Решим задачу: луч света движется вдоль оси y со скорость с=300 000 км/сек. Какой путь он пройдёт за 2 секунды? За 3 секунды?

Наше графическое решение дословно повторяет решение задачи с автомобилем. Только по очи а,cцисс мы отложили не t, а сt. Это и есть световой конус. Световой конус - это траектория фотона света из нашего графического решения.

Единственно что мы сделали - это дорисовали траекторию в левую полуплоскость (фотон же прилетел к нам из прошлого). А еще нарисовали, что фотон может лететь вперёд (красная прямая), а может назад (сине-красная).

Теперь самое интересное. Найдём "путь" фотона в метрике Минковского. Пройденное "расстояние" находится по формуле из первой строчки. Но фотон у меня летит вдоль оси У, поэтому в этой формуле изменяются только время t и координата У. Координаты Х и Z у фотона неизменны, поэтому я просто положу их равными 0.
Формула из первой строчки упрощается до формулы из третьей строчки. Теперь вспоминаем как пространственная координата У выражается через временную координату t. Осень просто: скорость, умноженное на время, то есть y=ct. Подставляем в третью строчку и получаем, что s=0.

Как долго бы фотон не летел, "пройденное им расстояние" в метрике Минковского будет равно 0.

Световой конус - это точки, удалённые от начала координат на s=0. Вспоминаем мою маму, для которой расстояние между Уфой и Бирском равнялось 0 рублей (в худшем случае, а в лучшем равнялось величине отрицательной - минусу цены кулька конфет).

Если вас фотон уже удивил, то давайте я совсем уж вас добью. Для фотона (как долго бы он не летел) интервал s=0. Это мы уже выяснили. Но этого мало. Сколько там у нас фотон летит от Солнца до Земли? Около 8 минут? А для фотона проходит время, равное 0! Вот как хотите так и понимайте! Для фотона света, родившегося 13 миллиардов лет назад во время Большого взрыва и до сих пор где-то там летящего, прошло 0 лет 0 месяцев 0 дней 0 часов 0 минут 0 секунд. Если это понять сложно, считайте, что для фотона не существует понятия времени. Это вам всё объяснит (издеваюсь).

Не умею не раскрывать секреты своих фокусов. Все мои сегодняшние сообщения можно уложить в одно предложение.

Интервал s между событиями (0; 0; 0; 0) и (сt; 0; сt; 0) равен 0.

Надеюсь, математики это поняли.

Следующий вопрос, который тщательно обходится всеми комментаторами - в какой части координатной плоскости c осями координат ct и 0Y и световым конусом (картинка двумя постами выше) сгрудились мы, жалкая группка людей, гордо именующих себя человечеством. Спойлер: нас там не увидеть без электронного микроскопа.

В рамках работы школы Цыганова начинаем размещение видеоматериалов. На сайте www.школацыганова.рф размещена лекция "Эшер и Чукотка".

Это научно-популярная лекция о математике замощений и математике в кристаллографии. Она интересна и занимательна сама по себе, её можно слушать и школьникам, и родителям.

Но эти материалы учителя могут использовать как основу для школьных рефератов и исследовательской работы обучающихся. Развернутый список тем с комментариями в формате PDF можно найти на www.школацыганова.рф/teachers.html.

Поскольку никто и ничто не может двигаться быстрее света, световой конус (красные линии) разделил координатную плоскость на две области: коричневую, в которую невозможно попасть, и зеленую, внутри которой располагаются наши траектории.

Внутри зелёной области интервал между двумя событиями (расстояние в метрике Минковского) положительно. В коричневой области интервал отрицательный (привет моей маме с её конфетами и отрицательной стоимостью проезда из Уфы в Бирск).

Траектория движения любого объекта в пространстве-времени (напоминаю, наша координатная плоскость - это пространство-время) называется мировой линией. Все иллюстраторы недрогнувшей рукой рисуют её ровно так, как я сейчас нарисовал - в виде зелёной кривой.

Кстати, а если человек стоит на месте, то как выглядит его мировая линия? Вы его поняли? Разобрались? Не точка. Нет, не точка. Желтая прямая вдоль оси ct (оси абсцисс). Пространственная координата не меняется, но время-то изменяется, время идёт, время остановить невозможно.

Осталось разобраться с тем, что мне не нравится с иллюстраторами, которые недрогнувшей рукой ... (и так далее по тексту из сообщения выше). Для этого возвращаемся к ракете, которая летит со скоростью половины скорости света. Её траектория - прямая, повернутая на угол 26 градусов относительно оси ct.

А если ракета летит со скоростью в десятую скорости света с/10 = 30 000 км/сек? Её прямая-траектория повернута на угол 5 градусов относительно ct. Её я таки-изобразил (хоть и с трудом) синим.

А теперь вопрос: с какой скоростью летают ракеты, построенные человечеством? Мы уже подходим к скоростям, равным десятой скорости света? То есть 10% от скорости света? Ага, щищас и вприпрыжку. Сегодняшний рекордсмен - солнечный зонд "Паркер" разогнался до 192 км/сек. Это аж 0,064% скорости света. Если я возьмусь рисовать траекторию "Паркера" на нашей координатной плоскости, то должен буду нарисовать прямую, повернутую относительно оси абсцисс аж на угол 0,03 градуса.
Вы подумали, что современные гиперзвуковые ракеты летают быстрее космических аппаратов? Самые шустрые из них - в 27 паз медленнее "Паркера". Земным ракетам не тягаться в скорости с космическими аппаратами.

Осталось рассказать о мировой линии Усэйна Болта в тот момент, когда он пробежал 100 метров за фантастические 9,59 секунды.

Его мировая линия в тот момент составляла прямую, повернутую относительно оси абсцисс на фантастические (ехидствую) 0,0000002 градуса.
Не пытайтесь нарисовать этот угол. Он примерно равен угловому размеру атома водорода, если смотреть на него с расстояния в 10 км.

Резюме: человечество на схеме пространства-времени копошится вдоль оси времени ct в таком узком коридоре, что его даже в электронный микроскоп не видно.

Кто бы мог придумать такой конец фильма. :):):)

Несмотря на развитие и применение абстрактной алгебры в современных физических теориях, роль геометрии и визуализации остается огромной.

На картинке показано присоединенное пространство (касательная плоскость), к базовому пространству (полусфера у нас). Рисунок призван объяснить риманову геометрию и почему вблизи точки искривленного многообразия мы можем пользоваться евклидовой геометрией плоскости.

Но на самом деле мы можем обобщить это дело, выбрав в качестве базового и присоединенного более абстрактные пространства. Математики называют такие вещи теорией расслоений (fiber bundles), а физики – калибровочными теориями (gauge theory).

Возьмем в качестве базового пространства 4-мерное пространство-время, а в качестве присоединенного пространства (главного расслоения, principal bundle) окружность - элемент группы U(1). Такую теорию физики называют электромагнетизмом.

В квантовом случае нам нужно присоединить еще одно пространство - associated bundle. Это такое связанное с главным расслоением векторное пространство в котором живут представления группы U(1) – поля материи (электроны и позитроны, их спинорное описание).

Где же живет электромагнитное поле и фотон? При перемещении точки по базовому 4-мерному пространству-времени, вещи, живущие в присоединенных к этой точке пространствах, меняются. Как именно изменяются присоединенные вещи при перемещении по базовому многообразию с точки зрения математиков описывается связностью, а с физической точки зрения калибровочным полем, в нашем случае электромагнитным. Квант этого поля, генератор группы U(1), и есть фотон.

А теперь сравните описанную мной геометрическую структуру электродинамики с тем как представляют себе фрики электромагнитное взаимодействие материи с излучением: испускание шариком-электроном частички-фотона. И это я еще не говорю про эфирщиков, у которых дела обстоят еще хуже))

Помните Эшера и Чукотку? Еще про кристаллические решетки

Продолжаю свой рассказ про специальную теорию относительности.
Еще раз повторюсь: в обнове всех рассуждений у нас есть два наблюдателя. Которые видят мир каждый по-своему.

Немного модифицирую рассказ. Пусть наблюдатель всего один. Космонавт на ракете в глубоком космосе. Оно, конечно, есть всякие там общегалактические координаты (фантазирую). Но кругом чернота и пустота. Поэтому космонавту удобнее иметь свою систему координат, в которой его путь лежит вдоль оси ОХ. Надо ему повернуть налево на угол фи (так называется греческая буковка с картинки) - он после поворота "сдвинет" свою систему координат, чтобы снова лететь вдоль оси ОХ' (штрих появился).

Вот вам две системы координат: старая (до поворота) с ОХ и новая с ОХ' (после поворота). А вместо двух наблюдателей у нас остался один. Но и проблема для этого космонавта осталась: ему надо пересчитать координаты окружающих его объектов (они изменились).

Эта задача элементарная и решается при помощи матрицы (таблицы), в которую вписаны два синуса и два косинуса.

Это механика Ньютона. Которая "встроена" в механику Эйнштейна (преобразования Галилея "вшиты" в преобразования Лоренца, если дело касается только трёх пространственных координат). То есть, если космонавт хочет изменить направление своего движения, то эта матрица остается такой, как на рисунке. Даже если считать в специальной теории относительности.

А что же тогда меняется? Где, в какой момент появляются другие матрицы?