После нескольких шуточных постов не грех выложить интереснейшую книжку. Как, всё-таки, интересно развивается наука! Я просто наслаждался! Из книги: "Отрицательный электрон встречается на каждом шагу, а положительный электрон до сих пор не смогли поймать, но его тайна будет раскрыта". Класс!

200 лет назад, 11 февраля 1826 года (по старому стилю), профессор Императорского Казанского университета Николай Иванович Лобачевский на заседании комиссии Отделения физико-математических наук сделал первый доклад про неевклидову геометрию.
___________

Препровождаю сочинение моё под названием: Exposition succincte des principes de la Géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles [с фр. — «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных»]… Профессор Н. Лобачевский. 6 февраля 1826.

Слушано 1826 года 11 февраля. Определено: поручить рассмотреть сочинение гг. профессорам Симонову, Купферу и адъюнкту Брашману и мнение своё сообщить Отделению. [Помета рукою секретаря Отделения адъюнкта П. М. Васильева.]

[Само сочинение вышло в свет позднее как часть сочинения «О началах геометрии», где к заглавию приведена сноска о докладе.]
___________

Проверить, правильно ли вы формулируете отрицание к пятому постулату Евклида и знаете ли базовые факты неевклидовой геометрии, можно в новой неевклидовой викторине «Геометрия Лобачевского: 200 лет первого доклада».

Продолжение: https://t.me/EtudesRu/853

Памятное событие: https://t.me/EtudesRu/851

Пятый постулат Евклида (в более поздней формулировке Прокла): через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Для понимания, как так бывает, что пятый постулат не выполняется, стоит начать с чего-то более привычного, чем геометрия Лобачевского, и тут поможет интерактивный сюжет «Сферическая геометрия». Ознакомившись, Вы узнаете, что сферическая геометрия отличается от евклидовой не только пятым постулатом, поэтому она не давала ответа на вопрос, можно ли из первых четырёх постулатов вывести пятый.

Николай Иванович Лобачевский, умерший в 1856 году, не увидел ни одной графической реализации своей геометрии. Нам с вами проще, так как в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами придумал несколько моделей плоскости Лобачевского. И познакомиться с геометрией Лобачевского можно на интерактивном сюжете «Геометрия Лобачевского: модель Пуанкаре в круге».

Дело в том, что реализовать всю плоскость Лобачевского на какой-либо поверхности нашего пространства нельзя, поэтому визуализировать всю неевклидову геометрию можно только моделями. Классических моделей несколько, и их объединяет один физический объект, представленный в сюжете «Три модели плоскости Лобачевского». Кстати, такое наглядное пособие можно сделать своими руками, а фонарик, светящий во все стороны, сейчас всегда по рукой — в телефоне.

А вот часть плоскости Лобачевского реализовывается на псевдосфере Бельтрами. Постоянство гауссовой кривизны во всех точках этой поверхности имеет интересную механическую интерпретацию, с которой можно ознакомиться в сюжете «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны».

Итак, существуют евклидова геометрия, сферическая геометрия и геометрия Лобачевского. Четыре плаката «Три геометрии: сходства и различия» явно представляют базовые сходства и различия этих геометрий. Плакаты можно скачать, распечатать на бумаге формата «А» (оптимальный размер — листы А3 или крупнее) и повесить, например, в школе.

В 1998 году у меня ожидался или уже был в нагрузке, точно не помню, предмет «Основания геометрии», как завершающий предмет кафедрального цикла «Аналитическая геометрия», сокращённо Ангем, «Линейная алгебра», сокращённо МГЛА, «Дифференциальная геометрия», сокращённо Дифгем. Готовясь к этому предмету, я написал книжку «Основания геометрии для студентов и школьников». В ней основательно, то есть с доказательством «каждого шага и кажого чиха», изложена элементарная, то есть школьная или евклидова геометрия. Причём аксиома параллельных (пятый постулат) появляется лишь в последней шестой главе, а разворот в сторону неевклидовых геометрий до шестой главы остаётся возможным.

Несмотря на наличие собственной книжки, вести предмет оказалось делом скучным – было скучно и мне и студентам. Исторически, появление геометрии Лобачевского было знаменательным событием. Но в наше время подход к ней со стороны дифференциальной геометрии является гораздо более экономным по затрачиваемым усилиям и оказывается гораздо более продуктивным в плане открывающихся перспектив.

Чего только люди не найдут... :):):)

С просторов сети Интернет

#юмор

ИИ Claude показал способность к мышлению, решив открытую математическую задачу.
Модель искусственного интеллекта Claude Opus 4.6, разработанная компанией Anthropic, решила открытую проблему в информатике, связанную с направленными гамильтоновыми циклами. Это достижение вызвало удивление в научном сообществе, включая Дональда Кнута — легендарного ученого, который и сам несколько недель безуспешно бился над частным случаем этой задачи. Кнут признался, что произошедшее заставило его пересмотреть отношение к генеративному ИИ. Весь процесс решения занял у Claude Opus 4.6 около часа и продемонстрировал новую способность ИИ к творческому математическому поиску. Это событие говорит о достижении важного рубежа в развитии автоматизированного математического мышления.
Проблема была сформулирована самим Дональдом Кнутом несколько лет назад и оставалась нерешенной. Она заключалась в поиске способа разложить ориентированный граф с определенной структурой на три гамильтоновых цикла — замкнутых путей, проходящих через каждую вершину ровно один раз. Исследователь Филип Стапперс предложил эту задачу ИИ, и Claude Opus 4.6 приступил к ее решению, скрупулезно документируя все свои попытки.
Первоначально модель пыталась использовать эвристические методы, включая анализ «волокон» (группировок узлов) и имитацию отжига. Однако эти подходы позволяли находить частные решения, но не давали общего конструктивного метода. В какой-то момент «Клод» зафиксировал важное наблюдение: «Имитация отжига может найти решения, но не дает общей конструкции. Нужна чистая математика», — что свидетельствует о способности ИИ осознавать ограниченность одних методов и необходимость перехода к другим.
Переломный момент произошел, когда модель сосредоточилась на поиске математических закономерностей.
Исследуя двумерные серпантинные функции и анализируя структуру графа, «Клод» заметил, что выбор внутри каждого «волокна» зависит только от одной координаты. Это наблюдение позволило сформулировать конкретное правило построения гамильтоновых циклов, основанное на модульной арифметике.
Правило работает следующим образом: для трех координат i, j, k вычисляется их сумма по модулю m (s = (i+j+k) mod m). В зависимости от значения s и текущих координат определяется, какую из координат следует увеличить, чтобы перейти к следующей вершине. Это правило, если применять его систематически, порождает три искомых цикла.
Стапперс протестировал сгенерированную «Клодом» программу на Python для всех нечетных значений m от 3 до 101 и подтвердил, что решение работает. Это позволило ему заключить, что проблема решена для нечетных значений параметра. Заключительным шагом стало строгое математическое доказательство, которое Кнут назвал «весьма интересным».
Весь процесс решения занял около часа и продемонстрировал новую способность ИИ к творческому математическому поиску: выдвижение гипотез, систематическое исследование, отказ от неработающих версий и, в конечном счете, нахождение изящного конструктивного решения, подтвержденного вычислениями.

Шамиль Ирикович , @MedvedURSUS , Andrei , что скажете?