Forwarded from Математическая эссенция
Закон Бенфорда: почему цифра 1 правит миром
В 1881 г. американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что в книгах, содержащих логарифмические таблицы, гораздо сильнее истёрты страницы, которые содержат логарифмы чисел, начинающихся с единицы, а страницы с числами, начинающимися на 9 — почти новые. Хотя, казалось бы, все цифры должны были встречаться примерно одинаковое количество раз.
Повторно обратил внимание на указанный феномен Фрэнк Бенфорд. Он анализировал табличные данные, касающиеся абсолютно несвязанных между собой понятий. В число анализа попали бассейны 335 крупнейших рек планеты, удельная теплоёмкость различных веществ, уличные номера домов и многое другое. После обработки массива информации стало ясно, что в качестве первой значащей цифры числа единица появляется с вероятностью 30,1%. Для числа 2 эта вероятность уменьшается до 18%, а для 9 составляет всего 4,6%.
Почему так происходит?
Если говорить совсем простыми словами, то ключ — в логарифмической шкале и порядках величин. Чтобы число увеличилось с 1 до 2, ему нужно вырасти на 100%, а чтобы с 8 до 9 — всего на 12,5%. "Пространства" для чисел, начинающихся с 1 (от 1 до 2), в логарифмической шкале гораздо больше, чем для чисел, начинающихся с 9 (от 9 до 10). Эффект проявляется сильнее, когда данные охватывают несколько порядков величин.
Более аккуратное объяснение следующее. Запишем число Х в стандартном виде:
Х = M · 10ᴱ;
M ∈ [1; 10) — называют мантиссой (нас интересует её первая цифра d), E — порядком величины (или экспонентой).
Закон Бенфорда утверждает, что мантисса M распределена равномерно в логарифмическом пространстве. Почему?
Если данные масштабно-инвариантны, смена единиц измерения (умножение Х на константу) соответствует сдвигу логарифма:
lg СХ = lg С + lg Х.
Единственное распределение, инвариантное относительно сдвига — равномерное распределение.
Пусть U = lg Х. Из масштабной инвариантности следует, что дробная часть {U} = U −⌊U⌋ распределена равномерно на интервале [0;1).
Число Х = 10ᵁ начинается с цифры d, если его мантисса M лежит в интервале:
[d; d+1) для d = 1, 2, ..., 9.
Вероятность этого P(d ≤ M < d+1) равна
P(lg d ≤ {U} < lg (d+1)).
Поскольку {U} распределена на интервале [0;1) равномерно, вероятность попадания в интервал [lg d; lg (d+1)) равна его длине:
P(d)= lg (d+1) − lg d = lg(1 + 1/d).
Это и есть закон Бенфорда.
Так, для d = 1 имеем:
P(1) = lg (1+1/1) = lg (2) ≈ 0,301;
для d = 9:
P(9) = lg (1+1/9) ≈ lg (1,111) ≈ 0,046.
Где применяется закон Бенфорда?
Если финансовая отчётность (бухгалтерские книги, налоговая декларация, данные по расходам) искусственно придумана человеком, её цифры часто не подчиняются закону Бенфорда. Люди склонны равномерно распределять цифры или избегать мелких цифр. Аудиторы и регуляторы активно применяют это для выявления подозрительных данных. Если реальные данные сильно отклоняются от Бенфорда без веской причины, это может сигнализировать об ошибках в сборе, обработке или даже о подтасовках. Также отклонения от Бенфорда могут использоваться для анализа голосования. Так что закон Бенфорда — не просто любопытный математический казус, а мощный инструмент анализа данных.
В 1881 г. американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что в книгах, содержащих логарифмические таблицы, гораздо сильнее истёрты страницы, которые содержат логарифмы чисел, начинающихся с единицы, а страницы с числами, начинающимися на 9 — почти новые. Хотя, казалось бы, все цифры должны были встречаться примерно одинаковое количество раз.
Повторно обратил внимание на указанный феномен Фрэнк Бенфорд. Он анализировал табличные данные, касающиеся абсолютно несвязанных между собой понятий. В число анализа попали бассейны 335 крупнейших рек планеты, удельная теплоёмкость различных веществ, уличные номера домов и многое другое. После обработки массива информации стало ясно, что в качестве первой значащей цифры числа единица появляется с вероятностью 30,1%. Для числа 2 эта вероятность уменьшается до 18%, а для 9 составляет всего 4,6%.
Почему так происходит?
Если говорить совсем простыми словами, то ключ — в логарифмической шкале и порядках величин. Чтобы число увеличилось с 1 до 2, ему нужно вырасти на 100%, а чтобы с 8 до 9 — всего на 12,5%. "Пространства" для чисел, начинающихся с 1 (от 1 до 2), в логарифмической шкале гораздо больше, чем для чисел, начинающихся с 9 (от 9 до 10). Эффект проявляется сильнее, когда данные охватывают несколько порядков величин.
Более аккуратное объяснение следующее. Запишем число Х в стандартном виде:
Х = M · 10ᴱ;
M ∈ [1; 10) — называют мантиссой (нас интересует её первая цифра d), E — порядком величины (или экспонентой).
Закон Бенфорда утверждает, что мантисса M распределена равномерно в логарифмическом пространстве. Почему?
Если данные масштабно-инвариантны, смена единиц измерения (умножение Х на константу) соответствует сдвигу логарифма:
lg СХ = lg С + lg Х.
Единственное распределение, инвариантное относительно сдвига — равномерное распределение.
Пусть U = lg Х. Из масштабной инвариантности следует, что дробная часть {U} = U −⌊U⌋ распределена равномерно на интервале [0;1).
Число Х = 10ᵁ начинается с цифры d, если его мантисса M лежит в интервале:
[d; d+1) для d = 1, 2, ..., 9.
Вероятность этого P(d ≤ M < d+1) равна
P(lg d ≤ {U} < lg (d+1)).
Поскольку {U} распределена на интервале [0;1) равномерно, вероятность попадания в интервал [lg d; lg (d+1)) равна его длине:
P(d)= lg (d+1) − lg d = lg(1 + 1/d).
Это и есть закон Бенфорда.
Так, для d = 1 имеем:
P(1) = lg (1+1/1) = lg (2) ≈ 0,301;
для d = 9:
P(9) = lg (1+1/9) ≈ lg (1,111) ≈ 0,046.
Где применяется закон Бенфорда?
Если финансовая отчётность (бухгалтерские книги, налоговая декларация, данные по расходам) искусственно придумана человеком, её цифры часто не подчиняются закону Бенфорда. Люди склонны равномерно распределять цифры или избегать мелких цифр. Аудиторы и регуляторы активно применяют это для выявления подозрительных данных. Если реальные данные сильно отклоняются от Бенфорда без веской причины, это может сигнализировать об ошибках в сборе, обработке или даже о подтасовках. Также отклонения от Бенфорда могут использоваться для анализа голосования. Так что закон Бенфорда — не просто любопытный математический казус, а мощный инструмент анализа данных.
👍5
Forwarded from Наука и университеты
Гримасы нового рейтинга по трудоустройству выпускников.
▪️В области образования «Гуманитарные науки» (бакалавриат/специалитет) лидерами являются Югорский государственный университет и Московский авиационный институт. МГУ им. М.В.Ломоносова - только 14-й.
▪️Печально известный скандалами с иностранными студентами Северный государственный медуниверситет возглавил рейтинг в области здравоохранения и медицинских наук (бакалавриат/специалитет). Университеты им.Сеченова и им. Пирогова разделили второе место. Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. И.П. Павлова только на 23 месте.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (бакалавриат/специалитет) на четвертой позиции Заполярный госуниверситет, на пятой – Финансовый университет. Они опередили МГТУ им. Баумана, ИТМО и другие ведущие инженерные вузы.
▪️В области «Культура» (бакалавриат/специалитет) тройка лидеров выглядит совсем прикольно:
1.МГТУ им. Баумана, 2.Московский политех, 3. МИРЭА - Российский технологический университет. Зато Российский государственный художественно-промышленный университет им. С.Г. Строганова занял лишь 19-е место.
▪️В области «Сельское хозяйство и сельскохозяйственные науки» (бакалавриат/специалитет) на втором месте рейтинга расположился Мытищинский филиал МГТУ имени Баумана. Все ведущие аграрные университеты – где-то ниже.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (магистратура) на втором месте Финансовый университет, на третьем - Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова. У всех ведущих инженерных университетов (кроме МФТИ) показатели скромнее.
Думаю, можно не продолжать. И какая практическая ценность этого рейтинга? Кому он может оказаться полезным? И сколько денег на него угробили?
Одним словом, гора родила мышь.
▪️В области образования «Гуманитарные науки» (бакалавриат/специалитет) лидерами являются Югорский государственный университет и Московский авиационный институт. МГУ им. М.В.Ломоносова - только 14-й.
▪️Печально известный скандалами с иностранными студентами Северный государственный медуниверситет возглавил рейтинг в области здравоохранения и медицинских наук (бакалавриат/специалитет). Университеты им.Сеченова и им. Пирогова разделили второе место. Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. И.П. Павлова только на 23 месте.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (бакалавриат/специалитет) на четвертой позиции Заполярный госуниверситет, на пятой – Финансовый университет. Они опередили МГТУ им. Баумана, ИТМО и другие ведущие инженерные вузы.
▪️В области «Культура» (бакалавриат/специалитет) тройка лидеров выглядит совсем прикольно:
1.МГТУ им. Баумана, 2.Московский политех, 3. МИРЭА - Российский технологический университет. Зато Российский государственный художественно-промышленный университет им. С.Г. Строганова занял лишь 19-е место.
▪️В области «Сельское хозяйство и сельскохозяйственные науки» (бакалавриат/специалитет) на втором месте рейтинга расположился Мытищинский филиал МГТУ имени Баумана. Все ведущие аграрные университеты – где-то ниже.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (магистратура) на втором месте Финансовый университет, на третьем - Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова. У всех ведущих инженерных университетов (кроме МФТИ) показатели скромнее.
Думаю, можно не продолжать. И какая практическая ценность этого рейтинга? Кому он может оказаться полезным? И сколько денег на него угробили?
Одним словом, гора родила мышь.
🤷♂1❤1
Forwarded from Мат. Салат
Попалась интересная статья в Archaeologia Maritima Mediterranea.
Francesco Tiboni из Университета Массалии выдвигает гипотезу, что Троянский конь (Δούρειος Ίππος) был не гигантским деревянным животным, а кораблем. Причём речь идет о вполне реальном корабле — финикийском судне под названием hippos (в переводе с греческого — «лошадь»).
Тибони пишет, что hippoi были лёгкими, быстрыми кораблями с малой осадкой, отлично подходившими для разведки, бегства или скрытой высадки. Многие из них украшались изображением лошадиной головы — на носу или на корме — отсюда и название. Именно такой корабль, по его мнению, и могли использовать греки, чтобы проникнуть в Трою. А вот позже, уже в другой культурной эпохе, hippos ошибочно восприняли буквально — как «лошадь» из дерева.
Идея Тибони не нова: еще в древности встречались сомнения в том, что Троянский конь был именно деревянной статуей. Например, Павсаний (II век н. э.) называл его «выдумкой» инженера Эпея, скорее машиной, предназначенной для пролома городских стен. Скептицизм выражали также Еврипид, Трифийдор и Квинт Смирнский. Археологических подтверждений существования «древесного» коня практически нет, особенно в греческом материале. Напротив, изображения Троянского коня становятся популярными уже в римскую эпоху — возможно, благодаря влиянию Энеиды Вергилия, где этот сюжет играет ключевую роль.
По словам Тибони, в гомеровскую эпоху слово hippos могло обозначать не только животное, но и конкретный тип судна — значение, которое позже было забыто. Более того, в описаниях корабля Одиссея Гомер использует слова, похожие на те, что применялись к финикийским hippoi.
Так что, возможно, Троя пала не из-за деревянной статуи, а благодаря хитро замаскированному кораблю-ловушке, подведённому к самому берегу. А всё остальное — дело поэзии, воображения и времени, превративших морскую уловку в один из самых ярких мифов в истории человечества.
Francesco Tiboni из Университета Массалии выдвигает гипотезу, что Троянский конь (Δούρειος Ίππος) был не гигантским деревянным животным, а кораблем. Причём речь идет о вполне реальном корабле — финикийском судне под названием hippos (в переводе с греческого — «лошадь»).
Тибони пишет, что hippoi были лёгкими, быстрыми кораблями с малой осадкой, отлично подходившими для разведки, бегства или скрытой высадки. Многие из них украшались изображением лошадиной головы — на носу или на корме — отсюда и название. Именно такой корабль, по его мнению, и могли использовать греки, чтобы проникнуть в Трою. А вот позже, уже в другой культурной эпохе, hippos ошибочно восприняли буквально — как «лошадь» из дерева.
Идея Тибони не нова: еще в древности встречались сомнения в том, что Троянский конь был именно деревянной статуей. Например, Павсаний (II век н. э.) называл его «выдумкой» инженера Эпея, скорее машиной, предназначенной для пролома городских стен. Скептицизм выражали также Еврипид, Трифийдор и Квинт Смирнский. Археологических подтверждений существования «древесного» коня практически нет, особенно в греческом материале. Напротив, изображения Троянского коня становятся популярными уже в римскую эпоху — возможно, благодаря влиянию Энеиды Вергилия, где этот сюжет играет ключевую роль.
По словам Тибони, в гомеровскую эпоху слово hippos могло обозначать не только животное, но и конкретный тип судна — значение, которое позже было забыто. Более того, в описаниях корабля Одиссея Гомер использует слова, похожие на те, что применялись к финикийским hippoi.
Так что, возможно, Троя пала не из-за деревянной статуи, а благодаря хитро замаскированному кораблю-ловушке, подведённому к самому берегу. А всё остальное — дело поэзии, воображения и времени, превративших морскую уловку в один из самых ярких мифов в истории человечества.
Torrossa
The Dourateos Ippos from allegory to Archaeology : a Phoenician Ship to break the Wall - Tiboni, Francesco - Fabrizio Serra - Torrossa
Purchase online the PDF of The Dourateos Ippos from allegory to Archaeology : a Phoenician Ship to break the Wall, Tiboni, Francesco - Fabrizio Serra - Article
👍2
Forwarded from LightCone | квантовая физика
Подписчик в чате привел такой интересный график сравнения уровня интеллекта мужчин и женщин. Сейчас не совсем политкорректно анализировать такие вещи, поэтому давайте проанализируем!
Что мы видим? По оси «х» отложено IQ (Intelligence Quotient - коэффициент интеллекта), а по оси «y» Probability Density (плотность вероятности). Красным показаны женщины, синим – мужчины.
Тут, наверное, для не технарей стоит пояснить что такое плотность вероятности. Хоть красный и синий графики кажутся разными, площадь под ними одна и та же – она равна единице (100%). Это означает, что мы берем в рассмотрение 100% мужчин и 100% женщин. В квантовой механике такое называется условием нормировки – сумма вероятностей должна быть равна 100%, ладно опять я отвлекся на КМ)
Почему же красный пик (женский) выше мужского (синего)? Не потому ведь, что женщины умнее мужчин? Нет конечно)) Просто сам индекс IQ по определению считается так, что за 100 баллов берется средний уровень интеллекта по всей популяции М+Ж. То есть если у вас IQ>100 можете считать себя умным, если IQ<100, то туповатым) Пик графиков находится на 100 поэтому, а условие нормировки делает пик функции Ж выше пика функции М.
ОК, перейдем к гуманитарным терминам. Говорят, что женщины умнее мужчин и созревают раньше. Как это отражается на графике? Как раз тем, что красное около центра выше синего. Действительно, в среднем адекватных женщин по статистике больше мужчин. График это и говорит.
Но посмотрите на вертикальную пунктирную зеленую линию справа (это я ее подрисовал), что вы видите? Мужская синяя линия находится выше женской красной. Это означает, что количество мужчин с IQ>110 значительно превосходит женщин. Мне подписчик правильно заметил в комментах, что это и есть причина того, что я в универе наблюдаю на трех одаренных мальчиков всего лишь одну одаренную девочку. Порог входа в университет как бы отсекает все на графике левее 105 и получается такой дисбаланс)) По той же причине мужчин-гениев по статистике больше женщин-гениев.
Лол, никогда не задумывался об этом на таком техническом уровне) Интересно!
Что мы видим? По оси «х» отложено IQ (Intelligence Quotient - коэффициент интеллекта), а по оси «y» Probability Density (плотность вероятности). Красным показаны женщины, синим – мужчины.
Тут, наверное, для не технарей стоит пояснить что такое плотность вероятности. Хоть красный и синий графики кажутся разными, площадь под ними одна и та же – она равна единице (100%). Это означает, что мы берем в рассмотрение 100% мужчин и 100% женщин. В квантовой механике такое называется условием нормировки – сумма вероятностей должна быть равна 100%, ладно опять я отвлекся на КМ)
Почему же красный пик (женский) выше мужского (синего)? Не потому ведь, что женщины умнее мужчин? Нет конечно)) Просто сам индекс IQ по определению считается так, что за 100 баллов берется средний уровень интеллекта по всей популяции М+Ж. То есть если у вас IQ>100 можете считать себя умным, если IQ<100, то туповатым) Пик графиков находится на 100 поэтому, а условие нормировки делает пик функции Ж выше пика функции М.
ОК, перейдем к гуманитарным терминам. Говорят, что женщины умнее мужчин и созревают раньше. Как это отражается на графике? Как раз тем, что красное около центра выше синего. Действительно, в среднем адекватных женщин по статистике больше мужчин. График это и говорит.
Но посмотрите на вертикальную пунктирную зеленую линию справа (это я ее подрисовал), что вы видите? Мужская синяя линия находится выше женской красной. Это означает, что количество мужчин с IQ>110 значительно превосходит женщин. Мне подписчик правильно заметил в комментах, что это и есть причина того, что я в универе наблюдаю на трех одаренных мальчиков всего лишь одну одаренную девочку. Порог входа в университет как бы отсекает все на графике левее 105 и получается такой дисбаланс)) По той же причине мужчин-гениев по статистике больше женщин-гениев.
Лол, никогда не задумывался об этом на таком техническом уровне) Интересно!
👍2🤔1
Forwarded from Психолог Жора
— Доктор, меня всё время мучают подозрения, что никто меня не понимает. Куда ни взгляну - пустые лица, отсутствующие взгляды.
— А кто вы по профессии?
— Университетский преподаватель. Читаю курс квантовой физики.
#юмор_жоры
— А кто вы по профессии?
— Университетский преподаватель. Читаю курс квантовой физики.
#юмор_жоры
😁10💯1
Forwarded from Математическая эссенция
Можно ли в кубе вырезать отверстие, через которое пройдёт куб большего размера?
Anonymous Quiz
68%
Да, можно
16%
Нет, нельзя
16%
Интрига, однако
Forwarded from Математическая эссенция
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Куб Руперта
В 1693 г. принц Рупрехт Пфальцский выиграл спор, утверждая, чтов единичном кубе можно сделать отверстие, через которое можно протащить второй точно такой же куб. Решение было найдено математиком Джоном Валлисом. Валлис предположил, что такое отверстие будет параллельно пространственной диагонали куба. Проекция куба на плоскость, перпендикулярная этой диагонали, является правильным шестиугольником, а самое большое отверстие, параллельное диагонали, можно получить, нарисовав наибольший квадрат, который можно вписать в этот шестиугольник. Подсчёт размера такого квадрата показывает, что куб с длиной ребра √6 – √2 ≈ 1,035 может пройти через такое отверстие.
Спустя примерно 100 лет после выигранного спора голландский естествоиспытатель Питер Ньюланд вычислил, что лучшее (оптимальное) решение может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Он показал, что наибольший куб, который может пройти сквозь куб с ребром 1, имеет ребро ¾ √2 ≈ 1,06066. Найти такой куб эквивалентно нахождению наибольшего квадрата, который мог бы поместиться в куб, поскольку как только такой квадрат помещён в единичный куб, остаётся лишь сделать сквозное отверстие, для которого этот квадрат является сечением куба (т. е., иными словами, надо начать двигать указанный квадрат параллельно самому себе и удалять все части куба, которые квадрат пересечёт на своём пути).
Куб не единственная фигура, которая может пройти через вырезанное отверстие в своей копии; то же верно и для правильных тетраэдра и октаэдра.
Естественным образом, задача обобщается на случай больших размерностей: например, найти наибольшие размеры обычного куба, который можно поместить внутри 4-мерного гиперкуба. В этой задаче ответ задаётся как один из корней многочлена 4-й степени с целыми коэффициентами и составляет примерно 1,0074.
А вообще, показано, что в n-мерный куб с ребром 1 мм войдёт вся наша Вселенная, если только n достигнет достаточно большой величины.
В 1693 г. принц Рупрехт Пфальцский выиграл спор, утверждая, что
Спустя примерно 100 лет после выигранного спора голландский естествоиспытатель Питер Ньюланд вычислил, что лучшее (оптимальное) решение может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Он показал, что наибольший куб, который может пройти сквозь куб с ребром 1, имеет ребро ¾ √2 ≈ 1,06066. Найти такой куб эквивалентно нахождению наибольшего квадрата, который мог бы поместиться в куб, поскольку как только такой квадрат помещён в единичный куб, остаётся лишь сделать сквозное отверстие, для которого этот квадрат является сечением куба (т. е., иными словами, надо начать двигать указанный квадрат параллельно самому себе и удалять все части куба, которые квадрат пересечёт на своём пути).
Куб не единственная фигура, которая может пройти через вырезанное отверстие в своей копии; то же верно и для правильных тетраэдра и октаэдра.
Естественным образом, задача обобщается на случай больших размерностей: например, найти наибольшие размеры обычного куба, который можно поместить внутри 4-мерного гиперкуба. В этой задаче ответ задаётся как один из корней многочлена 4-й степени с целыми коэффициентами и составляет примерно 1,0074.
А вообще, показано, что в n-мерный куб с ребром 1 мм войдёт вся наша Вселенная, если только n достигнет достаточно большой величины.
👍2❤1🔥1
Мальчики-девочки! Задача с двумя кубиками в произвольных n-мерных пространствах описывает ситуацию, которую я вам объяснял ранее: https://t.me/cul_math/1731. В "новом" объяснении ценно то, что есть анимация.
Telegram
Культурный математик
Знаете чем интересна длина диагонали куба? А это наибольшее возможное расстояние между двумя произвольными точками внутри куба.
Такое экстремальное свойство трехмерного (и многомерного тоже) тела удобно обзывать его диаметром. Прям как у шаров. У шара вот…
Такое экстремальное свойство трехмерного (и многомерного тоже) тела удобно обзывать его диаметром. Прям как у шаров. У шара вот…
👏1
Forwarded from Математические этюды
Учебный год, а вместе с ним и сезон «Математических вторников» 2024/2025 проекта «Математические этюды» подошёл к концу.
Основной темой этого сезона была тема неевклидовых геометрий. Два сюжета «Сферическая геометрия» и «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» с красивыми интерактивными картинками позволяют познакомиться с этими геометриями, почувствовать их отличие от геометрии евклидовой. Объединяющие плакаты «Три геометрии: сходства и различия» по осени будут улучшены и переделаны с учётом наработанных картинок. После переделки плакаты можно будет просто распечатать и повесить, например, в школе. Надеемся, что в конце 2025 и начале 2026 года будет праздноваться 200-летие геометрии Лобачевского: начиная с 1 декабря — Дня математика — в день рождения Николая Ивановича, и до конца февраля — 12 февраля 1826 года на заседании Комиссии Отделения Физико-математических наук Казанского университета состоялся доклад, на котором были впервые изложены принципы этой геометрии.
В этом году в городе Козловка Чувашской республики после реставрации открылся существенно обновлённый дом-музей Николая Ивановича Лобачевского. Один из залов музея посвящён математике, и в нём представлены некоторые наработки «Математических этюдов». Другой музей Лобачевского находится в ректорском доме Казанского университета. Будете в этих городах — заходите.
Фильм этого года «Гауссова кривизна» рассказывает о важной математической характеристике поверхностей. А в модели «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны» представлена механическая интерпретация понятия постоянной гауссовой кривизны поверхности на примере поверхности, локально реализующей геометрию Лобачевского.
Новым фильмом пополнился раздел «Математика и техника», а привычная всем парабола представлена в новом ракурсе.
Пока только открылся, а в следующем сезоне, надеемся, существенно наполнится раздел «Игротеки». Идея раздела — представить классические и добавить разработанные нашими коллегами активности, которые можно устраивать при проведении математических мероприятий. В некоторых случаях постараться объяснить про какую математику, стоящую за тем интерактивом (который предлагается делать ребятам), можно рассказать.
Итак… лето! Надеемся, что наши читатели отдохнут, насладятся общением с природой и… без суеты почитают/посмотрят какие-то новые интересные научные сюжеты.
Напомним про раздел «Книжная полка» из книги «Математическая составляющая». Напомним и про одну из иллюстраций из этой книги.
Из видео-формата напомним про каналы 3Blue1Brown и Mathologer, а также про новосибирский проект GetAClass, в котором представлены интересные сюжеты и по физике, и по математике. Для более старших напомним про видеозаписи Летней школы «Современная математика».
Из телеграмм-каналов отметим канал «Непрерывное математическое образование» и новый канал «Компьютерная математика».
Хорошего настроения, хорошего отдыха и новых знаний!
Основной темой этого сезона была тема неевклидовых геометрий. Два сюжета «Сферическая геометрия» и «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» с красивыми интерактивными картинками позволяют познакомиться с этими геометриями, почувствовать их отличие от геометрии евклидовой. Объединяющие плакаты «Три геометрии: сходства и различия» по осени будут улучшены и переделаны с учётом наработанных картинок. После переделки плакаты можно будет просто распечатать и повесить, например, в школе. Надеемся, что в конце 2025 и начале 2026 года будет праздноваться 200-летие геометрии Лобачевского: начиная с 1 декабря — Дня математика — в день рождения Николая Ивановича, и до конца февраля — 12 февраля 1826 года на заседании Комиссии Отделения Физико-математических наук Казанского университета состоялся доклад, на котором были впервые изложены принципы этой геометрии.
В этом году в городе Козловка Чувашской республики после реставрации открылся существенно обновлённый дом-музей Николая Ивановича Лобачевского. Один из залов музея посвящён математике, и в нём представлены некоторые наработки «Математических этюдов». Другой музей Лобачевского находится в ректорском доме Казанского университета. Будете в этих городах — заходите.
Фильм этого года «Гауссова кривизна» рассказывает о важной математической характеристике поверхностей. А в модели «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны» представлена механическая интерпретация понятия постоянной гауссовой кривизны поверхности на примере поверхности, локально реализующей геометрию Лобачевского.
Новым фильмом пополнился раздел «Математика и техника», а привычная всем парабола представлена в новом ракурсе.
Пока только открылся, а в следующем сезоне, надеемся, существенно наполнится раздел «Игротеки». Идея раздела — представить классические и добавить разработанные нашими коллегами активности, которые можно устраивать при проведении математических мероприятий. В некоторых случаях постараться объяснить про какую математику, стоящую за тем интерактивом (который предлагается делать ребятам), можно рассказать.
Итак… лето! Надеемся, что наши читатели отдохнут, насладятся общением с природой и… без суеты почитают/посмотрят какие-то новые интересные научные сюжеты.
Напомним про раздел «Книжная полка» из книги «Математическая составляющая». Напомним и про одну из иллюстраций из этой книги.
Из видео-формата напомним про каналы 3Blue1Brown и Mathologer, а также про новосибирский проект GetAClass, в котором представлены интересные сюжеты и по физике, и по математике. Для более старших напомним про видеозаписи Летней школы «Современная математика».
Из телеграмм-каналов отметим канал «Непрерывное математическое образование» и новый канал «Компьютерная математика».
Хорошего настроения, хорошего отдыха и новых знаний!
❤2
Forwarded from За возрождение образования
Поздравление Артеку от Кравцова. И это не описка. Таких описок не бывает, он реально неграмотный.
🙈5⚡2❤1
Forwarded from Математики шутят
Считается, что математики-долгожители работают в области математической логики. На фотографии (2016 год), до сих пор преподающая математику, учитель в начальной школе Бруклина 🇺🇸 отмечает свой вековой юбилей в стенах школы 👍.
Какие добрые у всех лица!
https://imgur.com/eLonvQ5
Какие добрые у всех лица!
https://imgur.com/eLonvQ5
❤4🔥1
Forwarded from 🎶 Эстрада СССР 🟥
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
🎶Майя Кристалинская
🟥«Я тебя подожду»
✨А какая у вас любимая песня из «Дворового цикла»? Помните, какие это песни?
🎶Эстрада СССР🟥
🟥«Я тебя подожду»
✨А какая у вас любимая песня из «Дворового цикла»? Помните, какие это песни?
🎶Эстрада СССР🟥
❤1🔥1
А давайте еще медпросвещением займемся. Тем более, что большая часть из пользователей канала из РБ. А у нас два бича - клещи да полевые мыши.
Forwarded from Врача вызывали?
Клещевой энцефалит .pdf
137 KB
Что нужно знать и сделать, чтобы в лесу ловить дзен 💫, а не тревожиться по поводу клещей 🪲 😬
Очень важная тема для летнего сезона!
Напомню, что при укусе клеща можно заразиться клещевым энцефалитом и болезнью Лайма (и менее известными эрлихиозом и анаплазмозом).
Что нужно делать:
• №1! Привиться от клещевого энцефалита, если любите проводить время на природе/в походах. Особенно, если проживаете или планируете поездку в эндемичные районы (список ниже).
• В походы носить специальную одежду для защиты от клещей, пользоваться защитными спреями и аэрозолями.
• Во время прогулок на природе в идеале гулять по дорожкам, по возможности, не сидеть и не лежать на траве. На прогулку выбирать такую одежду, чтобы клещ не мог забраться под одежду или чтобы можно было быстро его обнаружить: длинные рукава, длинные брюки, заправленные в носки/обувь; однотонная одежда светлых тонов; плотно прилегающие манжеты, ворот, пояс.
• Во время (каждые 2-3 часа) и после прогулки обязательно осматривать себя, детей и собак. После прогулки лучше всего принять душ и полностью переодеться, клещи могут ползать по одежде часами.
• В случае, если обнаружили клеща, удалить его по правильной технике и как можно быстрее. Чем дольше клещ находится на теле, тем выше вероятность получить инфекцию. Чтобы удалить клеща используйте пинцет или специальное устройство. Захватите клеща как можно ближе к коже и медленно вытяните вертикально вверх. Обработайте место укуса антисептиком.
• В любом случае обратиться к врачу, чтобы оценить риски заболевания клещевым энцефалитом и болезнью Лайма и провести профилактику при необходимости. В качестве профилактики клещевого энцефалита рекомендован иммуноглобулин, однако убедительных данных о его эффективности нет.
Чего не нужно делать:
• Сдавать кровь на инфекции сразу после укуса – анализы ничего не покажут.
Неоднозначные моменты:
• Согласно СанПиН рекомендовано сдать клеща в лабораторию. Однако, необходимо помнить: ни положительный анализ не означает, что вы заразились, ни отрицательный анализ не означает, что вы точно не заразитесь. Независимо от результата, будет осуществляться наблюдение на состоянием здоровья.
Как наблюдать за своим самочувствием после укуса клеща?
Какие анализы сдавать и через какой срок?
Разберем во 2-й части.
Эндемичные районы по клещевому энцефалиту в ЦАО:
Московская область (Дмитровский, Талдомский районы)
Ивановская область (Заволжский, Ивановский, Кинешемский районы)
Костромская область
Тверская область (Вышневолоцкий, Западно-Двинский, Калининский, Кашинский, Конаковский, Краснохолмский, Лихославльский, Максатихинский, Нелидовский, Оленинский, Рамешковский, Торжокский районы)
Ярославская область (Большесельский, Брейтовский, Гаврилов-Ямский, Даниловский, Любимский, Мышкинский, Некоузский, Некрасовский, Первомайский, Пошехонский, Ростовский, Рыбинский, Тутаевский, Угличский, Ярославский районы,
г. Ярославль, г.Рыбинск, г. Ростов)
Полный список всех регионов России приклепила 👌
Очень важная тема для летнего сезона!
Напомню, что при укусе клеща можно заразиться клещевым энцефалитом и болезнью Лайма (и менее известными эрлихиозом и анаплазмозом).
Что нужно делать:
• №1! Привиться от клещевого энцефалита, если любите проводить время на природе/в походах. Особенно, если проживаете или планируете поездку в эндемичные районы (список ниже).
• В походы носить специальную одежду для защиты от клещей, пользоваться защитными спреями и аэрозолями.
• Во время прогулок на природе в идеале гулять по дорожкам, по возможности, не сидеть и не лежать на траве. На прогулку выбирать такую одежду, чтобы клещ не мог забраться под одежду или чтобы можно было быстро его обнаружить: длинные рукава, длинные брюки, заправленные в носки/обувь; однотонная одежда светлых тонов; плотно прилегающие манжеты, ворот, пояс.
• Во время (каждые 2-3 часа) и после прогулки обязательно осматривать себя, детей и собак. После прогулки лучше всего принять душ и полностью переодеться, клещи могут ползать по одежде часами.
• В случае, если обнаружили клеща, удалить его по правильной технике и как можно быстрее. Чем дольше клещ находится на теле, тем выше вероятность получить инфекцию. Чтобы удалить клеща используйте пинцет или специальное устройство. Захватите клеща как можно ближе к коже и медленно вытяните вертикально вверх. Обработайте место укуса антисептиком.
• В любом случае обратиться к врачу, чтобы оценить риски заболевания клещевым энцефалитом и болезнью Лайма и провести профилактику при необходимости. В качестве профилактики клещевого энцефалита рекомендован иммуноглобулин, однако убедительных данных о его эффективности нет.
Чего не нужно делать:
• Сдавать кровь на инфекции сразу после укуса – анализы ничего не покажут.
Неоднозначные моменты:
• Согласно СанПиН рекомендовано сдать клеща в лабораторию. Однако, необходимо помнить: ни положительный анализ не означает, что вы заразились, ни отрицательный анализ не означает, что вы точно не заразитесь. Независимо от результата, будет осуществляться наблюдение на состоянием здоровья.
Как наблюдать за своим самочувствием после укуса клеща?
Какие анализы сдавать и через какой срок?
Разберем во 2-й части.
Эндемичные районы по клещевому энцефалиту в ЦАО:
Московская область (Дмитровский, Талдомский районы)
Ивановская область (Заволжский, Ивановский, Кинешемский районы)
Костромская область
Тверская область (Вышневолоцкий, Западно-Двинский, Калининский, Кашинский, Конаковский, Краснохолмский, Лихославльский, Максатихинский, Нелидовский, Оленинский, Рамешковский, Торжокский районы)
Ярославская область (Большесельский, Брейтовский, Гаврилов-Ямский, Даниловский, Любимский, Мышкинский, Некоузский, Некрасовский, Первомайский, Пошехонский, Ростовский, Рыбинский, Тутаевский, Угличский, Ярославский районы,
г. Ярославль, г.Рыбинск, г. Ростов)
Полный список всех регионов России приклепила 👌
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤4👍1🔥1
Forwarded from Математическая эссенция
Меандры рек: почему реки не текут прямо
Представьте себе спокойную равнинную реку. Почему вместо того, чтобы течь по кратчайшему пути к морю, она петляет, образуя замысловатые изгибы — меандры?
Прямолинейное изначально движение потока реки является неустойчивым. В микромасштабе это означает переход от ламинарного движения потока к турбулентному. Он определяется некоторым критическим соотношением сил инерции и сил молекулярной вязкости (числом Рейнольдса). В макромасштабе в турбулентном потоке формируются возмущения. Любое, даже самое малое возмущение становится спусковым крючком: упавшее дерево, выступающий камень, неровность дна, разница в плотности грунтов берегов. Это возмущение отклоняет основной поток воды от прямой линии. Теперь воде приходится огибать возникшее препятствие или следовать за начавшимся искривлением. Так появляется первый, едва заметный изгиб.
Когда вода движется по кривой (вокруг нашего начального изгиба), на неё действует центробежная сила. Эта сила стремится «выбросить» воду наружу поворота. Но так как вода не может улететь, происходит вот что. У поверхности потока центробежная сила максимальна. Вода устремляется к внешнему (вогнутому) берегу поворота. У дна ситуация обратная. Здесь сила трения воды о дно гасит инерцию. Центробежная сила слабее, и давление воды, скопившейся у внешнего берега, «выдавливает» придонные слои обратно — к внутреннему (выпуклому) берегу.
Возникает поперечная циркуляция течения: спиралевидное движение воды. Поверхностный поток — от внутреннего берега к внешнему, придонный — от внешнего к внутреннему.
Поперечная циркуляция — главный «скульптор» меандра. К внешнему берегу устремляется быстрый поверхностный поток. Он обладает большой разрушительной силой (эрозией). Берег интенсивно подмывается, становится круче и выше. Грунт уносится течением.
К внутреннему берегу движется замедленный придонный поток. Он теряет силу и способность переносить весь захваченный у внешнего берега песок, ил, гальку. Грунт оседает (аккумулируется), формируя пологую отмель — пляж. Берег здесь намывается и становится более пологим.
В результате изгиб усиливается. Внешний берег становится ещё более вогнутым и крутым, внутренний — ещё более выпуклым и пологим. Река начинает петлять всё сильнее.
Разрушение происходит не равномерно по всей длине внешнего берега. Максимальная скорость течения и, значит, максимальная эрозия смещены немного ниже по течению от вершины изгиба. Это связано с инерцией потока. Из-за этого точка максимального подмыва перемещается вниз по реке. Вслед за ней «переползает» и весь изгиб. Меандр начинает «мигрировать» — смещаться вниз по течению, одновременно увеличивая свою кривизну. На месте старого внешнего берега могут оставаться обрывы, а новый внутренний берег намывается ниже по течению.
Наблюдения показывают, что меандры на разных реках удивительно похожи по форме. Оказывается, существует универсальное соотношение: длина волны меандра (расстояние между соседними вершинами изгибов) примерно в 10–14 раз превышает ширину реки. Эта закономерность возникает из баланса сил: центробежной силы, стремящейся усилить изгиб и вызвать поперечное течение, и силы трения о дно и берега, гасящей это поперечное движение и старающейся выпрямить поток.
Каждая извилина имеет специфическую форму — такую, которую принимает изогнутая металлическая линейка, если её согнуть, приблизив концы друг к другу. Эту форму называют кривой Эйлера. Эйлерова кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну линейки, то есть интеграл ∫(dѲ/ds)2ds, где Ѳ — угол между касательной и некоторым выбранным направлением, а s — длина вдоль кривой.
Название «меандр» произошло от имени фригийского речного бога Меандра и одноимённой реки в Малой Азии (ныне р. Б. Мендерес в Турции).
Представьте себе спокойную равнинную реку. Почему вместо того, чтобы течь по кратчайшему пути к морю, она петляет, образуя замысловатые изгибы — меандры?
Прямолинейное изначально движение потока реки является неустойчивым. В микромасштабе это означает переход от ламинарного движения потока к турбулентному. Он определяется некоторым критическим соотношением сил инерции и сил молекулярной вязкости (числом Рейнольдса). В макромасштабе в турбулентном потоке формируются возмущения. Любое, даже самое малое возмущение становится спусковым крючком: упавшее дерево, выступающий камень, неровность дна, разница в плотности грунтов берегов. Это возмущение отклоняет основной поток воды от прямой линии. Теперь воде приходится огибать возникшее препятствие или следовать за начавшимся искривлением. Так появляется первый, едва заметный изгиб.
Когда вода движется по кривой (вокруг нашего начального изгиба), на неё действует центробежная сила. Эта сила стремится «выбросить» воду наружу поворота. Но так как вода не может улететь, происходит вот что. У поверхности потока центробежная сила максимальна. Вода устремляется к внешнему (вогнутому) берегу поворота. У дна ситуация обратная. Здесь сила трения воды о дно гасит инерцию. Центробежная сила слабее, и давление воды, скопившейся у внешнего берега, «выдавливает» придонные слои обратно — к внутреннему (выпуклому) берегу.
Возникает поперечная циркуляция течения: спиралевидное движение воды. Поверхностный поток — от внутреннего берега к внешнему, придонный — от внешнего к внутреннему.
Поперечная циркуляция — главный «скульптор» меандра. К внешнему берегу устремляется быстрый поверхностный поток. Он обладает большой разрушительной силой (эрозией). Берег интенсивно подмывается, становится круче и выше. Грунт уносится течением.
К внутреннему берегу движется замедленный придонный поток. Он теряет силу и способность переносить весь захваченный у внешнего берега песок, ил, гальку. Грунт оседает (аккумулируется), формируя пологую отмель — пляж. Берег здесь намывается и становится более пологим.
В результате изгиб усиливается. Внешний берег становится ещё более вогнутым и крутым, внутренний — ещё более выпуклым и пологим. Река начинает петлять всё сильнее.
Разрушение происходит не равномерно по всей длине внешнего берега. Максимальная скорость течения и, значит, максимальная эрозия смещены немного ниже по течению от вершины изгиба. Это связано с инерцией потока. Из-за этого точка максимального подмыва перемещается вниз по реке. Вслед за ней «переползает» и весь изгиб. Меандр начинает «мигрировать» — смещаться вниз по течению, одновременно увеличивая свою кривизну. На месте старого внешнего берега могут оставаться обрывы, а новый внутренний берег намывается ниже по течению.
Наблюдения показывают, что меандры на разных реках удивительно похожи по форме. Оказывается, существует универсальное соотношение: длина волны меандра (расстояние между соседними вершинами изгибов) примерно в 10–14 раз превышает ширину реки. Эта закономерность возникает из баланса сил: центробежной силы, стремящейся усилить изгиб и вызвать поперечное течение, и силы трения о дно и берега, гасящей это поперечное движение и старающейся выпрямить поток.
Каждая извилина имеет специфическую форму — такую, которую принимает изогнутая металлическая линейка, если её согнуть, приблизив концы друг к другу. Эту форму называют кривой Эйлера. Эйлерова кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну линейки, то есть интеграл ∫(dѲ/ds)2ds, где Ѳ — угол между касательной и некоторым выбранным направлением, а s — длина вдоль кривой.
Название «меандр» произошло от имени фригийского речного бога Меандра и одноимённой реки в Малой Азии (ныне р. Б. Мендерес в Турции).
❤3👍3🤔1
Forwarded from Математика не для всех
Геометрия Достоевского. В комнате старухи, куда пришёл Раскольников, стоял круглый стол овальной формы — как вы думаете, это неточность или так может быть?
🤔1
Forwarded from Математика не для всех
Часть I. Терри Тао о сложных задачах, уравнениях Навье–Стокса и математике как инструменте
Интервью Лекса Фридмана с Терренсом Тао, пожалуй, можно считать одной из самых насыщенных бесед о современной математике. С самого начала Тао задаёт вектор разговора: его интересуют задачи, которые находятся на границе между разрешимым и неразрешимым. Те, где 90% пути пройдено существующими методами, но оставшиеся 10% требуют прорыва.
Он приводит в пример проблему Какеи: минимальная область на плоскости, в которой можно развернуть иглу, проходя через все направления. В двух измерениях задача решена, но в трёх измерениях — при условии малой, но ненулевой толщины иглы — возникают глубокие связи с дифференциальными уравнениями, геометрией и волновыми фронтами. Эта геометрическая задача оказывается связана с концентрацией энергии в волновых уравнениях, и, следовательно, имеет приложения в физике.
Одной из центральных тем становится обсуждение уравнений Навье–Стокса. Тао объясняет, что в их основе лежит борьба между двумя эффектами: диссипацией (вязкость) и транспортом энергии. В двумерном случае (критический режим) вязкость достаточна для сдерживания энергии. В трёхмерном случае (сверхкритический режим) возможны ситуации, где энергия концентрируется, приводя к сингулярности — взрыву решения.
Он обсуждает свой вклад 2016 года — конструкцию модифицированных уравнений, в которых взрыв возможен. Эти уравнения упрощены и искусственно «ослаблены», но их анализ позволяет исключить целый класс подходов к доказательству глобальной регулярности. Это важно: вместо поиска положительного решения, Тао показывает, почему многие существующие подходы не сработают.
Интересен и другой аспект: идея «жидкостного компьютера». Тао моделирует конструкцию, в которой взаимодействующие волны воды реализуют логические операции. Это гипотетическая машина, в которой энергия передаётся от одного масштаба к другому с задержкой, позволяя создать цепочку самовоспроизводящихся конфигураций. Вся конструкция — аналог машины Тьюринга, построенной на уравнениях движения жидкости. Если подобная система возможна в рамках настоящих уравнений Навье–Стокса, это будет означать возможность конечновременного взрыва.
https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k
Интервью Лекса Фридмана с Терренсом Тао, пожалуй, можно считать одной из самых насыщенных бесед о современной математике. С самого начала Тао задаёт вектор разговора: его интересуют задачи, которые находятся на границе между разрешимым и неразрешимым. Те, где 90% пути пройдено существующими методами, но оставшиеся 10% требуют прорыва.
Он приводит в пример проблему Какеи: минимальная область на плоскости, в которой можно развернуть иглу, проходя через все направления. В двух измерениях задача решена, но в трёх измерениях — при условии малой, но ненулевой толщины иглы — возникают глубокие связи с дифференциальными уравнениями, геометрией и волновыми фронтами. Эта геометрическая задача оказывается связана с концентрацией энергии в волновых уравнениях, и, следовательно, имеет приложения в физике.
Одной из центральных тем становится обсуждение уравнений Навье–Стокса. Тао объясняет, что в их основе лежит борьба между двумя эффектами: диссипацией (вязкость) и транспортом энергии. В двумерном случае (критический режим) вязкость достаточна для сдерживания энергии. В трёхмерном случае (сверхкритический режим) возможны ситуации, где энергия концентрируется, приводя к сингулярности — взрыву решения.
Он обсуждает свой вклад 2016 года — конструкцию модифицированных уравнений, в которых взрыв возможен. Эти уравнения упрощены и искусственно «ослаблены», но их анализ позволяет исключить целый класс подходов к доказательству глобальной регулярности. Это важно: вместо поиска положительного решения, Тао показывает, почему многие существующие подходы не сработают.
Интересен и другой аспект: идея «жидкостного компьютера». Тао моделирует конструкцию, в которой взаимодействующие волны воды реализуют логические операции. Это гипотетическая машина, в которой энергия передаётся от одного масштаба к другому с задержкой, позволяя создать цепочку самовоспроизводящихся конфигураций. Вся конструкция — аналог машины Тьюринга, построенной на уравнениях движения жидкости. Если подобная система возможна в рамках настоящих уравнений Навье–Стокса, это будет означать возможность конечновременного взрыва.
https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k
YouTube
Terence Tao: Hardest Problems in Mathematics, Physics & the Future of AI | Lex Fridman Podcast #472
Terence Tao is widely considered to be one of the greatest mathematicians in history. He won the Fields Medal and the Breakthrough Prize in Mathematics, and has contributed to a wide range of fields from fluid dynamics with Navier-Stokes equations to mathematical…
🤔1