Ловушки для чисел: хаос и порядок

Будем строить последовательность по такому правилу. Выберем натуральное число. Если оно чётное, делим его на 2, в противном случае умножаем на 5 и прибавляем 1. С результатом будем проделывать то же самое снова и снова. Какие последовательности будут возникать?
Например,
1 – 6 – 3 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1, получился цикл;
5 – 26 – 13 – 66 – 33 – 166 – 83 – 416 – 208 – 104 – 52 – 26, снова цикл;
7 – 36 – 18 – 9 – 46 – …, а дальше не понятно, выйдет ли она на цикл или нет; по крайней мере на 100-м шаге получается число 11857916;
9 — в этой же растущей последовательности, 11 тоже выходит на неё;
15 попадает в цикл 1;
17 даёт ещё один цикл из 10 шагов…
И в целом наблюдается довольно хаотичная картина многих устойчивых состояний-циклов и возможно бесконечного роста для некоторых начальных значений.

Должно ли что-то принципиально измениться, если всего лишь заменить 5 на 3 в этом правиле? Оказывается,что для любого начального значения все такие последовательности рано или поздно приходят к единице! Точнее говоря, пока не обнаружено такого числа, которое не пришло бы к единице, а проверено уже 2⁶⁸ первых натуральных чисел, и все они в итоге приходят к 1, и проверка непрерывно продолжается. Это знаменитая гипотеза Коллатца (немецкий математик Лотар Коллатц сформулировал её 1 июля 1932 г.), одна из нерешённых проблем математики (известная также под именем сиракузской проблемы, проблемы 3n+1 и др.)
Например, при n=27 последовательность состоит из 111 членов до первой единицы, достигая в пике значения 9232.
Почему 3n+1 подчиняется порядку, а 5n+1 — нет?
Ответа нет. Математики предполагают, что множитель 3 создает баланс между "подъёмом" (3n+1) и "спуском" (n/2), а 5 — нарушает его. Но строгого объяснения этого баланса нет.
В настоящее время непонятен даже статус этой гипотезы. Теоретически возможны три варианта:
1) Гипотеза доказуема в аксиоматике Пеано и, значит, верна для всех натуральных чисел.
2) Гипотеза опровержима в аксиоматике Пеано, и тогда существует контрпример — конкретное стандартное натуральное число, для которого последовательность уходит в бесконечность или в цикл, отличный от 4 – 2 – 1.
3) Гипотеза неопровержима и недоказуема в системе аксиом Пеано, и это означает, что в этой аксиоматике невозможно ни доказать, что все числа приходят к 1, ни предъявить контрпример.
Но в любом случае, в стандартной модели множества натуральных чисел она является истинной или ложной, даже если она недоказуема в аксиоматике Пеано. Если она истинна, это означает, что аксиоматика Пеано слишком слаба для её доказательства, а если ложна (и существует контрпример), то аксиоматика Пеано не умеет его построить.
Стоит отметить, что конструктивная математика (отвергающая закон исключённого третьего для бесконечных множеств) допускает иную философскую позицию: у нас может никогда не быть конструктивных оснований ни для подтверждения гипотезы (алгоритма, строящего путь к 1 для любого n), ни для её опровержения (предъявления явного контрпримера). Таким образом, для нас она может остаться без установленного значения истинности.

Есть работа https://arxiv.org/abs/1807.00908, где вместо 3n+1 пишут 7n±1, а плюс или минус различают по остаткам при делении n на 4. Автор работы David Barina. считает, что его гипотеза столь же хороша, как и гипотеза Коллатца.

Прочитал статью Руслана Абдулловича.

ИИ таки дезинформировал меня поначалу относительно её содержания. Ох... тяжко с ним, тяжко. Иногда он умница, а иногда выдаёт... чёрти что. Причём делает это столь уверенно, что, не владея темой, и не заметишь подвоха.

А результат работы интересный и, по крайней мере для меня, в некотором смысле парадоксальный.

Доказано, во-первых, что эволюция последовательности Коллатца от любого нечётного числа представима в виде бесконечной чередующейся последовательности участков s- и q-эволюции:

s₁, q₁, s₂, q₂, s₃, q₃, ...

где
s-эволюция – одна или несколько операций (3*n+1)/2 (до превращения нечётного в чётное)
q-эволюция – одно или несколько делений на 2 (до превращения чётного в нечётное).

И, во-вторых, доказано, что для любого наперёд заданного конечного шаблона эволюции

s₁, q₁, s₂, q₂, ..., sᵣ, qᵣ, sᵣ₊₁

существует нечётное число (являющееся решением уравнений), эволюция последовательности Коллатца для которого в своём начале будет происходить в соответствии с этим шаблоном.

При этом шаблон эволюции можно задать сколь угодно сложным. Например, он может реализовывать долгий постепенный рост, а затем – резкое падение, или долгое блуждание "вокруг да около".

Вооружившись ИИ (опять) и статьёй Руслана Абдулловича, я задал параметры начальной эволюции:

{s₁=1, q₁=1, s₂=10, q₂=10, s₃=1}

В результате чего машина (под чутким руководством оператора машинного доения мышления 🙂), путём решения соответствующих уравнений из статьи, выдала мне стартовое число 6150825.

Блок s₂=10 вызывает взлёт: 4613119 → 265975744 (рост в ~57.7 раз).
Блок q₂=10 вызывает обвал: 265975744 → 259781 (падение в 1024 раза).

Полная же эволюция для моего числа, в терминах статьи, описывается так:

s₁=1, q₁=1,
s₂=10, q₂=10,
s₃=1, q₃=3,
s₄=1, q₄=3,
s₅=1, q₅=2,
s₆=1, q₆=1,
s₇=1, q₇=1,
s₈=3, q₈=1,
s₉=1, q₉=4,
s₁₀=1, q₁₀=1,
s₁₁=1, q₁₁=3,
s₁₂=2, q₁₂=1,
s₁₃=1, q₁₃=1,
s₁₄=1, q₁₄=3,
s₁₅=3, q₁₅=1,
s₁₆=1, q₁₆=2,
s₁₇=1, q₁₇=3
Число достигает 1 (начало цикла 1 → 4 → 2 → 1).

Последовательность сходится к 1 на 103м шаге (в терминах традиционных операций Коллатца).

Парадокс же заключается в следующем. Можно задать чудовищно длинный шаблон – такой, что эволюция из начального числа будет блуждать, не спускаясь к 1 очень очень долго, и можно его усложнять и усложнять – так, что число блужданий будет стремиться всё дальше и дальше в бесконечность, но это всё ещё не будет контрпримером, опровергающим гипотезу Коллатца.

Уважаемый Иван К.! Спасибо за интерес к моей работе. Вы абсолютно верно разобрались с полученным в ней результатом. Моя проблема в том, что я не знаю куда двигаться от этого результата дальше. Поэтому и не двигаюсь.

О черных дырах и правильном способе упасть в них, чтобы не разбиться.

Комиксы с меня стребовали. Держите!

Итак, у космонавта много оборудования. Часы, показания жизнедеятельности, связь с ракетой. Пусть ему прямо на шлем транслируются часы с ракеты (это эксперимент мысленный, поэтому временем передачи сигнала пренебрегаем). На картинке таблица что каждую минуту видит космонавт на своих часах и на часах в ракете где-то там далеко (второй наблюдатель). Ясен перец, что к исходу третьей минуты для этого чела на ракете все давно умрут.

А для космонавтов в ракете это выглядит так: летел их коллега, летел, но всё медленнее и медленнее. А потом совсем замер. Его в чёрную дыру отправили, а он филонит. Встал зачем-то.

На самом деле он движется, конечно. Но медленно (для них). История ровно как у Ахилла и черепахи.

Я месяц провел в Индии вдали от туристических мест. Когда меня просят рассказать об Индии, я это делаю с удовольствием и в красках.

Но тут увидел это видео и понял, что проще посмотреть одну минуту, чем слушать один час.

Вот вам настоящая нетуристическая Индия. Единственно чего не хватает в видео - это трупики с вздувшимися животиками в воде. Повезло ребятам жести не увидеть...

Утрирую? Сжигают, говорите? Ага! Труп человека сжечь дотла надо 7 кубометров дров - Камаз. В Индии с дровами... Пару кустиков сожгли, изобразили процесс и в реку... Как-то так...

Поляки приехали посмотреть на Тадж-Махал, но увидели настоящую Индию и получили незабываемые впечатления на всю жизнь.

Ja pierdole
r/#2visegrad4you