Надеюсь, что все пользователи нашего канала понимают, что просто сначала 4 фигурки неплотно прилегали друг к другу? И головой ломиться могут только физики и инженеры?
👇👇👇👇👇

Интересная головоломка для инженера - парадокс Матсуямы.

Глазами Физика

Мурмурация как динамическая топологическая сеть

Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.

Поговорим о бесконечности. Начнем с числа пи. Оно иррационально и даже трансцендентно. То есть для его десятичной записи верно следующее свойство: придумайте любую последовательность цифр - и она в записи числа пи где-то встретится. Задумали 30092023? Есть какой кусок. Придумаем числовой код и зашифруем "Войну и мир" Толстого. И такой числовой кусок в числе пи где-то есть. А можно зашифровать всю историю Вселенной (только бы она была конечна) - вуаля, она в числе пи тоже есть (причём повторяется эта история бесконечное число раз!). Как и описания еще не сделанных научных открытий.

Вы задумывались насколько мала наша Вселенная? В ней всего-навсего 10 в степени 88 элементарных частиц. То есть число элементарных частиц равно единице с 88 нулями. Любой из нас запишет это число за полминуты. Или другой пример. Если взять колоду из 65 карт (в реальной колоде их 52), то число способов их перетасовать равно как раз 10 в степени 88. Вся Вселенная равна колоде из 65 карт. Что-то не так с нашей Вселенной. О чем-то мы не знаем.

Математические биологи уже успели прикинуть, что в такой крошечной Вселенной вероятность зарождения жизни крайне мала: примерно 10 в степени -1000. Представьте себе какого размера должна быть Мегавселенная, в которой вероятность зарождения жизни была бы равна хотя бы 1%! Насколько такая Мегавселенная больше "нашей"? Наше воображение не поможет. С точки зрения размеров такой Мегавселенной размеры "нашей" Вселенной и электрона практически одинаковы. Отличаются, но крайне незначительно.

По сети гуляет это письмо. Давайте проверим не надул ли парень свою девушку. Благо интеграл хорошо считается методом Остроградского (поверим, что знаменатель тоже сидит под знаком интеграла). Ответ в следующем сообщении.
👇👇👇👇👇👇👇👇👇👇

Обманщик. Стыдно. Его девушка поверила, посчитала. И вот такой облом.

Тут не то, что число четырёхзначное, тут бесконечная дробь. К тому же отрицательная.

В Китае снова бьют рекорды в шоу дронов

Для этого перфоманса в воздух подняли почти 16 тысяч дронов, а следующем году хотят запустить все 20 тысяч. На родине фейерверков точно знают, как нужно сиять

Глазами Физика

Про магический квадрат все знают. В нём суммы во всех строках, столбцах и диагоналях одинаковы.
А кто-то задумывался, что можно построить магический куб? Как видим из представленного документа, задумывались. И даже построили.

А можно пойти в другую сторону и построить магический квадрат 4 на 4.
А можно вообще уйти не в ту степь... Догадались в какую? 🤯
Подожду ваши варианты, а потом предложу "свою не ту степь".

Итак, правильный ответ. Я имел ввиду магический куб в пространстве размерности 4 (оно же ужасное и страшное четырёхмерное пространство). :)
И там магические кубы тоже существуют. И называются либо магическими гиперкубами, либо тессерактами.
Вот вам пример такого:
l=0 (первый куб):
k=0: [1, 53, 69], [41, 73, 9], [81, 5, 37]
k=1: [30, 74, 19], [70, 42, 11], [23, 16, 84]
k=2: [92, 28, 3], [12, 14, 97], [19, 81, 23]
l=1 (второй куб):
k=0: [2, 54, 70], [42, 74, 10], [82, 6, 38]
k=1: [31, 75, 20], [71, 43, 12], [24, 17, 85]
k=2: [93, 29, 4], [13, 15, 98], [20, 82, 24]
l=2 (третий куб):
k=0: [3, 55, 71], [43, 75, 11], [83, 7, 39]
k=1: [32, 76, 21], [72, 44, 13], [25, 18, 86]
k=2: [94, 30, 5], [14, 16, 99], [21, 83, 25]

Здесь единичные кубики, в которые вписаны числа А имеют координаты (i, j, k, l).

Самое убийственное в этой истории то, что строится такой тессеракт при помощи простейшей формулы, которая имеет вид

A(i,j,k,l) =1+27*i+9*j+3*k+l+36*( (i+j+k+l) (mod 3)).

Эта формула называется формулой Тренклера.
Как видим, здесь первая координата умножается на 27, вторая - на 9, третья - на 3 и четвёртая - на 1. Последнее слагаемое - корректирующий множитель, чтобы по диагоналям тоже всё было хорошо.

За гранью комплексных чисел: Кватернионы и Октонионы 🧠

Все мы прошли путь от действительных чисел (ℝ) к комплексным (ℂ). Если упростить, комплексное число — это a + bi, где i² = -1. Это мощный инструмент для описания поворотов на плоскости. Но что, если мы хотим описывать повороты в 3D-пространстве? Тут нас ждет прорыв в четвертое измерение!

Кватернионы: Три мнимые единицы вместо одной 🔄

Представьте число, у которого не одна, а три мнимые единицы: i, j и k.

Кватернион выглядит так:
Q = a + bi + cj + dk
гдеa, b, c, d — действительные числа.

Вся магия кроется в их умножении. Забудьте про коммутативность! Здесь a × b не всегда равно b × a. Правила умножения заданы таблицей:

i² = j² = k² = ijk = -1

Из этого следуют все остальные произведения:

· ij = k, но ji = -k
· jk = i, но kj = -i
· ki = j, но ik = -j

Где это применяется?

Кватернионы — это золотой стандарт для описания поворотов в 3D-пространстве без болезни гимбала (проблемы сингулярности). Их используют:

🔹 Компьютерная графика и игры (Unity, Unreal Engine)

🔹 Системы наведения и ориентации самолетов и космических аппаратов

🔹 Робототехника

Они эффективнее и стабильнее, чем матрицы поворота.

Октанионы (Октонионы): Безумство восьми измерений 🌌

Если кватернионы кажутся странными, приготовьтесь к октонионам. Это числа с семью мнимыми единицами: e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7.

Октонион имеет вид:
O = a0 + a1*e1 + a2*e2 + ... + a7*e7

Их умножение еще более "дикое":

1. Антикоммутативность: e_i * e_j = -e_j * e_i (для разных i, j).

2. Неассоциативность: (a * b) * c не всегда равно a * (b * c)!

У них есть своя таблица умножения (например, через Планоктные семиугольники), но главное — они являются самой большой нормированной алгеброй с делением (как и действительные, комплексные числа и кватернионы).

Где это применяется?

Это не просто математический курьез! Октонионы находят применение в самых фундаментальных областях:

🔸 Теория струн и M-теория (где пространство 10- или 11-мерное).

🔸 Квантовая механика.

🔸 Компьютерное зрение и машинное обучение (для работы с высокоразмерными данными).

Вывод 💎

Двигаясь от ℝ к ℂ, ℍ и 𝕆, мы жертвуем привычными свойствами (коммутативностью, ассоциативностью), но получаем все более мощные инструменты для описания сложных многомерных систем. Это не просто абстракция — это язык, на котором говорит наша Вселенная в своих самых глубоких проявлениях.

#ла

Жертвуем, но, на мой взгляд, ничего кроме лишних усложнений не получаем. Хотя любители ℍ и 𝕆 конечно же имеются.

👆👆👆👆👆👆Присоединяюсь к позиции Руслана Абдуловича. Математическая чудинка.

Нейрофизиология - это моя страсть вне специальности. Успею я в этой жизни узнать как мозг рождает сознание? Очень хочу.
Не мог пройти мимо.
👇👇👇👇👇👇👇👇👇