За гранью комплексных чисел: Кватернионы и Октонионы 🧠

Все мы прошли путь от действительных чисел (ℝ) к комплексным (ℂ). Если упростить, комплексное число — это a + bi, где i² = -1. Это мощный инструмент для описания поворотов на плоскости. Но что, если мы хотим описывать повороты в 3D-пространстве? Тут нас ждет прорыв в четвертое измерение!

Кватернионы: Три мнимые единицы вместо одной 🔄

Представьте число, у которого не одна, а три мнимые единицы: i, j и k.

Кватернион выглядит так:
Q = a + bi + cj + dk
гдеa, b, c, d — действительные числа.

Вся магия кроется в их умножении. Забудьте про коммутативность! Здесь a × b не всегда равно b × a. Правила умножения заданы таблицей:

i² = j² = k² = ijk = -1

Из этого следуют все остальные произведения:

· ij = k, но ji = -k
· jk = i, но kj = -i
· ki = j, но ik = -j

Где это применяется?

Кватернионы — это золотой стандарт для описания поворотов в 3D-пространстве без болезни гимбала (проблемы сингулярности). Их используют:

🔹 Компьютерная графика и игры (Unity, Unreal Engine)

🔹 Системы наведения и ориентации самолетов и космических аппаратов

🔹 Робототехника

Они эффективнее и стабильнее, чем матрицы поворота.

Октанионы (Октонионы): Безумство восьми измерений 🌌

Если кватернионы кажутся странными, приготовьтесь к октонионам. Это числа с семью мнимыми единицами: e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7.

Октонион имеет вид:
O = a0 + a1*e1 + a2*e2 + ... + a7*e7

Их умножение еще более "дикое":

1. Антикоммутативность: e_i * e_j = -e_j * e_i (для разных i, j).

2. Неассоциативность: (a * b) * c не всегда равно a * (b * c)!

У них есть своя таблица умножения (например, через Планоктные семиугольники), но главное — они являются самой большой нормированной алгеброй с делением (как и действительные, комплексные числа и кватернионы).

Где это применяется?

Это не просто математический курьез! Октонионы находят применение в самых фундаментальных областях:

🔸 Теория струн и M-теория (где пространство 10- или 11-мерное).

🔸 Квантовая механика.

🔸 Компьютерное зрение и машинное обучение (для работы с высокоразмерными данными).

Вывод 💎

Двигаясь от ℝ к ℂ, ℍ и 𝕆, мы жертвуем привычными свойствами (коммутативностью, ассоциативностью), но получаем все более мощные инструменты для описания сложных многомерных систем. Это не просто абстракция — это язык, на котором говорит наша Вселенная в своих самых глубоких проявлениях.

#ла

Жертвуем, но, на мой взгляд, ничего кроме лишних усложнений не получаем. Хотя любители ℍ и 𝕆 конечно же имеются.

👆👆👆👆👆👆Присоединяюсь к позиции Руслана Абдуловича. Математическая чудинка.

Нейрофизиология - это моя страсть вне специальности. Успею я в этой жизни узнать как мозг рождает сознание? Очень хочу.
Не мог пройти мимо.
👇👇👇👇👇👇👇👇👇

Мозг психопата

«A Systematic Literature Review of Neuroimaging of Psychopathic Traits». Mika Johanson1, Olli Vaurio, Jari Tiihonen and Markku Lähteenvuo.

В этом исследовании были систематически проанализированы и качественно обобщены исследования функциональных и структурных изменений мозга у психопатов. И как было безусловно доказано – мозг у них отличается от нормального по более, чем 60-ти параметрам.

Психопатия ассоциирована с большим числом аномалий мозга, как структурных, так и функциональных. Это главным образом:
– снижение объема серого вещества в большом числе участков (начиная от префронтальной коры, заканчивая амигдалой). Объем вещества снижен от 5-ти до 17% в разных участках.
- изменения в базальных ганглиях: увеличение общего объема стриатума, хвостатого тела, прилежащего ядра.
– снижение интеграции белых волокон (особенно в крючковидном пучке),
– снижение функциональной связанности (т.е., как-то «коряво» работающая дефолтная система мозга) и др. Изменение функциональной связности на фоне нейробиологических изменений мозга как раз и приводит к тому, что психопаты бесчувственны, агрессивны, неэмпатичны, несправедливы и прочее, прочее, прочее.

Ну а теперь – все чуть детальней, но для профессионалов и гиков вроде меня. И для тех, кто хочет поместить эту статью в закладки потому, что на русском такое еще не публиковалось.

Структурные изменения серого вещества мозга при психопатии:
1) Префронтальная кора: диффузное снижение объема серого вещества (GMV), особенно в
орбитофронтальной коре, дорсомедиальной префронтальной коре, лобных извилинах, лобно-полярной коре, сенсомоторной коре и, вентромедиальной префронтальной коре.

2) Височные области мозга: снижение объема серого вещества мозга. Наиболее заметными областями сниженного GMV были верхняя височная извилина, средняя височная извилина, верхняя височная борозда, веретеновидная извилина и височные полюса.

3) Теменная кора: локальное снижение GMV в предклинье и постцентральной извилине.

4) Затылочная кора: незначительное снижение GMV в перистриарной коре и областях визуальной обработки информации.

5) Лимбические структуры: снижение объема миндалин, островковой коры и гиппокампа, а также их аномальная морфология.

6) Базальные ганглии: увеличение объема полосатого тела, снижение количества серого вещества в бледном шаре и хвостатом теле.

II. Функциональные изменения мозга психопатов.

1) Справедливость. В исследованиях функциональной МРТ с игровыми задачами на справедливость у субъектов-психопатов наблюдалось повышение активности миндалевидного тела в несправедливых условиях по сравнению с справедливыми. Это приводит к бурному реагированию психопатов на те обстоятельства, которые они считают несправедливыми для себя.

2) Мораль.

С помощью ФМРТ была обнаружена и доказана снижение активности передней островковой коры, которая модулирует чувство вины. Также снижена активность связи между вентромедиальной префронтальной корой и миндалевидным телом, что приводит к снижению эмоционального контроля и снижению эмпатии. Все эти изменения приводят к неустойчивости моральных конструкций у психопатов.

3) Ложь и обман. Психопаты показали повышенную эффективность в обмане, но пониженную в его детекции.

4) Эмоциональная отстраненность и алекситимия.
Психопаты показали снижение способности распознавать и обрабатывать эмоции. Особое значение в понимании эмоций приписывают дорсомедиальной префронтальной коре, орбитофронтальной коре и передней островковой коре в которой у психопатов снижена активность.
Вообще тема распознания лиц и психопатии – весьма особенная и там много изменений, которые можно описывать несколько страниц.

5) Изменение системы вознаграждения.
Структурно-функционально система вознаграждения сильно изменена и усиливает склонность к рискованному, импульсивному и антисоциальному поведению, а также зависимостям от психостимуляторов.

#профайлинг, #психопаты, #ложь, #психопатия, #темнаятриада, #нарциссизм, #манипуляции, #мероприятия, #Филатов, #ProProfiling

Уж не знаю как заходит этот учебник студентам-экономистам, но мне как справочник понравился.
👇👇👇👇👇

Математическая статистика
Н. И. Чернова (2007)

Учебное пособие содержит полный курс лекций по математической статистике, много лет читаемый автором на втором курсе отделения экономики экономического факультета НГУ. Подбор материала является традиционным для курса теоретической статистики, излагаемого студентам экономических специальностей университетов, и включает точечное оценивание параметров, проверку гипотез, элементы регрессионного и дисперсионного анализа.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по специальности 061800 «Математические методы в экономике».

Предназначено для студентов экономических специальностей.

Мы в MAX

👉 @Pomatematike

Это "тот самый" Фоменко.
👇👇👇👇👇👇

Делаю репост об аттракторе Лоренца. Но обращаю внимание, что статья написана историком, который никак не должен понимать общий контекст.

Аттрактор Лоренца - конкретный пример хаотической системы. Саму теорию хаоса разработали в первую и основную очередь Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Арнольд.
👇👇👇👇👇👇

Не смог удержаться. :):) Те, кто в теме, поймут.
👇👇👇👇😁👇😁

С просторов сети Интернет