Как измеряли расстояние до Луны без компьютера и калькулятора? Открытия древних математиков

Сегодня вычислительные мощности растут экспоненциально. Это значит, что каждый год удваивается количество транзисторов на чипе, с помощью которых можно решать все более сложные задачи, создавать продвинутые нейросети и технологии.

Но человечество совершало масштабные открытия, меняющие мир, задолго до появления компьютеров: древние ученые определяли радиус Земли и расстояние до Луны, вычисляли число пи и закладывали основы математической логики. Разбираемся, как они это делали без калькуляторов, процессоров и алгоритмов.

https://habr.com/ru/companies/selectel/articles/929562/

👉 @Pomatematike

Даже психологи умеют в математические парадоксы.
👆👆👆👆👆👆👆👆👆👆

Рабочая группа Госдумы по разработке законопроекта о регулировании искусственного интеллекта сформулировала определение искусственного интеллекта, которое будет закреплено в этом нормативном акте:

«Искусственный интеллект — это любая система данных, программное обеспечение или аппаратное средство, обладающее способностью обрабатывать данные и информацию способом, напоминающим разумное поведение, с использованием методов машинного обучения или статистических методов для генерации контента, формирования прогнозов, рекомендаций или решений, способных оказывать влияние на реальную и виртуальную среду».

Как говорится, для сведения.

Кто из математиков максимально увековечил свое имя и деяния свои в веках?
Вот этот бородатый дядька, который жил в благословенной Хиве (между делом, этому городу в Узбекистане лет этак 2700). На фоне этих 2700 лет жил он совсем недавно - всего 1200 лет назад, хотя и это тоже ого-го.

Зовут дяденьку Абу Абдулла Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Или, как услышали представители диких европейских племен, аль-Горезми. Откуда и пошел гулять термин "алгоритм".

Но не только алгоритмом славен сей мудрый муж. Есть у него в загашнике еще одно заветное (и еще более славное) слово. Но о втором заветном слове как-нибудь потом.

А пока давайте научился по имени "читать" биографию нашего героя. Начнем с конца.
Аль-Хорезми означает всего лишь "из Хорезма". Страна такой был.
Имя ученого - Мухаммад. А "ибн Муса" означает "сын Мусы". Так что он на самом деле в современных терминах Мухаммад Мусиевич.
Осталось Абу Абдулла. Будуте смеяться, но означает это "отец Абдуллы". Вот так все серьезно. Род надо продолжать, поэтому заявляется не только отец Муса, но и старший сын - Абдулла.
Резюмируем. Мухаммад Мусиевич из Хорезма, отец Абдуллы. Как-то так.

Некоторые достижения аль-Хорезми:

Впервые представил алгебру как самостоятельную науку об общих методах решения линейных и квадратных уравнений, дал их классификацию.

Разработал подробные тригонометрические таблицы, содержащие функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Тригонометрические таблицы много кому пришлось разрабатывать. И делалось это раз за разом без использования уже готовых результатов. Века были такие. Неинформативные.

В России первые тригонометрические таблицы разработал Леонтий Магницкий по приказу Петра Великого для учеников навигацких школ. Тот самый, который Арифметика Магницкого. Который первый учебник математики в России.

Мальчики-девочки! С ужасом обнаружил, что за три года не удосужился выложить "Арифметику" Магницкого.

Обязательно пролистайте. Посмотрите, как на странице 74 трогательно умножение называется мультипликацией (с добавлением "иже есть умножение"). И как на странице 79 Магницкий учит столбиком умножать числа 201003 и 30102. Немножко не так, как мы сейчас умножаем, но, кстати, более разумно и наглядно.

Словом, не пробегайте бездумно мимо, загляните на секунду, прикоснитесь к вечности. Ибо есть сие творение наш культурный код.

Традиция использования 60-тиричной системы счисления при измерении углов в астрономии появилась достаточно давно. Первый знак после запятой назывался "минутой" от слова "минимум", а второй - "секундой", что означает "второй знак". В принципе узнаваемо, если вспомнить английский "second".

Альтернативная версия появления отсылает нас в Древний Рим. Минута - pars minuta prima (первая уменьшенная часть), секунда - pars minuta secunda (вторая уменьшенная часть).

Думаю, что, поскольку мы не лингвисты, обе версии нас устроят. Главное, что не все научные термины пропадают в тени и тиши веков...

В качестве бонуса, может, что-то и заинтересует
https://t.me/oldlibrary/375 на это обратить особое внимание, похоже, это скан оригинала от 1703 года.

https://t.me/oldlibrary/1267
https://t.me/oldlibrary/1269
https://t.me/oldlibrary/1271

и другие раритетные сканы книг по геометрии, "трегенометрии плоской" и др.

Товарищ готовится защищать ЧЕТВЁРТУЮ докторскую диссертацию. В этот раз по социологии. Искренне и от души не понимаю. Зачем???
👇👇👇👇👇👇👇👇👇👇

Уроженец Бурятии, выпускник юридического факультета БГУ Павел Дудин защитил докторскую диссертацию по юридическим наукам в диссертационном совете, созданном на базе Казанского (Приволжского) федерального университета. Диссертация учёного из Бурятии посвящена государственно-правовому развитию Внутренней Монголии в конце XIX – первой половине ХХ веков и определению её роли в обновлённом региональном правопорядке в Восточной Азии.

Казалось бы рядовое событие, если не одно «но»… Это третья докторская степень Павла Дудина. До этого он уже стал доктором политических и исторических наук. Первую докторскую диссертацию – по истории - Павел Дудин защитил в декабре 2020 года.
В 2022 году Павел Дудин завершил и в следующем году защитил в Санкт-Петербургском государственном университете (СПбГУ) докторскую диссертацию по политическим наукам.

❗️❓Трижды доктор наук! Кто больше?

Самый мерзкий феминитив

Евклидова геометрия с точки зрения современной строгости

Евклидова геометрия, излагаемая в современных школьных учебниках, основана на труде "Начала", написанном около 300 г. до н.э. Однако с точки зрения современной математической строгости эта система содержит ряд фундаментальных пробелов.
Евклид начинает "Начала" с определений, которые с современной точки зрения таковыми не являются. Например, точка определяется как "то, что не имеет частей", прямая линия — как "длина без ширины". Эти описания носят интуитивный характер и не могут служить основой для формальной аксиоматики.
Углы вводятся без определения меры. Евклид оперирует понятиями "больше" или "меньше", но не определяет сложение углов или их равенство аксиоматически.
Он пользуется утверждением "точка B лежит между A и C", никак не определяя, что значит "между" — понятием, основанным на аксиомах порядка.
Для доказательства равенства треугольников Евклид использует наложение фигур, но не аксиоматизирует движение.
При построении равностороннего треугольника предполагает, что две окружности пересекаются, опираясь на интуитивное представление (а не на аксиому непрерывности).
В доказательстве теоремы Пифагора использует свойства площадей без строгого определения самого понятия площади.
Применяет теорему Паша (если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через вершины, она пересекает другую сторону) без доказательства и включения в аксиоматику.
Евклидова геометрия, несмотря на свою педагогическую ценность, представляет собой упрощённую и интуитивную версию, не соответствующую современным стандартам математической строгости. Подлинная аксиоматическая основа геометрии была создана только в конце XIX — начале XX вв. благодаря работам Гильберта, Пеано и других математиков.
Однако эти недостатки не умаляют заслуг Евклида (который по одной из версий был не одним человеком, а коллективным псевдонимом александрийских математиков, объединивших знания эпохи в единый канон), но показывают эволюцию математики: от интуитивных построений к формальной точности. Его главный вклад состоял не в открытии новых теорем, а в создании логически связной системы, в которой каждое утверждение выводится из явно сформулированных посылок. И хотя современная наука выявила пробелы в этой системе, "Начала" остаются выдающимся примером научного мышления, свидетельством того, что математика остается живой наукой, где даже канонические тексты подвергаются переосмыслению.

Очередная древняя арифметика. В этот раз от Леонарда Эйлера. Точнее, от Леонгарда Ейлера, но уверяю вас, что это одно и то же лицо. :)

Шарипов Руслан Абдулович "Основания геометрии".
Особое внимание рекомендую обратить на "Приложение" в конце книги. Мало кто из современных учёных работает в двух областях науки. Но в любом случае это или математика для одних, или физика для других.
Наш Руслан Абдулович имеет результаты в 5-6 совершенно разных направлениях. Причем и математике, и физике. Феномен.

Геометрия холста и карт

На протяжении истории то, как люди изображают пространство — будь то на картине или на карте — радикально менялось. Эти трансформации определялись не только сменой эстетических идеалов, но, в первую очередь, новыми математическими моделями, которые предлагали принципиально иной способ видения и осмысления мира.


1. Сакральная «геометрия»: пространство как символ

До эпохи Ренессанса в европейской культуре доминировала теоцентрическая модель мира. Геометрия в ней служила не инструментом измерения, но языком сакрального порядка.
В иконописи это проявлялось через систему обратной перспективы: параллельные линии расходились от зрителя, а размер фигуры определялся её местом в духовной иерархии, а не законами оптики. Как показал академик Б.В. Раушенбах, это не было «ошибкой» или неумением — такая система отражает работу мозга, синтезирующего зрительные образы в процессе движения глаз. Цель этой «духовной геометрии» заключалась не в имитации видимого мира, а в выражении мира вечного, где физическая реальность подчинена законам духа.
Этот принцип символического пространства находил отражение не только в искусстве, но и в картографии, создавая единую систему визуального мышления. Средневековые mappae mundi (например, знаменитая Херефордская карта XIII в.) помещали Иерусалим в центр мира, а размеры стран определялись их религиозной значимостью. Палестина изображалась крупнее Европы, реки чертились прямыми линиями (что символизировало божественный порядок), а расстояния измерялись в «днях пути паломника».
Математика здесь сводилась к символическим пропорциям. Например, отношение условной площади Иерусалима к площади Европы могло достигать 5:1, что грубо нарушало евклидову метрику, но идеально сохраняло теологическую гармонию. Эти карты были не навигационными инструментами, а визуальными молитвами, где геометрия служила проводником в мир божественного порядка.

2. Ренессанс: Евклид как язык реальности

Эпоха Возрождения, с её антропоцентризмом, совершила переворот: карта превратилась в инструмент познания Земли, а картина сделалась «окном в мир». Центральным символом этой революции стала линейная перспектива.
Это был не просто художественный приём, а строгая геометрическая система. Леон Баттиста Альберти в трактате «О живописи» (1435 г.) описал создание картины как математическую проекцию лучей зрения на плоскость, опираясь на авторитет Евклидовой геометрии. Холст превратился в прозрачное «окно», через которое зритель мог заглянуть в упорядоченное, измеренное и рассчитанное пространство. Художник стал не только творцом, но и инженером-расчётчиком, владеющим инструментами для точного переноса трёхмерной реальности на плоскость. Брунеллески экспериментально подтвердил это, создав зеркальный прибор: он нарисовал вид на флорентийский баптистерий на серебряной пластине, а затем сравнил его с реальным отражением через отверстие в рамке, демонстрируя идентичность изображения. Леонардо да Винчи довёл систему до виртуозности, подчинив её законам пропорции и сходимости линий к единой точке схода.
Но математизация пространства не ограничилась стенами мастерских. Она шагнула наружу, чтобы измерить саму Землю. Голландский астроном Виллеброрд Снеллиус в 1615 г. впервые применил метод триангуляции для точного расчёта расстояний между городами, используя церковные шпили как точки геодезической сети. В XVIII в. французские учёные, используя гигантские триангуляционные сети в экспедициях к экватору и полярному кругу, математически доказали сплюснутость Земли у полюсов — задолго до спутниковых снимков. Карта мира перестала быть схематичным рисунком; она стала точным, рассчитанным документом, продуктом геометрии и тригонометрии.
Ренессансная «революция расчёта» показала, что красота гармонии и точность измерения — две стороны одной медали. Она заложила рациональный фундамент современного визуального восприятия и пространственного мышления.

3. Перцептивная перспектива: синтез науки и нейрофизиологии

Ренессансная линейная перспектива и средневековая обратная перспектива долгое время рассматривались как исторические этапы, отражающие разные мировоззренческие парадигмы. Однако 1970-80-х годах академик Борис Викторович Раушенбах показал, что обе системы — лишь частные формы процесса зрительного наблюдения. Его теория перцептивной перспективы стала мостом между искусством, математикой и нейрофизиологией.
Будучи не только искусствоведом, но и крупным математиком и механиком, Раушенбах показал, что:
- Линейная перспектива (ренессансная) идеально работает только для статичного взгляда одного глаза, зафиксированного в строго определённой точке. Но в реальности человек смотрит двумя глазами, постоянно двигает головой и меняет угол зрения.
- Обратная перспектива (иконописная), хотя и учитывает некоторые особенности синтеза образов мозгом, является чрезмерно символической и не стремится к воссозданию реалистичного зрительного впечатления.
Ни та, ни другая система по отдельности не способна передать то, как мы видим мир на самом деле.
Учёный предложил рассматривать зрительное восприятие как сложный процесс, в котором мозг синтезирует единый образ из множества «снимков», сделанных с разных точек. Его модель перцептивной перспективы включает три ключевые зоны:
- Ближний план (до 1,5 метров): Здесь работает механизм, схожий с обратной перспективой. Рассматривая близкий объект (например, книгу), мы водим по нему глазами. Мозг «склеивает» эти отдельные изображения в единый образ, в котором объект как бы «разворачивается» навстречу зрителю.
- Дальний план (свыше 5-6 метров): Здесь вступают в силу законы, близкие к линейной перспективе. Удалённые объекты (здание на другом берегу реки) практически не искажаются при движении наших глаз.
- Средний план: В этой переходной зоне действует аксонометрия (параллельная перспектива), где параллельные линии остаются параллельными.
Таким образом, человеческое восприятие — это гибридная система, плавно переключающаяся между разными геометрическими моделями.
Раушенбах не ограничился качественным описанием. Он представил этот процесс математически, описав его как кусочно-непрерывную функцию, зависящую от дистанции до объекта.
Для описания преобразования глубины он ввёл понятие коэффициента искажения, который меняется в зависимости от дистанции. Математически преобразование можно описать через функцию, связывающую реальную глубину z и воспринимаемую глубину z': z' = f(z).
Здесь f(z) — нелинейная функция, приближающаяся к линейной зависимости на больших расстояниях (линейная перспектива) и дающая «обратный» эффект на близких (обратная перспектива).
Это объясняет, почему великие художники-реалисты (например, Веласкес или Серов) интуитивно нарушали строгие каноны линейной перспективы: они усиливали элементы обратной перспективы на переднем плане, чтобы добиться максимального эффекта жизнеподобия.
Теория Раушенбаха имела далеко идущие последствия:
- Реабилитация иконописи. Она окончательно сняла с обратной перспективы клеймо «невежества», показав её глубокую нейрофизиологическую обоснованность.
- Мост между культурами. Она объединила восточную (иконописную) и западную (ренессансную) традиции в единую теорию восприятия.
- Влияние на современные технологии. Принципы перцептивной перспективы нашли применение в компьютерной графике, VR и AR, где задача — создать максимально естественное изображение для подвижного зрителя.
Открытие Раушенбаха показало, что истина не в выборе между той или иной геометрической системой, а в понимании механизмов работы нашего сознания. Искусство, математика и нейрофизиология, наконец, нашли общий язык для описания того, как мы видим и осознаём окружающее нас пространство. Это синтез, в котором строгий расчёт не отрицает духовную глубину, а позволяет понять её природу.

4. Геометрия XXI в.: от фракталов к многомерным ландшафтам данных

Современный мир, с его цифровой сложностью и многогранностью, требует новых геометрических языков для своего описания. Если Ренессанс открыл универсальность евклидовой геометрии, а XX в. — пределы её применимости, то XXI в. стал эпохой плюрализма геометрических моделей. Сегодня геометрия — это не единая истина, а набор мощных инструментов, выбираемых в зависимости от задачи: будь то моделирование вселенной, создание виртуальных миров или анализ Big Data.
Цифровая эпоха окончательно освободила картографию от ограничений статичных бумажных носителей. Современные карты — это уже не просто плоские проекции, а интерактивные, многослойные системы. Хотя традиционные методы остаются в ходу, они стали лишь одним из многих способов визуализации.
Ключевым прорывом стало появление Web-GIS — динамических платформ, которые позволяют совмещать данные спутниковой съёмки, GPS-трекинга, социальной статистики в реальном времени. Пространство на таких картах стало многомерным: к традиционным X и Y добавились оси высоты Z, времени Т, тематические потоки информации — спутниковые снимки, данные датчиков, социальная статистика. Это превратило карту из статичного изображения в пространственно-временной симуляции, где каждое изменение мгновенно отражается на цифровом двойнике.

Теория фракталов Б. Мандельброта, рождённая в XX в., нашла своё истинное призвание в веке XXI. Она оказалась не просто математической диковинкой, а универсальным языком для описания сложных, самоподобных систем — от ветвления кровеносных сосудов и береговых линий до кластеров галактик.
В компьютерной графике фрактальные алгоритмы стали основой для генерации бесконечно сложных и реалистичных ландшафтов, текстур и органических форм в кино и видеоиграх. Эта «геометрия хаоса» позволила преодолеть искусственную прямолинейность евклидовых моделей и создать цифровые миры, визуально неотличимые от природных. Более того, фрактальные принципы — рекурсия, самоподобие, масштабируемость — стали эстетическим ориентиром для современного дизайна, архитектуры и медиаискусства.

Самый радикальный сдвиг произошёл в области, которую можно назвать «геометрией данных». В эпоху больших данных мы постоянно имеем дело с объектами, существующими в пространствах с огромной размерностью. Профиль пользователя в соцсети может описываться тысячами параметров (каждый — своя ось координат), превращаясь в точку в гиперальном многомерном пространстве.
Анализировать такие структуры методами классической геометрии невозможно. Здесь на помощь приходят топология и дифференциальная геометрия. Учёные и инженеры смотрят на данные как на сложное многообразие, имеющее свою форму, кривизну и связность. Методы машинного обучения «схлопывают» эти тысячемерные пространства в 2D или 3D-визуализации, сохраняя их топологические свойства — близкие точки в исходном пространстве остаются близкими и на карте. Это позволяет буквально «увидеть» геометрию данных — обнаружить кластеры, выбросы и скрытые закономерности.

Любопытно, что развитие геометрии сегодня в некотором смысле замыкает круг, но на новом витке спирали. Евклидова перспектива — лишь частный случай в спектре перцептивных моделей. Сегодня мы наблюдаем возврат к символическому и субъективному пониманию пространства, но на принципиально новом уровне. Если средневековый картограф искажённо рисовал Иерусалим по религиозным причинам, то современный алгоритм «искажает» многомерное пространство данных по алгебраическим и топологическим причинам — чтобы сделать его понятным человеку.

Геометрия XXI в. перестала быть просто разделом математики. Она стала мета-языком, связующим звеном между физической реальностью, цифровыми мирами и человеческим восприятием. От фрактальных ландшафтов и топологии данных до неевклидовых законов квантовых полей — современная геометрия предлагает не один, а множество параллельных способов описания универсума. Она больше не диктует, каким мир должен быть согласно аксиомам, а помогает описать бесконечное разнообразие того, каким он может быть. И в этом её величайшая сила и красота.