Google, которая сочетает способность к генерации фотореалистичных изображений по текстовому описанию. А вот ее конкурент от корпорации Nvidia – нейросеть eDiff-I.

Главное отличие этих двух нейросетей от предыдущего поколения моделей (таких, как Midjorney, Stable Diffusion, DALL-E-2 и т.д.) – в более глубоком понимании текстовой фразы, на основе которой производится генерация. Они правильно связывают объекты с указанными для них свойствами: например, способны нарисовать одновременно, на одном кадре, собаку в синей рубашке и кота в красной рубашке, не спутав между собой цвета. Также они корректно рисуют кадры с заданными текстовыми надписями, как показано на рисунке. Предыдущие поколения нейросетей с такими задачами справляются заметно хуже.

Еще пример, показанный ниже: eDiff-I способна нарисовать двух плюшевых медвежат, сидящих на медведе-гризли, не спутав между собой игрушечных медведей с настоящим.

#нейронные_сети #популярное