near actions
Определим категорию NearSet, в ней объекты --- множества, а морфизмы Near(X, Y) --- функции X -> Y, определенные на ко-конечном куске Х. Почти-действием группы G на множестве Х называется функтор из G в NearSet такой, что образ объекта --- Х, всё как обычно. Расшифровывая это определение получается, что почти-действие на Х это почти действие, то есть элемент g\in G действует как биекция из ко-конечного подмножества Х в ко-конечное подмножество Х (и всё с точностью до очевидной эквивалентности).
Это определение позволяет брать группы и превращать их в косичковые с помощью определенной конструкции. Для начала приведу пример: пусть G = S_n и [n] --- множество из n элементов. Определим near-action группы G на X = [n] x ω, то есть на парах (x, m), где x \in [n], m -- натуральное. Определим так: если f \in G, то f'(x, m) = (f(x), m+1). То есть, действие переставит точки и "сдвинет всю конструкцию наверх".
Теорема (референс неизвестен, но это видно глазами). Подгруппа в NearSet(X, X) порожденная f'-ми изоморфна группе кос B_n.
Значит общую конструкцию видимо так и нужно определять, если есть действие G на X, то перейдя к действию на X x ω, определенному как выше, мы получим нечто "заплетенное".
Можно так перейти от группы Томпсона V к заплетенной группе Томпсона-Деорнуа bV (для этого нужны TopologicalNear actions, в которых, видимо, достаточно гомеоморфизма up to компактное подмножество ), если использовать стандартное действие V на канторовом множестве.
Yves Cornulier, https://arxiv.org/abs/1901.05065
Определим категорию NearSet, в ней объекты --- множества, а морфизмы Near(X, Y) --- функции X -> Y, определенные на ко-конечном куске Х. Почти-действием группы G на множестве Х называется функтор из G в NearSet такой, что образ объекта --- Х, всё как обычно. Расшифровывая это определение получается, что почти-действие на Х это почти действие, то есть элемент g\in G действует как биекция из ко-конечного подмножества Х в ко-конечное подмножество Х (и всё с точностью до очевидной эквивалентности).
Это определение позволяет брать группы и превращать их в косичковые с помощью определенной конструкции. Для начала приведу пример: пусть G = S_n и [n] --- множество из n элементов. Определим near-action группы G на X = [n] x ω, то есть на парах (x, m), где x \in [n], m -- натуральное. Определим так: если f \in G, то f'(x, m) = (f(x), m+1). То есть, действие переставит точки и "сдвинет всю конструкцию наверх".
Теорема (референс неизвестен, но это видно глазами). Подгруппа в NearSet(X, X) порожденная f'-ми изоморфна группе кос B_n.
Значит общую конструкцию видимо так и нужно определять, если есть действие G на X, то перейдя к действию на X x ω, определенному как выше, мы получим нечто "заплетенное".
Можно так перейти от группы Томпсона V к заплетенной группе Томпсона-Деорнуа bV (
Yves Cornulier, https://arxiv.org/abs/1901.05065
arXiv.org
Near actions
A near permutation of a set is a bijection between two cofinite subsets, modulo coincidence on smaller cofinite subsets. Near permutations of a set form its near symmetric group. In this...
🔥1
Пусть G — некоторая конечно-порожденная конечно-представимая группа. Сопоставим ей число minrel(G) - минимальное количество соотношений, необходимое чтобы задать группу G. То есть, minrel(G) это такое минимальное n, что G задается копредставлением <x_1, …, x_m | r_1, … ,r_n>
Можно это число оценить снизу определенным образом. Давайте зафиксируем какое-то копредставление G = F/R, тогда R/R’ = R_ab становится Z[G]-модулем (относительно сопряжения). Этот модуль называется модулем соотношений. Ему соответствует ранг rk R_ab — минимальное количество порождающих элементов.
Очевидная оценка такая. Пусть R является нормальным замыканием k элементов, тогда rk R_ab <= k
Доказательство:образы этих k элементов тавтологически порождают весь модуль
Введем второй инвариант группы minrank(G) — минимальный ранг модуля соотношений среди всех копредставлений G. Вместе с очевидной оценкой выше получаем неравенство minrank(G) <= minrel(G).
Гипотеза дыр соотношений говорит, что minrank(G) = minrel(G). Как обычно, ожидается, что эта гипотеза неверна.
Можно это число оценить снизу определенным образом. Давайте зафиксируем какое-то копредставление G = F/R, тогда R/R’ = R_ab становится Z[G]-модулем (относительно сопряжения). Этот модуль называется модулем соотношений. Ему соответствует ранг rk R_ab — минимальное количество порождающих элементов.
Очевидная оценка такая. Пусть R является нормальным замыканием k элементов, тогда rk R_ab <= k
Доказательство:
Введем второй инвариант группы minrank(G) — минимальный ранг модуля соотношений среди всех копредставлений G. Вместе с очевидной оценкой выше получаем неравенство minrank(G) <= minrel(G).
Гипотеза дыр соотношений говорит, что minrank(G) = minrel(G). Как обычно, ожидается, что эта гипотеза неверна.
👍1
Как приближение этой гипотезы, можно её решить “над Q”, то есть, рассмотреть R_ab o Q как модуль над Q[G]. Сформулирую некоторую алгебраическую лемму, которая является “обобщением” т.н. трюка Линелля-Грюнберга. Лемма такая:
Пусть R кольцо, M модуль над ним, порожденный x, y, причем есть соотношение x.α = y.β. Пусть также R, M свободны как модули над Z. Пусть выполняются 3 условия:
1. α и β коммутируют
2. x.β = x.k для некоего целого k
3. 1 - α обратимый элемент R
Тогда M o Q одномерен над R o Q (для строгости потребуем, чтобы R был свободным как абелева группа, тогда все тензорные умножения можно воспринимать как локализацию в Z*1\0)
Доказательство:
Рассматриваем z = y.k + x.(1-α). Покажем, что он порождает над Q весь М
(y.k + x.(1-α)).(β(1-α) - k) = -y.k^2 + y.kβ(1-α) + x.(1-α)β(1-α) - x.k(1-α)
= -y.k^2 + x.kα(1-α) + x.k(1-α)(1-α) - x.k(1-α) = -y.k^2 +
= x.k(α - α^2 + 1 - 2α + α^2 - 1 + α) =
= -y.k^2
Мы воспользовались 1. и 2. уже чтобы это получить. Теперь заметим, что раз 1/k^2 существует в R o Q, то y \in <z>
а значит x.(1-α) \in <z>. Теперь мы пользуемся обратимостью (3.) и получаем, что x \in <z>.
Рассмотрим G = <a, b | [a, b], a^n> копредставление группы Z x Z/n. Будем применять лемму для R = Z[G], M = R_ab, x — образ [a, b], y — образ a^n в M.
Соотношение есть такое: раскроем в свободной группе [a^n, b] двумя способами:
1. [a^n, b] = a^n * (a^{-n})^b
2. [a^n, b] = [a, b][a, b]^a…[a, b]^{a^{n-1}}
То есть, в модуле соотношений есть такое соотношение на x, y:
y * (1 - b) = x * (1 + a + … + a^{n-1}). Возьмем их как α и β. В данном случае кольцо R = Z[Z x Z/n] коммутативно, поэтому α и β коммутируют. y * (1 + a + … + a^{n-1}) = y*n, поскольку сопряжение a действует тривиально на а, 1 - (1-b) = b обратимый элемент кольца.
Очевидно, что группу G невозможно задать одним соотношением, тем не менее, для этого копредставления её модуль 1-мерен над Q.
Пусть R кольцо, M модуль над ним, порожденный x, y, причем есть соотношение x.α = y.β. Пусть также R, M свободны как модули над Z. Пусть выполняются 3 условия:
1. α и β коммутируют
2. x.β = x.k для некоего целого k
3. 1 - α обратимый элемент R
Тогда M o Q одномерен над R o Q (для строгости потребуем, чтобы R был свободным как абелева группа, тогда все тензорные умножения можно воспринимать как локализацию в Z*1\0)
Доказательство:
(y.k + x.(1-α)).(β(1-α) - k) = -y.k^2 + y.kβ(1-α) + x.(1-α)β(1-α) - x.k(1-α)
= -y.k^2 + x.kα(1-α) + x.k(1-α)(1-α) - x.k(1-α) = -y.k^2 +
= x.k(α - α^2 + 1 - 2α + α^2 - 1 + α) =
= -y.k^2
Мы воспользовались 1. и 2. уже чтобы это получить. Теперь заметим, что раз 1/k^2 существует в R o Q, то y \in <z>
а значит x.(1-α) \in <z>. Теперь мы пользуемся обратимостью (3.) и получаем, что x \in <z>.
Рассмотрим G = <a, b | [a, b], a^n> копредставление группы Z x Z/n. Будем применять лемму для R = Z[G], M = R_ab, x — образ [a, b], y — образ a^n в M.
Соотношение есть такое: раскроем в свободной группе [a^n, b] двумя способами:
1. [a^n, b] = a^n * (a^{-n})^b
2. [a^n, b] = [a, b][a, b]^a…[a, b]^{a^{n-1}}
То есть, в модуле соотношений есть такое соотношение на x, y:
y * (1 - b) = x * (1 + a + … + a^{n-1}). Возьмем их как α и β. В данном случае кольцо R = Z[Z x Z/n] коммутативно, поэтому α и β коммутируют. y * (1 + a + … + a^{n-1}) = y*n, поскольку сопряжение a действует тривиально на а, 1 - (1-b) = b обратимый элемент кольца.
Очевидно, что группу G невозможно задать одним соотношением, тем не менее, для этого копредставления её модуль 1-мерен над Q.
Ликбез по теореме о сфере
Есть такой вопрос в теории узлов, на который я никогда не понимал как отвечать: чем зацепление в S³ лучше чем зацепление в ℝ³?
Для меня существовало такое объяснение: дополнение к зацеплению в S³ это компактное многообразие (с краем), на нем можно ввести риманову метрику и, например, может получиться посчитать объем. В общем, мне казалось, что это различие чисто геометрического характера. Но всё-таки, оказывается, что гомотопически правильный объект — дополнение в S³.
Пусть L — какое-нибудь неразводимое зацепление в ℝ³ и N — его маленькая трубчатая окрестность, и G его группа. Очевидно, что π₁(ℝ³ \ N) = π₁(S³ \ N) = G. По теореме о сфере, S³ \ N = K(G, 1). При этом оказывается, что ℝ³ \ N просто неасферичен! В частности, ℝ³ \ N ≠ K(G, 1).
Доказательство.
Пусть D — 3-мерный шар, содержащий N.
• Внешность шара ℝ³ \ D деформационно ретрагируется на свою границу S² = ∂D.
• Выберем точку pt ∈ N. Существует естественное отображение f: D \ N —> D \ {pt} ≃ S².
Рассмотрим композицию
∂D —> D \ N —> D \ pt.
Гомотопически она есть некоторое отображение S² —> S². В частности, она задается своей степенью. Очевидно, что эта степень — 1, поэтому композиция нетривиальна на π₂. В частности, π₂ пространства посередине нетривиален.
Есть такой вопрос в теории узлов, на который я никогда не понимал как отвечать: чем зацепление в S³ лучше чем зацепление в ℝ³?
Для меня существовало такое объяснение: дополнение к зацеплению в S³ это компактное многообразие (с краем), на нем можно ввести риманову метрику и, например, может получиться посчитать объем. В общем, мне казалось, что это различие чисто геометрического характера. Но всё-таки, оказывается, что гомотопически правильный объект — дополнение в S³.
Пусть L — какое-нибудь неразводимое зацепление в ℝ³ и N — его маленькая трубчатая окрестность, и G его группа. Очевидно, что π₁(ℝ³ \ N) = π₁(S³ \ N) = G. По теореме о сфере, S³ \ N = K(G, 1). При этом оказывается, что ℝ³ \ N просто неасферичен! В частности, ℝ³ \ N ≠ K(G, 1).
Доказательство.
Пусть D — 3-мерный шар, содержащий N.
• Внешность шара ℝ³ \ D деформационно ретрагируется на свою границу S² = ∂D.
• Выберем точку pt ∈ N. Существует естественное отображение f: D \ N —> D \ {pt} ≃ S².
Рассмотрим композицию
∂D —> D \ N —> D \ pt.
Гомотопически она есть некоторое отображение S² —> S². В частности, она задается своей степенью. Очевидно, что эта степень — 1, поэтому композиция нетривиальна на π₂. В частности, π₂ пространства посередине нетривиален.
❤2
Стабильная коммутаторная длина 1/2
Если w ∈ G' — элемент коммутанта группы, то можно определить cl(w) — минимальную длину в порождающем множестве G', состоящем из всех коммутаторов. Несложно увидеть, что величина
scl(w) = lim cl(w^n)/n = inf cl(w^n)/n
тоже корректно определена. Она называется стабильной коммутаторной длиной элемента w.
Оказывается, что scl тесно связана с пространством других объектов — квазиморфизмов на группе. Скажем, что функция f : G -> ℝ является квазиморфизмом, если величина
D(f) = sup |f(gh) - f(g) - f(h)| < ∞.
Каждый квазиморфизм в некотором смысле эквивалентен однородному — то есть такому, для которого f(x^n) = n f(x). Обозначим пространство однородных квазиморфизмов через Qʰ.
Несколько неочевидных фактов про scl(w):
• Если G — свободная группа, то scl любого нетривиального элемента >= 1/2.
• Если w = [x, y] — просто коммутатор, то scl(w) <= 1/2.
• Задача вычисления scl(g) в свободной группе разрешима: есть алгоритм scallop, основанный на линейном программировании.
• Теорема двойственности Баварда говорит, что scl(g) = ½ sup |f(g)| / D(f), где f ∈ Qʰ.
Всё это можно попробовать применять в теории групп. Например, интересно спросить: как связаны свойства группы с одним соотношением из коммутанта <S | r > и величина scl(r)? В какой-то степени это исследуется в [этой работе](https://arxiv.org/abs/1911.02470).
Там же авторы задали вопрос: правда ли, что если <S | r> изоморфна <S' | r' >, то scl(r) = scl(r')? То есть, иначе говоря, является ли равенство стабильных коммутаторных длин необходимым условием изоморфизма 1-relator групп?
Тут напомню, что общий вопрос об изоморфизме 1-relator групп до сих пор открыт (обзор теории есть https://arxiv.org/abs/2501.18306). С помощью компьютерного перебора (и Клода) я недавно нашел контрпример к этой гипотезе (https://arxiv.org/abs/2608.21465). О самом контрпримере подробно расскажу в следующем посте, а этот я хочу закончить примером полезных квазиморфизмов на свободной группе F.
Квазиморфизмы Брукса (https://arxiv.org/pdf/1710.02392)
— это семейство функций, параметризованных элементом v ∈ F. Они задаются следующим образом:
fᵥ(g) = (количество вхождений v в g) - (количество вхождений v в g⁻¹)
Утверждается, что если элемент v циклически минимален, то fᵥ является однородным квазиморфизмом.
Если w ∈ G' — элемент коммутанта группы, то можно определить cl(w) — минимальную длину в порождающем множестве G', состоящем из всех коммутаторов. Несложно увидеть, что величина
scl(w) = lim cl(w^n)/n = inf cl(w^n)/n
тоже корректно определена. Она называется стабильной коммутаторной длиной элемента w.
Оказывается, что scl тесно связана с пространством других объектов — квазиморфизмов на группе. Скажем, что функция f : G -> ℝ является квазиморфизмом, если величина
D(f) = sup |f(gh) - f(g) - f(h)| < ∞.
Каждый квазиморфизм в некотором смысле эквивалентен однородному — то есть такому, для которого f(x^n) = n f(x). Обозначим пространство однородных квазиморфизмов через Qʰ.
Несколько неочевидных фактов про scl(w):
• Если G — свободная группа, то scl любого нетривиального элемента >= 1/2.
• Если w = [x, y] — просто коммутатор, то scl(w) <= 1/2.
• Задача вычисления scl(g) в свободной группе разрешима: есть алгоритм scallop, основанный на линейном программировании.
• Теорема двойственности Баварда говорит, что scl(g) = ½ sup |f(g)| / D(f), где f ∈ Qʰ.
Всё это можно попробовать применять в теории групп. Например, интересно спросить: как связаны свойства группы с одним соотношением из коммутанта <S | r > и величина scl(r)? В какой-то степени это исследуется в [этой работе](https://arxiv.org/abs/1911.02470).
Там же авторы задали вопрос: правда ли, что если <S | r> изоморфна <S' | r' >, то scl(r) = scl(r')? То есть, иначе говоря, является ли равенство стабильных коммутаторных длин необходимым условием изоморфизма 1-relator групп?
Тут напомню, что общий вопрос об изоморфизме 1-relator групп до сих пор открыт (обзор теории есть https://arxiv.org/abs/2501.18306). С помощью компьютерного перебора (и Клода) я недавно нашел контрпример к этой гипотезе (https://arxiv.org/abs/2608.21465). О самом контрпримере подробно расскажу в следующем посте, а этот я хочу закончить примером полезных квазиморфизмов на свободной группе F.
Квазиморфизмы Брукса (https://arxiv.org/pdf/1710.02392)
— это семейство функций, параметризованных элементом v ∈ F. Они задаются следующим образом:
fᵥ(g) = (количество вхождений v в g) - (количество вхождений v в g⁻¹)
Утверждается, что если элемент v циклически минимален, то fᵥ является однородным квазиморфизмом.
❤1
Стабильная коммутаторная длина 2/2
Теперь про контрпример к гипотезе. Напомню формулировку: правда ли если r ∈ F(S)', r' ∈ F(S')' -- такие, что <S | r> ≅ <S' | r'> то scl(r) = scl(r')?
Контрпример такой: S = S' = {a, b},
r = aabABabABBAbaabABBAb и r ′ = aabABabABabABBAbaBAb.
Он получился поиском первого потенциального контрпримера. Поиск был довольно простой.
1. Сначала заметим что если <S | r> ≅ <S' | r'>, то <S | r>_ab ≅ ℤ^|S| ≅ <S' | r'>_ab ≅ℤ^|S'|, то есть для нашего контрпримера нужно брать S = S'. И берем первый нетривиальный -- S = {a, b}, то есть работаем с группой F = F(a, b).
2. Дальше надо заметить, что если φ : F --> F автоморфизм, то scl(φ(r)) = scl(r). Поэтому нам нужно искать r, r' в разных орбитах тавтологического действия Aut(F).
Дальше с помощью клода строим уникальных представителей Aut(F)-орбит для элементов F'. Для каждого из них считаем какие-то показатели (это тоже у меня делал клод), например, считаем количество гомоморфизмов в какие-нибудь конечные группы. Если какая-то пара r, r' оказывается неотличимой на наших тестах -- пытаемся построить изоморфизм. Это оказывается не очень сложно сделать на компе. Дальше для таких пар r, r', для которых получилось доказать что они дают изоморфные группы, считаем scl(r), scl(r') используя scallop -- победа -- нашли контрпример!
Теперь осталось разве что (хоть немного) человечнее увидеть, что scl у этих слов реально отличается. Для этого примера это оказывается несложно сделать:
1. По двойственности Баварда, scl(r) ≥ f(r)/2D(f) для любого однородного квазиморфизма f. Возьмем f = fᵥ -- квазиморфизм Брукса для v = bA. Окажется, что D(fᵥ) = 2, fᵥ(r) = 3, по формуле имеем scl(r) ≥ 3/4
2. Относительно r' всё проще -- оказывается что r' сопряжен коммутатору:
r ′ = a [ab, ABabABabA] A
Поэтому, scl(r') ≤ 1/2 по замечанию из прошлого поста. Для строгости тут можно применить еще и первое замечание из предыдущего поста, согласно которому scl(r') ≥ 1/2. Получаем что scl(r') = 1/2.
Теперь про контрпример к гипотезе. Напомню формулировку: правда ли если r ∈ F(S)', r' ∈ F(S')' -- такие, что <S | r> ≅ <S' | r'> то scl(r) = scl(r')?
Контрпример такой: S = S' = {a, b},
r = aabABabABBAbaabABBAb и r ′ = aabABabABabABBAbaBAb.
Он получился поиском первого потенциального контрпримера. Поиск был довольно простой.
1. Сначала заметим что если <S | r> ≅ <S' | r'>, то <S | r>_ab ≅ ℤ^|S| ≅ <S' | r'>_ab ≅ℤ^|S'|, то есть для нашего контрпримера нужно брать S = S'. И берем первый нетривиальный -- S = {a, b}, то есть работаем с группой F = F(a, b).
2. Дальше надо заметить, что если φ : F --> F автоморфизм, то scl(φ(r)) = scl(r). Поэтому нам нужно искать r, r' в разных орбитах тавтологического действия Aut(F).
Дальше с помощью клода строим уникальных представителей Aut(F)-орбит для элементов F'. Для каждого из них считаем какие-то показатели (это тоже у меня делал клод), например, считаем количество гомоморфизмов в какие-нибудь конечные группы. Если какая-то пара r, r' оказывается неотличимой на наших тестах -- пытаемся построить изоморфизм. Это оказывается не очень сложно сделать на компе. Дальше для таких пар r, r', для которых получилось доказать что они дают изоморфные группы, считаем scl(r), scl(r') используя scallop -- победа -- нашли контрпример!
Теперь осталось разве что (хоть немного) человечнее увидеть, что scl у этих слов реально отличается. Для этого примера это оказывается несложно сделать:
1. По двойственности Баварда, scl(r) ≥ f(r)/2D(f) для любого однородного квазиморфизма f. Возьмем f = fᵥ -- квазиморфизм Брукса для v = bA. Окажется, что D(fᵥ) = 2, fᵥ(r) = 3, по формуле имеем scl(r) ≥ 3/4
2. Относительно r' всё проще -- оказывается что r' сопряжен коммутатору:
r ′ = a [ab, ABabABabA] A
Поэтому, scl(r') ≤ 1/2 по замечанию из прошлого поста. Для строгости тут можно применить еще и первое замечание из предыдущего поста, согласно которому scl(r') ≥ 1/2. Получаем что scl(r') = 1/2.
🔥4
Задача об SL_2 = E_2
Для любого кольца R можно построить 2 матричные группы:
1. SL_N(R) -- состоит из всех матриц с det(R) = 1;
2. E_N(R) -- подгруппа SL_N(R) порожденная всеми элементарными матрицами, то есть такими что на диагонали 1, и все остальные коэффициенты 0 кроме максимум одного.
Автоматически можно задаваться вопросом, правда ли E_N(R) = SL_N(R)? Для алгебраических нужд естественной областью применения этого вопроса выступает семейство колец R = A[x_1^±1, ... x_n^±1, y_1, ..., y_m]. Суслин доказал такой сильный положительный результат: SL_N(R) = E_N(R) если N ≥ max{3, dim A + 2}. В частности, если A = k -- некоторое поле, то SL_N(R) = E_N(R) для N ≥ 3. Случай N = 2 не покрывается теоремой Суслина и он нетривиален. Дальше для нас A = k -- любое поле. Конн предъявил матрицу (см. картинку 1) в SL_2(k[x, y]), которая не принадлежит E_2(k[x, y]). Из этого автоматически следует что для n ≥ 2 и любого m справедливо SL_2(R) ≠ E_2(R). Дальше, в работах Wright, Bachmuth-Mochizuki, Chu, Park активно исследовались остальные комбинации (n, m). Они покрыли все кейсы кроме (n, m) = (0, 2). То есть на состояние лета 2026 полный прогресс по задаче SL_2(R) = E_2(R) можно было сформулировать так:
Теорема (Cohn, Wright, Bachmuth-Mochizuki, Chu, Park). Пусть (n, m) ≠ (0, 2), тогда SL_2(R) ≠ E_2(R).
Всё это я узнал из прекрасной лекции https://www.youtube.com/watch?v=AqBZGQ24e0k&list=PLZcDZmpzBORHwTzgQsnGWTZ4IEB9B0yS0&index=5 Анастасии Константиновны Ставровой. В ней же Анастасия Константиновна показывала довольно элементарный способ (т.н. критерий Парка) увидеть, что матрица Кона не принадлежит E_2(k[x, y]). Итак остался единственный открытый кейс: R = k[x^±1, y^±1].
Посмотрев это видео в июне я воспринял его как естественную площадку для того чтобы протестировать ЛЛМ-ки в математике: может быть, получится найти похожий элементарный критерий для принадлежности E_2(k[x^±1, y^±1]). В итоге, с Васей получилось доказать (см https://arxiv.org/pdf/2609.04275) что если k это поле дробей некоторого discrete valuation ring, то E_2(R) ≠ SL_2(R). Прогресс шел примерно таким образом.
1. 11 июня я смотрю видос с описанием задачи и решаю что надо ей заняться для k = F_2;
2. Пытаюсь использовать клод как машину для вычислений, чтобы угадать какой-нибудь обобщенный критерий Парка -- насемплировать как можно больше матриц из E_2(R) и увидеть, есть ли в них какая-то закономерность схожего толка с критерием Парка;
3. Примерно к июлю становится понятно, что критерия схожей формы не существует. Я придумываю простенькую меру сложности на матрицах из SL_2(R) и начинаю для себя считать, для каких r можно вычислительно доказать что "все матрицы сложности ≤ r из SL_2 на самом деле лежат в E_2". Для r = 10 получается, для r = 11 находятся первые примеры матриц про которые не удается на компьютере доказать принадлежность E_2; однако доказательства того что какая-то из них не лежит в E_2 не видно
4. я делюсь этой задачей с Васей Иониным и он с чатгпт 5.6 sol находит правильный подход к этой задаче. Если рассматривать её не над полем F_2, а над полем частных DVR'a, то существует структурная теорема Серра, которая предоставляет разложение SL_2 в амальгамированное произведение двух подгрупп. И в неопубликованной работе Абраменко https://arxiv.org/abs/0808.1095 уже рассматривался ровно такой же контекст! Вместе с леммками про то как E_2 взаимодействует с этим разложением в амальгамированное произведение!
Итог такой:
1. для, например, k = ℚ мы строим много примеров матриц из SL_2 \ E_2 (см. картинку 3)!
2. оказывается, что из работы Абраменко уже следовало (хоть и неконструктивно) что SL_2 ≠ E_2 в этом случае. Но это никто не заметил!
3. Если формально подставить в нашу матрицу π = 1, то получается матрица, отличающаяся от матрицы Кона на автоморфизм (это ничего не доказывает)!
Еще предстоит придумать доказательство для k который не fraction field of a DVR.
Для любого кольца R можно построить 2 матричные группы:
1. SL_N(R) -- состоит из всех матриц с det(R) = 1;
2. E_N(R) -- подгруппа SL_N(R) порожденная всеми элементарными матрицами, то есть такими что на диагонали 1, и все остальные коэффициенты 0 кроме максимум одного.
Автоматически можно задаваться вопросом, правда ли E_N(R) = SL_N(R)? Для алгебраических нужд естественной областью применения этого вопроса выступает семейство колец R = A[x_1^±1, ... x_n^±1, y_1, ..., y_m]. Суслин доказал такой сильный положительный результат: SL_N(R) = E_N(R) если N ≥ max{3, dim A + 2}. В частности, если A = k -- некоторое поле, то SL_N(R) = E_N(R) для N ≥ 3. Случай N = 2 не покрывается теоремой Суслина и он нетривиален. Дальше для нас A = k -- любое поле. Конн предъявил матрицу (см. картинку 1) в SL_2(k[x, y]), которая не принадлежит E_2(k[x, y]). Из этого автоматически следует что для n ≥ 2 и любого m справедливо SL_2(R) ≠ E_2(R). Дальше, в работах Wright, Bachmuth-Mochizuki, Chu, Park активно исследовались остальные комбинации (n, m). Они покрыли все кейсы кроме (n, m) = (0, 2). То есть на состояние лета 2026 полный прогресс по задаче SL_2(R) = E_2(R) можно было сформулировать так:
Теорема (Cohn, Wright, Bachmuth-Mochizuki, Chu, Park). Пусть (n, m) ≠ (0, 2), тогда SL_2(R) ≠ E_2(R).
Всё это я узнал из прекрасной лекции https://www.youtube.com/watch?v=AqBZGQ24e0k&list=PLZcDZmpzBORHwTzgQsnGWTZ4IEB9B0yS0&index=5 Анастасии Константиновны Ставровой. В ней же Анастасия Константиновна показывала довольно элементарный способ (т.н. критерий Парка) увидеть, что матрица Кона не принадлежит E_2(k[x, y]). Итак остался единственный открытый кейс: R = k[x^±1, y^±1].
Посмотрев это видео в июне я воспринял его как естественную площадку для того чтобы протестировать ЛЛМ-ки в математике: может быть, получится найти похожий элементарный критерий для принадлежности E_2(k[x^±1, y^±1]). В итоге, с Васей получилось доказать (см https://arxiv.org/pdf/2609.04275) что если k это поле дробей некоторого discrete valuation ring, то E_2(R) ≠ SL_2(R). Прогресс шел примерно таким образом.
1. 11 июня я смотрю видос с описанием задачи и решаю что надо ей заняться для k = F_2;
2. Пытаюсь использовать клод как машину для вычислений, чтобы угадать какой-нибудь обобщенный критерий Парка -- насемплировать как можно больше матриц из E_2(R) и увидеть, есть ли в них какая-то закономерность схожего толка с критерием Парка;
3. Примерно к июлю становится понятно, что критерия схожей формы не существует. Я придумываю простенькую меру сложности на матрицах из SL_2(R) и начинаю для себя считать, для каких r можно вычислительно доказать что "все матрицы сложности ≤ r из SL_2 на самом деле лежат в E_2". Для r = 10 получается, для r = 11 находятся первые примеры матриц про которые не удается на компьютере доказать принадлежность E_2; однако доказательства того что какая-то из них не лежит в E_2 не видно
4. я делюсь этой задачей с Васей Иониным и он с чатгпт 5.6 sol находит правильный подход к этой задаче. Если рассматривать её не над полем F_2, а над полем частных DVR'a, то существует структурная теорема Серра, которая предоставляет разложение SL_2 в амальгамированное произведение двух подгрупп. И в неопубликованной работе Абраменко https://arxiv.org/abs/0808.1095 уже рассматривался ровно такой же контекст! Вместе с леммками про то как E_2 взаимодействует с этим разложением в амальгамированное произведение!
Итог такой:
1. для, например, k = ℚ мы строим много примеров матриц из SL_2 \ E_2 (см. картинку 3)!
2. оказывается, что из работы Абраменко уже следовало (хоть и неконструктивно) что SL_2 ≠ E_2 в этом случае. Но это никто не заметил!
3. Если формально подставить в нашу матрицу π = 1, то получается матрица, отличающаяся от матрицы Кона на автоморфизм (это ничего не доказывает)!
Еще предстоит придумать доказательство для k который не fraction field of a DVR.
❤6