А теперь обещанная игра. Крестики-нолики из крестиков-ноликов.

Итак, играем в крестики-нолики на поле три на три. Только полем будет не клетка, а ... игра крестики-нолики. Другими словами, играем в крестики-нолики на 9 полях сразу.

Первый ход. Крестики пошли, например, как на картинке. Куда могут ответить нолики? Смотрите, крестик поставлен в верхнюю правую ячейку на каком-то поле. Правило такое: нолик обязан играть на правом верхнем поле!

Вот его возможный ответ. Нолик сыграл на верхнем правом поле. Конкретно он сходил в нижнюю левую ячейку. Поняли куда надо отвечать крестику? Он может делать ход в нижнем левом поле.

И так далее.

Ёжику понятно, что надо победить на каком-то поле. Вот у меня на картинке крестики победили в левом верхнем поле. Игра заканчивается?

Нет! Просто на это поле выставляется большой красный крестик. Догадались? Победить надо на "большом поле". То есть построить линию из больших красных крестиков (или ноликов, понятно дело).

Следующий ход за ноликом и он сходил как на картинке. Куда идти крестику? По правилам он должен играть на левом верхнем поле. Но логика подсказывает, что "зачем там играть, там же уже крестики победили, там игра закончена".

Из этого разумного соображения вытекает следующее правило: в такой ситуации крестик может сходить абсолютно куда пожелает.

Доброе утро, мальчики-девочки! Мой пытливый детский ум сегодня с утра озаботился такой задачей: а как будет выглядеть карта Северного полушария, если на неё наложить Антарктиду? Точнее, какая часть территории России находилась бы в Антарктиде? Севера-то нас не пугают, а вот Антарктида накрыта мистическим ужасом. Стоит ли так ужасаться?

Прикол в том, что интернет и ИИ на заданный мною вопрос промолчал как партизан на допросе. Что ж, сами изучим. :)

На мой невинный запрос "координаты самой северной точки континентальной Антарктиды" был даден злобный ответ "63°14′ ю. ш., 57°11′ з. д. — координаты самой северной точки континентальной Антарктиды (Антарктический полуостров)".

Теперь берём карту России и проводим линию вдоль 63° северной широты. Итак, всё, что выше красной линии, это "Антарктида".

Чего видим? Мурманск, Архангельск и Анадырь в "Антарктиде". От Москвы до "Антарктиды" 880 км. Кстати, случайно увидел, что Москва прям-таки симметрична мысу Горн. Это оконечность Южной Америки, Огненная Земля, гигантские волны, страшные ветры и жуть-жуть-жуть.

Шамиль Ирикович, здравствуйте. Хотел вопрос задать Вам. Вот, пользуясь открытием чата задаю.

Недавно перечитывал лекцию В.И. Арнольда "Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств" (доступна по ссылке:
https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430178/430281), которую до этого читал лет 15 назад.

В это раз перечитывая подумал, что материал статьи видится мне очень "созвучным" с гипотезой Коллатца. В том смысле, что, кажется, можно было бы попытаться исследовать её с использованием математического аппарата, описываемого в статье. Возможно ошибаюсь. Но если нет, то вопрос мой заключается в следующем. Были ли попытки подступиться к гипотезе Коллатца с использованием вот этого математического аппарата? Может быть Вы сходу вспомните, но если нет, то и бог с ним.

Кстати, недавно Ринад Юлмухаметов месяца три назад выступал на институтском семинаре с одной проблемой по многомерному комплексному анализу, где переход от одномерного к многомерному заключался в некоторой диофантовой процедуре над целыми числами. Я обращал его внимание, что этот процесс очень уж похож на процедуру Коллатца, но с другими параметрами: не 3 и 1. Дальше не обсуждали. Это так, к сведению, о неожиданных местах, где выскакивают задачи типа гипотезы Коллатца

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Коллатца

Гипотезой Коллатца у нас занимался Руслан Абдулович Шарипов. Его мы и попросим прокомментировать текущее состояние дел и ответить на вопрос.

🤪🇪🇪Министр образования Эстонии не смогла ответить, сколько будет 8 умножить на 4

"Я не знаю", - честно призналась Кристина Каллас.

Также добавила: "И вообще, образование это же не только математические формулы".

Здравствуйте Иван К.! Посмотрел текст лекции В.И.Арнольда по Вашей ссылке. В ней он строит теорию сложности через анализ графа, связанного с отображениями A:M→M, где M - конечное множество. Такие отображения он называет монадами. В задаче Коллатца тоже имеется отображение A:ℕ→ℕ, где ℕ - множество натуральных чисел (0∉ℕ). Множество ℕ натуральных чисел не является конечным и теория монад Арнольда к нему не применима. Хотя определённые сходства имеются. В графе отображения Коллатца A:ℕ→ℕ имеется один хорошо известный цикл единицы 1→4→2→1. А сама гипотеза Коллатца равносильна утверждению, что в графе отображения Коллатца одна связная компонента с единственным циклом 1→4→2→1. Но доказать или опровергнуть это непросто. Пока никто не смог это сделать. Попыток применения теории монад Арнольда к гипотезе Коллатца я не встречал. Хотя я не могу быть экспертом в этом вопросе. Я занимался задачей Коллатца в 2022 году, сумел опубликовать одну статью https://arxiv.org/abs/2202.04441, после этого к задаче Коллатца не возвращался, поскольку обнаружил другую более интересную для себя деятельность. С уважением Руслан Шарипов.

Ловушки для чисел: хаос и порядок

Будем строить последовательность по такому правилу. Выберем натуральное число. Если оно чётное, делим его на 2, в противном случае умножаем на 5 и прибавляем 1. С результатом будем проделывать то же самое снова и снова. Какие последовательности будут возникать?
Например,
1 – 6 – 3 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1, получился цикл;
5 – 26 – 13 – 66 – 33 – 166 – 83 – 416 – 208 – 104 – 52 – 26, снова цикл;
7 – 36 – 18 – 9 – 46 – …, а дальше не понятно, выйдет ли она на цикл или нет; по крайней мере на 100-м шаге получается число 11857916;
9 — в этой же растущей последовательности, 11 тоже выходит на неё;
15 попадает в цикл 1;
17 даёт ещё один цикл из 10 шагов…
И в целом наблюдается довольно хаотичная картина многих устойчивых состояний-циклов и возможно бесконечного роста для некоторых начальных значений.

Должно ли что-то принципиально измениться, если всего лишь заменить 5 на 3 в этом правиле? Оказывается,что для любого начального значения все такие последовательности рано или поздно приходят к единице! Точнее говоря, пока не обнаружено такого числа, которое не пришло бы к единице, а проверено уже 2⁶⁸ первых натуральных чисел, и все они в итоге приходят к 1, и проверка непрерывно продолжается. Это знаменитая гипотеза Коллатца (немецкий математик Лотар Коллатц сформулировал её 1 июля 1932 г.), одна из нерешённых проблем математики (известная также под именем сиракузской проблемы, проблемы 3n+1 и др.)
Например, при n=27 последовательность состоит из 111 членов до первой единицы, достигая в пике значения 9232.
Почему 3n+1 подчиняется порядку, а 5n+1 — нет?
Ответа нет. Математики предполагают, что множитель 3 создает баланс между "подъёмом" (3n+1) и "спуском" (n/2), а 5 — нарушает его. Но строгого объяснения этого баланса нет.
В настоящее время непонятен даже статус этой гипотезы. Теоретически возможны три варианта:
1) Гипотеза доказуема в аксиоматике Пеано и, значит, верна для всех натуральных чисел.
2) Гипотеза опровержима в аксиоматике Пеано, и тогда существует контрпример — конкретное стандартное натуральное число, для которого последовательность уходит в бесконечность или в цикл, отличный от 4 – 2 – 1.
3) Гипотеза неопровержима и недоказуема в системе аксиом Пеано, и это означает, что в этой аксиоматике невозможно ни доказать, что все числа приходят к 1, ни предъявить контрпример.
Но в любом случае, в стандартной модели множества натуральных чисел она является истинной или ложной, даже если она недоказуема в аксиоматике Пеано. Если она истинна, это означает, что аксиоматика Пеано слишком слаба для её доказательства, а если ложна (и существует контрпример), то аксиоматика Пеано не умеет его построить.
Стоит отметить, что конструктивная математика (отвергающая закон исключённого третьего для бесконечных множеств) допускает иную философскую позицию: у нас может никогда не быть конструктивных оснований ни для подтверждения гипотезы (алгоритма, строящего путь к 1 для любого n), ни для её опровержения (предъявления явного контрпримера). Таким образом, для нас она может остаться без установленного значения истинности.

Есть работа https://arxiv.org/abs/1807.00908, где вместо 3n+1 пишут 7n±1, а плюс или минус различают по остаткам при делении n на 4. Автор работы David Barina. считает, что его гипотеза столь же хороша, как и гипотеза Коллатца.

Прочитал статью Руслана Абдулловича.

ИИ таки дезинформировал меня поначалу относительно её содержания. Ох... тяжко с ним, тяжко. Иногда он умница, а иногда выдаёт... чёрти что. Причём делает это столь уверенно, что, не владея темой, и не заметишь подвоха.

А результат работы интересный и, по крайней мере для меня, в некотором смысле парадоксальный.

Доказано, во-первых, что эволюция последовательности Коллатца от любого нечётного числа представима в виде бесконечной чередующейся последовательности участков s- и q-эволюции:

s₁, q₁, s₂, q₂, s₃, q₃, ...

где
s-эволюция – одна или несколько операций (3*n+1)/2 (до превращения нечётного в чётное)
q-эволюция – одно или несколько делений на 2 (до превращения чётного в нечётное).

И, во-вторых, доказано, что для любого наперёд заданного конечного шаблона эволюции

s₁, q₁, s₂, q₂, ..., sᵣ, qᵣ, sᵣ₊₁

существует нечётное число (являющееся решением уравнений), эволюция последовательности Коллатца для которого в своём начале будет происходить в соответствии с этим шаблоном.

При этом шаблон эволюции можно задать сколь угодно сложным. Например, он может реализовывать долгий постепенный рост, а затем – резкое падение, или долгое блуждание "вокруг да около".

Вооружившись ИИ (опять) и статьёй Руслана Абдулловича, я задал параметры начальной эволюции:

{s₁=1, q₁=1, s₂=10, q₂=10, s₃=1}

В результате чего машина (под чутким руководством оператора машинного доения мышления 🙂), путём решения соответствующих уравнений из статьи, выдала мне стартовое число 6150825.

Блок s₂=10 вызывает взлёт: 4613119 → 265975744 (рост в ~57.7 раз).
Блок q₂=10 вызывает обвал: 265975744 → 259781 (падение в 1024 раза).

Полная же эволюция для моего числа, в терминах статьи, описывается так:

s₁=1, q₁=1,
s₂=10, q₂=10,
s₃=1, q₃=3,
s₄=1, q₄=3,
s₅=1, q₅=2,
s₆=1, q₆=1,
s₇=1, q₇=1,
s₈=3, q₈=1,
s₉=1, q₉=4,
s₁₀=1, q₁₀=1,
s₁₁=1, q₁₁=3,
s₁₂=2, q₁₂=1,
s₁₃=1, q₁₃=1,
s₁₄=1, q₁₄=3,
s₁₅=3, q₁₅=1,
s₁₆=1, q₁₆=2,
s₁₇=1, q₁₇=3
Число достигает 1 (начало цикла 1 → 4 → 2 → 1).

Последовательность сходится к 1 на 103м шаге (в терминах традиционных операций Коллатца).

Парадокс же заключается в следующем. Можно задать чудовищно длинный шаблон – такой, что эволюция из начального числа будет блуждать, не спускаясь к 1 очень очень долго, и можно его усложнять и усложнять – так, что число блужданий будет стремиться всё дальше и дальше в бесконечность, но это всё ещё не будет контрпримером, опровергающим гипотезу Коллатца.