На мой невинный запрос "координаты самой северной точки континентальной Антарктиды" был даден злобный ответ "63°14′ ю. ш., 57°11′ з. д. — координаты самой северной точки континентальной Антарктиды (Антарктический полуостров)".

Теперь берём карту России и проводим линию вдоль 63° северной широты. Итак, всё, что выше красной линии, это "Антарктида".

Чего видим? Мурманск, Архангельск и Анадырь в "Антарктиде". От Москвы до "Антарктиды" 880 км. Кстати, случайно увидел, что Москва прям-таки симметрична мысу Горн. Это оконечность Южной Америки, Огненная Земля, гигантские волны, страшные ветры и жуть-жуть-жуть.

Шамиль Ирикович, здравствуйте. Хотел вопрос задать Вам. Вот, пользуясь открытием чата задаю.

Недавно перечитывал лекцию В.И. Арнольда "Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств" (доступна по ссылке:
https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430178/430281), которую до этого читал лет 15 назад.

В это раз перечитывая подумал, что материал статьи видится мне очень "созвучным" с гипотезой Коллатца. В том смысле, что, кажется, можно было бы попытаться исследовать её с использованием математического аппарата, описываемого в статье. Возможно ошибаюсь. Но если нет, то вопрос мой заключается в следующем. Были ли попытки подступиться к гипотезе Коллатца с использованием вот этого математического аппарата? Может быть Вы сходу вспомните, но если нет, то и бог с ним.

Кстати, недавно Ринад Юлмухаметов месяца три назад выступал на институтском семинаре с одной проблемой по многомерному комплексному анализу, где переход от одномерного к многомерному заключался в некоторой диофантовой процедуре над целыми числами. Я обращал его внимание, что этот процесс очень уж похож на процедуру Коллатца, но с другими параметрами: не 3 и 1. Дальше не обсуждали. Это так, к сведению, о неожиданных местах, где выскакивают задачи типа гипотезы Коллатца

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Коллатца

Гипотезой Коллатца у нас занимался Руслан Абдулович Шарипов. Его мы и попросим прокомментировать текущее состояние дел и ответить на вопрос.

🤪🇪🇪Министр образования Эстонии не смогла ответить, сколько будет 8 умножить на 4

"Я не знаю", - честно призналась Кристина Каллас.

Также добавила: "И вообще, образование это же не только математические формулы".

Здравствуйте Иван К.! Посмотрел текст лекции В.И.Арнольда по Вашей ссылке. В ней он строит теорию сложности через анализ графа, связанного с отображениями A:M→M, где M - конечное множество. Такие отображения он называет монадами. В задаче Коллатца тоже имеется отображение A:ℕ→ℕ, где ℕ - множество натуральных чисел (0∉ℕ). Множество ℕ натуральных чисел не является конечным и теория монад Арнольда к нему не применима. Хотя определённые сходства имеются. В графе отображения Коллатца A:ℕ→ℕ имеется один хорошо известный цикл единицы 1→4→2→1. А сама гипотеза Коллатца равносильна утверждению, что в графе отображения Коллатца одна связная компонента с единственным циклом 1→4→2→1. Но доказать или опровергнуть это непросто. Пока никто не смог это сделать. Попыток применения теории монад Арнольда к гипотезе Коллатца я не встречал. Хотя я не могу быть экспертом в этом вопросе. Я занимался задачей Коллатца в 2022 году, сумел опубликовать одну статью https://arxiv.org/abs/2202.04441, после этого к задаче Коллатца не возвращался, поскольку обнаружил другую более интересную для себя деятельность. С уважением Руслан Шарипов.

Ловушки для чисел: хаос и порядок

Будем строить последовательность по такому правилу. Выберем натуральное число. Если оно чётное, делим его на 2, в противном случае умножаем на 5 и прибавляем 1. С результатом будем проделывать то же самое снова и снова. Какие последовательности будут возникать?
Например,
1 – 6 – 3 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1, получился цикл;
5 – 26 – 13 – 66 – 33 – 166 – 83 – 416 – 208 – 104 – 52 – 26, снова цикл;
7 – 36 – 18 – 9 – 46 – …, а дальше не понятно, выйдет ли она на цикл или нет; по крайней мере на 100-м шаге получается число 11857916;
9 — в этой же растущей последовательности, 11 тоже выходит на неё;
15 попадает в цикл 1;
17 даёт ещё один цикл из 10 шагов…
И в целом наблюдается довольно хаотичная картина многих устойчивых состояний-циклов и возможно бесконечного роста для некоторых начальных значений.

Должно ли что-то принципиально измениться, если всего лишь заменить 5 на 3 в этом правиле? Оказывается,что для любого начального значения все такие последовательности рано или поздно приходят к единице! Точнее говоря, пока не обнаружено такого числа, которое не пришло бы к единице, а проверено уже 2⁶⁸ первых натуральных чисел, и все они в итоге приходят к 1, и проверка непрерывно продолжается. Это знаменитая гипотеза Коллатца (немецкий математик Лотар Коллатц сформулировал её 1 июля 1932 г.), одна из нерешённых проблем математики (известная также под именем сиракузской проблемы, проблемы 3n+1 и др.)
Например, при n=27 последовательность состоит из 111 членов до первой единицы, достигая в пике значения 9232.
Почему 3n+1 подчиняется порядку, а 5n+1 — нет?
Ответа нет. Математики предполагают, что множитель 3 создает баланс между "подъёмом" (3n+1) и "спуском" (n/2), а 5 — нарушает его. Но строгого объяснения этого баланса нет.
В настоящее время непонятен даже статус этой гипотезы. Теоретически возможны три варианта:
1) Гипотеза доказуема в аксиоматике Пеано и, значит, верна для всех натуральных чисел.
2) Гипотеза опровержима в аксиоматике Пеано, и тогда существует контрпример — конкретное стандартное натуральное число, для которого последовательность уходит в бесконечность или в цикл, отличный от 4 – 2 – 1.
3) Гипотеза неопровержима и недоказуема в системе аксиом Пеано, и это означает, что в этой аксиоматике невозможно ни доказать, что все числа приходят к 1, ни предъявить контрпример.
Но в любом случае, в стандартной модели множества натуральных чисел она является истинной или ложной, даже если она недоказуема в аксиоматике Пеано. Если она истинна, это означает, что аксиоматика Пеано слишком слаба для её доказательства, а если ложна (и существует контрпример), то аксиоматика Пеано не умеет его построить.
Стоит отметить, что конструктивная математика (отвергающая закон исключённого третьего для бесконечных множеств) допускает иную философскую позицию: у нас может никогда не быть конструктивных оснований ни для подтверждения гипотезы (алгоритма, строящего путь к 1 для любого n), ни для её опровержения (предъявления явного контрпримера). Таким образом, для нас она может остаться без установленного значения истинности.

Есть работа https://arxiv.org/abs/1807.00908, где вместо 3n+1 пишут 7n±1, а плюс или минус различают по остаткам при делении n на 4. Автор работы David Barina. считает, что его гипотеза столь же хороша, как и гипотеза Коллатца.

Прочитал статью Руслана Абдулловича.

ИИ таки дезинформировал меня поначалу относительно её содержания. Ох... тяжко с ним, тяжко. Иногда он умница, а иногда выдаёт... чёрти что. Причём делает это столь уверенно, что, не владея темой, и не заметишь подвоха.

А результат работы интересный и, по крайней мере для меня, в некотором смысле парадоксальный.

Доказано, во-первых, что эволюция последовательности Коллатца от любого нечётного числа представима в виде бесконечной чередующейся последовательности участков s- и q-эволюции:

s₁, q₁, s₂, q₂, s₃, q₃, ...

где
s-эволюция – одна или несколько операций (3*n+1)/2 (до превращения нечётного в чётное)
q-эволюция – одно или несколько делений на 2 (до превращения чётного в нечётное).

И, во-вторых, доказано, что для любого наперёд заданного конечного шаблона эволюции

s₁, q₁, s₂, q₂, ..., sᵣ, qᵣ, sᵣ₊₁

существует нечётное число (являющееся решением уравнений), эволюция последовательности Коллатца для которого в своём начале будет происходить в соответствии с этим шаблоном.

При этом шаблон эволюции можно задать сколь угодно сложным. Например, он может реализовывать долгий постепенный рост, а затем – резкое падение, или долгое блуждание "вокруг да около".

Вооружившись ИИ (опять) и статьёй Руслана Абдулловича, я задал параметры начальной эволюции:

{s₁=1, q₁=1, s₂=10, q₂=10, s₃=1}

В результате чего машина (под чутким руководством оператора машинного доения мышления 🙂), путём решения соответствующих уравнений из статьи, выдала мне стартовое число 6150825.

Блок s₂=10 вызывает взлёт: 4613119 → 265975744 (рост в ~57.7 раз).
Блок q₂=10 вызывает обвал: 265975744 → 259781 (падение в 1024 раза).

Полная же эволюция для моего числа, в терминах статьи, описывается так:

s₁=1, q₁=1,
s₂=10, q₂=10,
s₃=1, q₃=3,
s₄=1, q₄=3,
s₅=1, q₅=2,
s₆=1, q₆=1,
s₇=1, q₇=1,
s₈=3, q₈=1,
s₉=1, q₉=4,
s₁₀=1, q₁₀=1,
s₁₁=1, q₁₁=3,
s₁₂=2, q₁₂=1,
s₁₃=1, q₁₃=1,
s₁₄=1, q₁₄=3,
s₁₅=3, q₁₅=1,
s₁₆=1, q₁₆=2,
s₁₇=1, q₁₇=3
Число достигает 1 (начало цикла 1 → 4 → 2 → 1).

Последовательность сходится к 1 на 103м шаге (в терминах традиционных операций Коллатца).

Парадокс же заключается в следующем. Можно задать чудовищно длинный шаблон – такой, что эволюция из начального числа будет блуждать, не спускаясь к 1 очень очень долго, и можно его усложнять и усложнять – так, что число блужданий будет стремиться всё дальше и дальше в бесконечность, но это всё ещё не будет контрпримером, опровергающим гипотезу Коллатца.

Уважаемый Иван К.! Спасибо за интерес к моей работе. Вы абсолютно верно разобрались с полученным в ней результатом. Моя проблема в том, что я не знаю куда двигаться от этого результата дальше. Поэтому и не двигаюсь.

О черных дырах и правильном способе упасть в них, чтобы не разбиться.