Культурный математик

Куб Руперта

В 1693 г. принц Рупрехт Пфальцский выиграл спор, утверждая, что в единичном кубе можно сделать отверстие, через которое можно протащить второй точно такой же куб. Решение было найдено математиком Джоном Валлисом. Валлис предположил, что такое отверстие будет параллельно пространственной диагонали куба. Проекция куба на плоскость, перпендикулярная этой диагонали, является правильным шестиугольником, а самое большое отверстие, параллельное диагонали, можно получить, нарисовав наибольший квадрат, который можно вписать в этот шестиугольник. Подсчёт размера такого квадрата показывает, что куб с длиной ребра √6 – √2 ≈ 1,035 может пройти через такое отверстие.
Спустя примерно 100 лет после выигранного спора голландский естествоиспытатель Питер Ньюланд вычислил, что лучшее (оптимальное) решение может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Он показал, что наибольший куб, который может пройти сквозь куб с ребром 1, имеет ребро ¾ √2 ≈ 1,06066. Найти такой куб эквивалентно нахождению наибольшего квадрата, который мог бы поместиться в куб, поскольку как только такой квадрат помещён в единичный куб, остаётся лишь сделать сквозное отверстие, для которого этот квадрат является сечением куба (т. е., иными словами, надо начать двигать указанный квадрат параллельно самому себе и удалять все части куба, которые квадрат пересечёт на своём пути).
Куб не единственная фигура, которая может пройти через вырезанное отверстие в своей копии; то же верно и для правильных тетраэдра и октаэдра.
Естественным образом, задача обобщается на случай больших размерностей: например, найти наибольшие размеры обычного куба, который можно поместить внутри 4-мерного гиперкуба. В этой задаче ответ задаётся как один из корней многочлена 4-й степени с целыми коэффициентами и составляет примерно 1,0074.
А вообще, показано, что в n-мерный куб с ребром 1 мм войдёт вся наша Вселенная, если только n достигнет достаточно большой величины.

👍2❤1🔥1

111 views05:27