Кто бы мог придумать такой конец фильма. :):):)

Несмотря на развитие и применение абстрактной алгебры в современных физических теориях, роль геометрии и визуализации остается огромной.

На картинке показано присоединенное пространство (касательная плоскость), к базовому пространству (полусфера у нас). Рисунок призван объяснить риманову геометрию и почему вблизи точки искривленного многообразия мы можем пользоваться евклидовой геометрией плоскости.

Но на самом деле мы можем обобщить это дело, выбрав в качестве базового и присоединенного более абстрактные пространства. Математики называют такие вещи теорией расслоений (fiber bundles), а физики – калибровочными теориями (gauge theory).

Возьмем в качестве базового пространства 4-мерное пространство-время, а в качестве присоединенного пространства (главного расслоения, principal bundle) окружность - элемент группы U(1). Такую теорию физики называют электромагнетизмом.

В квантовом случае нам нужно присоединить еще одно пространство - associated bundle. Это такое связанное с главным расслоением векторное пространство в котором живут представления группы U(1) – поля материи (электроны и позитроны, их спинорное описание).

Где же живет электромагнитное поле и фотон? При перемещении точки по базовому 4-мерному пространству-времени, вещи, живущие в присоединенных к этой точке пространствах, меняются. Как именно изменяются присоединенные вещи при перемещении по базовому многообразию с точки зрения математиков описывается связностью, а с физической точки зрения калибровочным полем, в нашем случае электромагнитным. Квант этого поля, генератор группы U(1), и есть фотон.

А теперь сравните описанную мной геометрическую структуру электродинамики с тем как представляют себе фрики электромагнитное взаимодействие материи с излучением: испускание шариком-электроном частички-фотона. И это я еще не говорю про эфирщиков, у которых дела обстоят еще хуже))

Помните Эшера и Чукотку? Еще про кристаллические решетки

Продолжаю свой рассказ про специальную теорию относительности.
Еще раз повторюсь: в обнове всех рассуждений у нас есть два наблюдателя. Которые видят мир каждый по-своему.

Немного модифицирую рассказ. Пусть наблюдатель всего один. Космонавт на ракете в глубоком космосе. Оно, конечно, есть всякие там общегалактические координаты (фантазирую). Но кругом чернота и пустота. Поэтому космонавту удобнее иметь свою систему координат, в которой его путь лежит вдоль оси ОХ. Надо ему повернуть налево на угол фи (так называется греческая буковка с картинки) - он после поворота "сдвинет" свою систему координат, чтобы снова лететь вдоль оси ОХ' (штрих появился).

Вот вам две системы координат: старая (до поворота) с ОХ и новая с ОХ' (после поворота). А вместо двух наблюдателей у нас остался один. Но и проблема для этого космонавта осталась: ему надо пересчитать координаты окружающих его объектов (они изменились).

Эта задача элементарная и решается при помощи матрицы (таблицы), в которую вписаны два синуса и два косинуса.

Это механика Ньютона. Которая "встроена" в механику Эйнштейна (преобразования Галилея "вшиты" в преобразования Лоренца, если дело касается только трёх пространственных координат). То есть, если космонавт хочет изменить направление своего движения, то эта матрица остается такой, как на рисунке. Даже если считать в специальной теории относительности.

А что же тогда меняется? Где, в какой момент появляются другие матрицы?

📜 Письмо Ньютона Роберту Гуку
Кембридж, 5 февраля 1675 года

В этой дружеской переписке, ставшей исторической, Исаак Ньютон обращается к Роберту Гуку, избегая публичных споров и предпочитая обмен идеями в личных письмах. Он благодарит Гука за его открытость и научные наблюдения, особенно в области изучения цвета тонких пластинок.

Именно здесь Ньютон произносит фразу, которая стала крылатой:

«Если я видел дальше, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

Ньютон признаёт вклад своих предшественников — Декарта, самого Гука и других, чьи работы помогли ему продвинуться в науке. Он также обсуждает некоторые общие наблюдения в оптике и интересуется экспериментами Гука по звёздным наблюдениям.

В XIV веке на юге Индии, в городке Сангамаграма, жил выдающийся математик и астроном Мадхава. Его открытия радикально изменили подход к вычислению числа π. Он основал Керальскую школу математики и впервые предложил представлять π через бесконечный ряд. Этот метод позволял получать значение константы с невиданной ранее точностью. Мадхава показал, что если складывать и вычитать дроби с нечетными знаменателями, то можно всё ближе приближаться к истинному значению π. Его знаменитая формула
π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …
стала важнейшим шагом в развитии анализа, хотя в Европе её открыли заново лишь спустя около трёхсот лет.

Однако Мадхава пошёл дальше: он разработал специальные поправки, ускорявшие вычисления, и сумел определить π с точностью до одиннадцати знаков после запятой. Его ученики в Керальской школе продолжили развивать эти идеи, создавая сложные астрономические модели и фактически предвосхищая основы математического анализа задолго до Ньютона и Лейбница.

Сегодня память о Мадхаве увековечена в Индии: там установили стену с числом π, выписанным до 577-го знака после запятой. Она символизирует его научное наследие и вдохновляет новые поколения исследователей.

https://www.mathnet.ru/rus/present46936

от мини-курса Л.Д.Беклемишева про модели арифметики и комбинаторные независимые утверждения на ЛШСМ-2025 доступны не только видеозаписи, но и подробные записки «Теорема Канамори–Макалуна и её независимость от аксиом формальной арифметики»:

https://mccme.ru/dubna/2025/notes/beklemishev-notes.pdf

«Первая теорема Гёделя о неполноте говорит о том, что для любой достаточно богатой непротиворечивой теории T с эффективно распознаваемым множеством аксиом существуют арифметические предложения ϕ, не доказуемые и не опровержимые в T.
(…)
Доказательство теоремы Гёделя также напоминает логический парадокс. На фоне этого математики высказывали предположение о том, что явление неполноты, открытое Гёделем, возможно не проявляется в реальной математической практике (…).

Математически естественные примеры независимых утверждений, такие как континуум-гипотеза или гипотеза Суслина, были вскоре обнаружены в теории множеств, дескриптивной теории функций, общей топологии, общей алгебре и других областях математики. Однако, все они касались бесконечных множеств (…). Ситуация оставалась такой вплоть до конца 1970-х годов, когда были найдены естественные утверждения из области конечной комбинаторики (…). Наиболее известный такой пример — теорема Дж.Париса и Л.Харрингтона, представляющая собой небольшую модификацию известной теоремы Рамсея. В дальнейшем А.Канамори и К.Макалун нашли родственное утверждение (…), которое даёт, в том числе, и более простой способ доказательства независимости теоремы Париса–Харрингтона.

Настоящая серия лекций посвящена введению в теорию моделей формальной арифметики и доказательству этих результатов.»

Земля не идеальный шар.
На этой картинке можно увидеть не привычный глобус, а карту гравитационного поля нашей планеты. Учёные называют её "Потсдамская гравитационная картошка" - геоид, моделирующий форму Земли с учетом аномалий гравитации.

Почему "картошка"? Потому что сила тяжести на
Земле распределена неравномерно:
Красные зоны обозначают участки с немного большей гравитацией, синие с немного меньшей.
Аномалии часто связаны с особенностями рельефа (например, Гималаи, Срединно-Атлантический хребет), но не всегда - порой причиной являются плотностные аномалии в недрах.

Зачем нужны такие карты?
Для уточнения моделей океанических течений и уровня моря;
Для отслеживания таяния ледников и перемещений масс воды;
Для обеспечения точности GPS и спутниковой геодезии.

👶➗ Когда для поступления в детсад требуют сдавать пределы…