Шарипов Руслан Абдулович "Основания геометрии".
Особое внимание рекомендую обратить на "Приложение" в конце книги. Мало кто из современных учёных работает в двух областях науки. Но в любом случае это или математика для одних, или физика для других.
Наш Руслан Абдулович имеет результаты в 5-6 совершенно разных направлениях. Причем и математике, и физике. Феномен.

Геометрия холста и карт

На протяжении истории то, как люди изображают пространство — будь то на картине или на карте — радикально менялось. Эти трансформации определялись не только сменой эстетических идеалов, но, в первую очередь, новыми математическими моделями, которые предлагали принципиально иной способ видения и осмысления мира.


1. Сакральная «геометрия»: пространство как символ

До эпохи Ренессанса в европейской культуре доминировала теоцентрическая модель мира. Геометрия в ней служила не инструментом измерения, но языком сакрального порядка.
В иконописи это проявлялось через систему обратной перспективы: параллельные линии расходились от зрителя, а размер фигуры определялся её местом в духовной иерархии, а не законами оптики. Как показал академик Б.В. Раушенбах, это не было «ошибкой» или неумением — такая система отражает работу мозга, синтезирующего зрительные образы в процессе движения глаз. Цель этой «духовной геометрии» заключалась не в имитации видимого мира, а в выражении мира вечного, где физическая реальность подчинена законам духа.
Этот принцип символического пространства находил отражение не только в искусстве, но и в картографии, создавая единую систему визуального мышления. Средневековые mappae mundi (например, знаменитая Херефордская карта XIII в.) помещали Иерусалим в центр мира, а размеры стран определялись их религиозной значимостью. Палестина изображалась крупнее Европы, реки чертились прямыми линиями (что символизировало божественный порядок), а расстояния измерялись в «днях пути паломника».
Математика здесь сводилась к символическим пропорциям. Например, отношение условной площади Иерусалима к площади Европы могло достигать 5:1, что грубо нарушало евклидову метрику, но идеально сохраняло теологическую гармонию. Эти карты были не навигационными инструментами, а визуальными молитвами, где геометрия служила проводником в мир божественного порядка.

2. Ренессанс: Евклид как язык реальности

Эпоха Возрождения, с её антропоцентризмом, совершила переворот: карта превратилась в инструмент познания Земли, а картина сделалась «окном в мир». Центральным символом этой революции стала линейная перспектива.
Это был не просто художественный приём, а строгая геометрическая система. Леон Баттиста Альберти в трактате «О живописи» (1435 г.) описал создание картины как математическую проекцию лучей зрения на плоскость, опираясь на авторитет Евклидовой геометрии. Холст превратился в прозрачное «окно», через которое зритель мог заглянуть в упорядоченное, измеренное и рассчитанное пространство. Художник стал не только творцом, но и инженером-расчётчиком, владеющим инструментами для точного переноса трёхмерной реальности на плоскость. Брунеллески экспериментально подтвердил это, создав зеркальный прибор: он нарисовал вид на флорентийский баптистерий на серебряной пластине, а затем сравнил его с реальным отражением через отверстие в рамке, демонстрируя идентичность изображения. Леонардо да Винчи довёл систему до виртуозности, подчинив её законам пропорции и сходимости линий к единой точке схода.
Но математизация пространства не ограничилась стенами мастерских. Она шагнула наружу, чтобы измерить саму Землю. Голландский астроном Виллеброрд Снеллиус в 1615 г. впервые применил метод триангуляции для точного расчёта расстояний между городами, используя церковные шпили как точки геодезической сети. В XVIII в. французские учёные, используя гигантские триангуляционные сети в экспедициях к экватору и полярному кругу, математически доказали сплюснутость Земли у полюсов — задолго до спутниковых снимков. Карта мира перестала быть схематичным рисунком; она стала точным, рассчитанным документом, продуктом геометрии и тригонометрии.
Ренессансная «революция расчёта» показала, что красота гармонии и точность измерения — две стороны одной медали. Она заложила рациональный фундамент современного визуального восприятия и пространственного мышления.

3. Перцептивная перспектива: синтез науки и нейрофизиологии

Ренессансная линейная перспектива и средневековая обратная перспектива долгое время рассматривались как исторические этапы, отражающие разные мировоззренческие парадигмы. Однако 1970-80-х годах академик Борис Викторович Раушенбах показал, что обе системы — лишь частные формы процесса зрительного наблюдения. Его теория перцептивной перспективы стала мостом между искусством, математикой и нейрофизиологией.
Будучи не только искусствоведом, но и крупным математиком и механиком, Раушенбах показал, что:
- Линейная перспектива (ренессансная) идеально работает только для статичного взгляда одного глаза, зафиксированного в строго определённой точке. Но в реальности человек смотрит двумя глазами, постоянно двигает головой и меняет угол зрения.
- Обратная перспектива (иконописная), хотя и учитывает некоторые особенности синтеза образов мозгом, является чрезмерно символической и не стремится к воссозданию реалистичного зрительного впечатления.
Ни та, ни другая система по отдельности не способна передать то, как мы видим мир на самом деле.
Учёный предложил рассматривать зрительное восприятие как сложный процесс, в котором мозг синтезирует единый образ из множества «снимков», сделанных с разных точек. Его модель перцептивной перспективы включает три ключевые зоны:
- Ближний план (до 1,5 метров): Здесь работает механизм, схожий с обратной перспективой. Рассматривая близкий объект (например, книгу), мы водим по нему глазами. Мозг «склеивает» эти отдельные изображения в единый образ, в котором объект как бы «разворачивается» навстречу зрителю.
- Дальний план (свыше 5-6 метров): Здесь вступают в силу законы, близкие к линейной перспективе. Удалённые объекты (здание на другом берегу реки) практически не искажаются при движении наших глаз.
- Средний план: В этой переходной зоне действует аксонометрия (параллельная перспектива), где параллельные линии остаются параллельными.
Таким образом, человеческое восприятие — это гибридная система, плавно переключающаяся между разными геометрическими моделями.
Раушенбах не ограничился качественным описанием. Он представил этот процесс математически, описав его как кусочно-непрерывную функцию, зависящую от дистанции до объекта.
Для описания преобразования глубины он ввёл понятие коэффициента искажения, который меняется в зависимости от дистанции. Математически преобразование можно описать через функцию, связывающую реальную глубину z и воспринимаемую глубину z': z' = f(z).
Здесь f(z) — нелинейная функция, приближающаяся к линейной зависимости на больших расстояниях (линейная перспектива) и дающая «обратный» эффект на близких (обратная перспектива).
Это объясняет, почему великие художники-реалисты (например, Веласкес или Серов) интуитивно нарушали строгие каноны линейной перспективы: они усиливали элементы обратной перспективы на переднем плане, чтобы добиться максимального эффекта жизнеподобия.
Теория Раушенбаха имела далеко идущие последствия:
- Реабилитация иконописи. Она окончательно сняла с обратной перспективы клеймо «невежества», показав её глубокую нейрофизиологическую обоснованность.
- Мост между культурами. Она объединила восточную (иконописную) и западную (ренессансную) традиции в единую теорию восприятия.
- Влияние на современные технологии. Принципы перцептивной перспективы нашли применение в компьютерной графике, VR и AR, где задача — создать максимально естественное изображение для подвижного зрителя.
Открытие Раушенбаха показало, что истина не в выборе между той или иной геометрической системой, а в понимании механизмов работы нашего сознания. Искусство, математика и нейрофизиология, наконец, нашли общий язык для описания того, как мы видим и осознаём окружающее нас пространство. Это синтез, в котором строгий расчёт не отрицает духовную глубину, а позволяет понять её природу.

4. Геометрия XXI в.: от фракталов к многомерным ландшафтам данных

Современный мир, с его цифровой сложностью и многогранностью, требует новых геометрических языков для своего описания. Если Ренессанс открыл универсальность евклидовой геометрии, а XX в. — пределы её применимости, то XXI в. стал эпохой плюрализма геометрических моделей. Сегодня геометрия — это не единая истина, а набор мощных инструментов, выбираемых в зависимости от задачи: будь то моделирование вселенной, создание виртуальных миров или анализ Big Data.
Цифровая эпоха окончательно освободила картографию от ограничений статичных бумажных носителей. Современные карты — это уже не просто плоские проекции, а интерактивные, многослойные системы. Хотя традиционные методы остаются в ходу, они стали лишь одним из многих способов визуализации.
Ключевым прорывом стало появление Web-GIS — динамических платформ, которые позволяют совмещать данные спутниковой съёмки, GPS-трекинга, социальной статистики в реальном времени. Пространство на таких картах стало многомерным: к традиционным X и Y добавились оси высоты Z, времени Т, тематические потоки информации — спутниковые снимки, данные датчиков, социальная статистика. Это превратило карту из статичного изображения в пространственно-временной симуляции, где каждое изменение мгновенно отражается на цифровом двойнике.

Теория фракталов Б. Мандельброта, рождённая в XX в., нашла своё истинное призвание в веке XXI. Она оказалась не просто математической диковинкой, а универсальным языком для описания сложных, самоподобных систем — от ветвления кровеносных сосудов и береговых линий до кластеров галактик.
В компьютерной графике фрактальные алгоритмы стали основой для генерации бесконечно сложных и реалистичных ландшафтов, текстур и органических форм в кино и видеоиграх. Эта «геометрия хаоса» позволила преодолеть искусственную прямолинейность евклидовых моделей и создать цифровые миры, визуально неотличимые от природных. Более того, фрактальные принципы — рекурсия, самоподобие, масштабируемость — стали эстетическим ориентиром для современного дизайна, архитектуры и медиаискусства.

Самый радикальный сдвиг произошёл в области, которую можно назвать «геометрией данных». В эпоху больших данных мы постоянно имеем дело с объектами, существующими в пространствах с огромной размерностью. Профиль пользователя в соцсети может описываться тысячами параметров (каждый — своя ось координат), превращаясь в точку в гиперальном многомерном пространстве.
Анализировать такие структуры методами классической геометрии невозможно. Здесь на помощь приходят топология и дифференциальная геометрия. Учёные и инженеры смотрят на данные как на сложное многообразие, имеющее свою форму, кривизну и связность. Методы машинного обучения «схлопывают» эти тысячемерные пространства в 2D или 3D-визуализации, сохраняя их топологические свойства — близкие точки в исходном пространстве остаются близкими и на карте. Это позволяет буквально «увидеть» геометрию данных — обнаружить кластеры, выбросы и скрытые закономерности.

Любопытно, что развитие геометрии сегодня в некотором смысле замыкает круг, но на новом витке спирали. Евклидова перспектива — лишь частный случай в спектре перцептивных моделей. Сегодня мы наблюдаем возврат к символическому и субъективному пониманию пространства, но на принципиально новом уровне. Если средневековый картограф искажённо рисовал Иерусалим по религиозным причинам, то современный алгоритм «искажает» многомерное пространство данных по алгебраическим и топологическим причинам — чтобы сделать его понятным человеку.

Геометрия XXI в. перестала быть просто разделом математики. Она стала мета-языком, связующим звеном между физической реальностью, цифровыми мирами и человеческим восприятием. От фрактальных ландшафтов и топологии данных до неевклидовых законов квантовых полей — современная геометрия предлагает не один, а множество параллельных способов описания универсума. Она больше не диктует, каким мир должен быть согласно аксиомам, а помогает описать бесконечное разнообразие того, каким он может быть. И в этом её величайшая сила и красота.

Возвратимся чуть-чуть к арифметике Магницкого. https://t.me/cul_math/2036
Владимир Смирнов прислал (спасибо!) вот такое замечание:
Арифметика Магницкого написана славЕнским языком (моё мнение), близкий к русскому, но всё-таки отличается.
 «Арифметика, сиречь наука числительная с разных диалектов на славенский язык переведённая и во едино собрана, и на две книги разделённая». 
Оно и понятно, Магницкий обучался в Славяно-греко-латинской академии.

Поскольку я в силу своей безграмотности никогда не слышал о славенском языке, то спросил дипсик и получил следующее:
"Славенский язык" — это устаревшее название для того, что сегодня принято называть старославянским языком, или древнецерковнославянским языком.
Это не разговорный язык какого-то одного древнего славянского племени, а первый литературный, письменный язык всех славян. Он был создан в IX веке для нужд христианской проповеди Кириллом и Мефодием. Для записи языка Кирилл создал первую славянскую азбуку — глаголицу. Позже, их учениками была создана кириллица (названа в честь Кирилла), которая легла в основу современных русской, украинской, белорусской, болгарской, сербской и других азбук.
Таким образом, старославянский язык — это древнейший зафиксированный славянский литературный язык.
На нем уже не говорят. Однако он не исчез полностью. Его прямое продолжение и наследник — церковнославянский язык. Церковнославянский язык до сих пор используется в богослужении Русской, Болгарской, Сербской и других православных церквей.

Словом, я сегодня узнал, что у слова старославянский (язык) есть синоним - славенский. О чём и поспешил поделиться с вами, друзья.

Гипотеза пала! Один узел перечеркнул “порядок” во вселенной математики

В 1876 году Питер Гатри Тейт предложил измерять то, что он называл «запутанностью» узлов.

Шотландский математик, во многом предвосхитивший современную теорию узлов, искал практический способ отличать один узел от другого — задача, мягко говоря, непростая. В математике узел — это замкнутая верёвка без свободных концов. Два узла считают одинаковыми, если их можно плавно деформировать — тянуть, крутить — не разрезая, так чтобы один превратился в другой. По одному лишь рисунку понять это трудно: узел, выглядящий «страшно» сложным, может оказаться той же самой простой окружностью.

Тейт предложил такой критерий различия. Разложим узел на плоскости и посмотрим на точки самопересечения. В одной из таких точек «перевернём» пересечение: мысленно разрежем, поменяем местами верхнюю и нижнюю нити и снова «склеим». Повторяя операцию столько раз, сколько нужно, можно получить незавязанный круг. Минимальное число таких «переворотов» он назвал мерой незавязанности — сегодня это известно как число развязывания узла.

Если у двух узлов эти числа различаются, значит, узлы точно не эквивалентны. Однако вскоре Тейт понял, что введённая им величина рождает больше новых загадок, чем снимает старых.

«Я так увлёкся этой темой, — писал он в письме другу, физику Джеймсу Клерку Максвеллу, — что боюсь либо что-то упустить, либо, наоборот, переоценить то, что любому другому покажется слишком простым».

Если Тейт чего-то недоглядел, то не он один: вот уже полтора века число развязывания ставит теоретиков узлов в тупик. Известно, что по идее оно должно полностью характеризовать узел — «возможно, самая базовая мера», как говорит Сьюзан Хермиллер из Небраски. Но на практике это число часто невероятно трудно вычислить, и его связь с «сложностью» узла неочевидна.

Чтобы прорваться в понимании, в начале XX века математики выдвинули простую гипотезу о том, как ведёт себя число развязывания при соединении двух узлов (их сумме). Докажи её — и появится универсальный способ находить это число для любого узла, то есть простой, конкретный «измеритель» сложности.

Почти сто лет искали доказательство — и безуспешно: ни подтверждений, ни опровержений.

И вот в июньской работе Хермиллер и её соавтор Марк Бриттенхэм нашли пару узлов, чья сумма развязывается легче, чем предсказывала гипотеза. Значит, гипотеза неверна. Более того, их пример позволил построить бесконечно много других контрпримеров.

«Когда статья вышла, я буквально ахнула», — сказала Эллисон Мур из Университета Содружества Виргинии. По её словам, результат показывает, что число развязывания ведёт себя «капризно и непредсказуемо», и тема явно далека от полного понимания.

Развязывание узлов и великая неизвестность
Ещё как минимум с 1937 года немецкий математик Хильмар Вендт пытался понять, что происходит, когда два узла «складывают» — берут одну и ту же верёвку, завязывают в ней оба узла и затем замыкают концы. Такой объект называют суммой узлов. Вендт выдвинул догадку: число развязывания у суммы должно равняться сумме чисел развязывания исходных узлов.

На интуитивном уровне это звучит разумно. Пусть у левого узла число развязывания 2, у правого — 3. Значит, есть последовательность из двух изменений пересечений, которая развязывает левую часть, и последовательность из трёх — для правой. Если выполнить их подряд, весь комбинированный узел распутается за 2+3=5 шагов.

Однако из этого следует лишь верхняя оценка: число развязывания суммы не больше 5. Может оказаться, что найдётся более хитрая последовательность изменений, которая распутает весь узел быстрее, чем «по частям». Иными словами, сумма узлов способна иметь число развязывания меньше, чем сумма чисел её составляющих.

Чтобы подтвердить аддитивность, нужно было либо найти пример суммы узлов, которая распутывается быстрее, чем «по частям», либо доказать, что такого примера не бывает. И вот тут все застревали — непонятно, с чего вообще начинать.

Одна из причин: узел на плоскости задаётся диаграммой, а у одного и того же узла их может быть бесчисленно много. От выбора диаграммы зависит, где именно расположены пересечения. Чтобы получить самую короткую последовательность «переворотов» пересечений, нередко надо сначала подобрать подходящую диаграмму — и это далеко не всегда привычное изображение узла.

«Способов видоизменить диаграмму до применения изменения пересечения — немыслимо много, — говорит Марк Бриттенхэм. — По крайней мере на старте мы вовсе не контролируем, насколько сложной окажется нужная схема».

В 1985 году Мартин Шарлеманн сделал первый ощутимый шаг: он доказал, что если у обоих узлов число развязывания равно 1, то у их суммы оно всегда равно 2. «Это сильно повысило правдоподобие всей гипотезы», — отмечает Чарльз Ливингстон из Университета Индианы.

Итоги тех работ вселяли надежду, что «мир узлов» поддаётся упорядочению. Дело в том, что любой узел можно собрать из меньшего набора базовых, «простых» узлов. А если гипотеза аддитивности верна, то, зная числа развязывания для этих простых кирпичиков, мы автоматически знаем их для всех составных узлов: нужные сведения как бы «перетекают» из малого набора данных ко всем объектам.

«Мы очень хотели, чтобы гипотеза оказалась правильной, — отмечает Арунима Рэй из Мельбурна, — ведь это означало бы, что в этой области царит порядок».

Позднее результат Шарлеманна удалось распространить на ещё несколько семейств узлов, но оставалось непонятно, охватывает ли он вообще все случаи. Тогда Бриттенхэм и Хермиллер подключили вычислительную мощь — задействовали несколько компьютеров и перешли к масштабным переборам.

Контрпример, найденный Бриттенхэмом и Хермиллер, — это сумма двух копий торового узла T(2,7). Такой узел можно получить, если две пряди сделать с семью полуперекрутами (то есть обернуть их друг вокруг друга три с половиной раза) и затем замкнуть концы; зеркальный вариант получается, если «закручивать» в противоположную сторону.

И у T(2,7), и у его зеркального отражения число развязывания равно 3. Но их сумма, как показала программа исследователей, распутывается не за 6 шагов, как предсказывала аддитивность, а всего за 5 — то есть быстрее, чем ожидалось.

«Контрпример удивительно простой, — отмечает Мур. — Всё упирается в непредсказуемость одного-единственного шага — изменения пересечения».

На основе находки Бриттенхэм и Хермиллер построили бесконечное семейство новых контрпримеров — фактически охватив почти все узлы, получаемые наматыванием двух нитей с последующим склеиванием.

Раз гипотезу аддитивности окончательно опровергли, перед теорией узлов открывается целая полоса новых вопросов и направлений. Некоторых это огорчает: структуры в «мире узлов» оказалось меньше, чем хотелось.

«Число развязывания ведёт себя не так хорошо, как мы надеялись», — говорит Рэй. «Немного грустно».

Но вместе с тем интрига только растёт. «Похоже, теория узлов куда более запутанна и богата неизвестным, чем мы думали ещё совсем недавно», — говорит Ливингстон.

Пока непонятно, в чём именно эта дополнительная сложность. Тщательно изучив свой пример, Бриттенхэм и Хермиллер так и не смогли объяснить, почему именно он ломает аддитивность, тогда как другие — нет. Разобравшись с этим, математики, возможно, поймут, что делает одни узлы «сложнее», а другие — проще.

«Я до сих пор не могу ответить на этот, казалось бы, простой вопрос о числе развязывания, — признаётся Мур. — И это лишь подогревает интерес».

Надо изучать вопрос. Очень странное утверждение. Вечных двигателей не бывает. Но сколько циклов переработки возможно - это интересно. У нас здесь есть физики. Что думаете по этому поводу?
👇👇👇👇👇👇

Сам спросил - сам ответил. :):):)
Да, круто, похоже.
👇👇👇👇👇👇👇

В Томской области построят первый в мире безотходный ядерный реактор 🔥

Разработка российских ученых позволит повторно использовать до 95% отработавшего топлива. Это почти полностью снимает вопрос обеспеченности ураном и значительно сокращает объем радиоактивных отходов.

Владимир Путин назвал проект революционным шагом в атомной энергетике. Его реализация укрепит технологическую независимость России и обеспечит новый уровень экологической безопасности.

С недавних пор стал обожать такую геометрию. Реально мозги тренирует. Мне минуты две понадобилось в уме решить.
Наверняка куча народу побьет меня. Пишите в комментах за сколько минут решили.
Ясен пень, что решение уже нарисовано (два одинаковых закрашенных четырехугольника).
👏👇👇👇👇👇👇👇👇

Это доказательство теоремы Пифагора в свое время придумал Леонардо да Винчи

Мы предлагаем вам подумать, каким образом тут можно увидеть доказательство.

Описание картинки:
На сторонах прямоугольного треугольника АВС построены квадраты, а на стороне квадрата АСIH - треугольник, равный исходному треугольнику АВС.

Пишите ваши версии в комментариях!

👉 @Pomatematike

Философская проблема решена