Forwarded from 🎶 Эстрада СССР 🟥
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Forwarded from Высшая математика | LAPLAS
«В ранней молодости я предавался с таким увлечением всякого рода телесным упражнениям, что со мной считались даже самые злостные задиры... В тех городах, где мне приходилось жить, я всегда ходил в ночное время, вопреки запрещениям властей, вооруженный. Днем я выходил в башмаках со свинцовой подошвой весом около восьми фунтов, а ночью закрывал лицо черным шерстяным плащом и обувался в войлочные башмаки. Бывало, много дней подряд я с раннего утра и до вечера занимался военными упражнениями, после чего, весь еще обливаясь потом, играл на музыкальных инструментах и часто всю ночь до самого рассвета бродил по улицам»!
Forwarded from Высшая математика | LAPLAS
Такова была жизнь в Италии эпохи Возрождения около 1520 г. – по крайней мере, такой она была для Джироламо Кардано, описавшего свой образ жизни и многое другое в откровенной автобиографии «О моей жизни». Кардано — энциклопедист, особенно талантливый в области математики и медицины, — наслаждался (если можно так сказать) жизнью, достойной мыльных опер и бульварных газет. Он промотал фамильное состояние, пристрастился к азартным играм, разорился и угодил в богадельню. Заподозрив партнера в шулерстве, он полоснул того по лицу ножом. Он был обвинен в ереси и заключен в тюрьму; его сын был казнен за отравление жены. А еще Кардано вернул речь онемевшему епископу Сент-Эндрюсу, за что получил вознаграждение в 1400 золотых крон. Вернувшись в Италию с триумфом, он был принят в Коллегию врачей, которая прежде не один десяток лет отчаянно пыталась не допустить его в свои ряды.
И что самое важное, он был великолепным математиком и написал один из лучших учебников всех времен — «Великое искусство» (Ars Magna) с подзаголовком «Правила алгебры». В Ars Magna алгебра вступила в эпоху зрелости, обретя сразу и символьное выражение, и логику изложения. Кардано можно рассматривать как еще одного кандидата на титул «отца алгебры». Но в полном соответствии с характером этот статус он приобрел не без шулерства и скандала.
📖 Иэн Стюарт о Джероламо Кардано
#история
И что самое важное, он был великолепным математиком и написал один из лучших учебников всех времен — «Великое искусство» (Ars Magna) с подзаголовком «Правила алгебры». В Ars Magna алгебра вступила в эпоху зрелости, обретя сразу и символьное выражение, и логику изложения. Кардано можно рассматривать как еще одного кандидата на титул «отца алгебры». Но в полном соответствии с характером этот статус он приобрел не без шулерства и скандала.
📖 Иэн Стюарт о Джероламо Кардано
#история
🔥7❤1
Математикам напоминаю, а нематематикам рассказываю, что Кардано - это формула для нахождения корней кубического уравнения (вспоминаем квадратные уравнения и дискриминант).
В лучших традициях "именные открытия не имеют никакого отношения к тем, кому приписываются", Кардано ту формулу не открывал. И даже не претендовал. Он эту формулу привел в своей книге и честно говорил, что придумал ее Тортальи.
Кардано был тем еще кадром. В тексте выше почему-то скромно написано, что товарищ был обвинен в ереси. А за что не написали. Гороскоп составил на Иисуса Христа (или Иисусу Христу? Действо настолько неожиданное, что я даже почти 500 лет спустя изумлюясь).
В лучших традициях "именные открытия не имеют никакого отношения к тем, кому приписываются", Кардано ту формулу не открывал. И даже не претендовал. Он эту формулу привел в своей книге и честно говорил, что придумал ее Тортальи.
Кардано был тем еще кадром. В тексте выше почему-то скромно написано, что товарищ был обвинен в ереси. А за что не написали. Гороскоп составил на Иисуса Христа (или Иисусу Христу? Действо настолько неожиданное, что я даже почти 500 лет спустя изумлюясь).
👍5
Друзья! Помните из уроков русского?
На косе косой косой косой косой косой косой покос косил.
Кто не помнит, перевожу:
На изогнутом участке суши, выдающимся в море, пьяный заяц при помощи неровной косы косил неквадратный участок земли.
В китайском безусловно всё веселее.
https://t.me/savanichi/53753
На косе косой косой косой косой косой косой покос косил.
Кто не помнит, перевожу:
На изогнутом участке суши, выдающимся в море, пьяный заяц при помощи неровной косы косил неквадратный участок земли.
В китайском безусловно всё веселее.
https://t.me/savanichi/53753
Telegram
Саваничи 🇷🇺
Минутка иностранных языков на канале Саваничи - учим китайский 😎
🔥1
Forwarded from Математика не для всех
В начале 1980-х сеть ресторанов быстрого питания A&W запустила рекламную кампанию своего нового гамбургера. В отличие от 1/4-фунтового гамбургера McDonald´s, гамбургер A&W весил 1/3 фунта, а стоил при этом немного дешевле.
Но кампания провалилась. Как показали исследования, многие клиенты просто не понимали дробных чисел. Предложение A&W казалось им невыгодным, так как 3 меньше 4
Но кампания провалилась. Как показали исследования, многие клиенты просто не понимали дробных чисел. Предложение A&W казалось им невыгодным, так как 3 меньше 4
😁8👍1
Forwarded from Наука и университеты
Найден годный конспект по LLM на русском языке
Авторы реально постарались, потому что раскрыто буквально все, что нужно, чтобы понять принцип работы современных моделей. Что внутри, если кратко:
– Необходимая математика: линал и матанализ на пальцах
– Все про механизм внимания и трансформеры
– Детальное объяснение процесса предобучения
– RL – с нуля до обучения ризонинг-моделей типа o3
– И даже полноценный гайд по тому, как самостоятельно зафайнтюнить модель.
Все – в иллюстрациях, схемах и интуитивно понятных примерах. Для наглядности прикладываю несколько страниц.
Забрать полную pdf-версию абсолютно бесплатно можно здесь
Авторы реально постарались, потому что раскрыто буквально все, что нужно, чтобы понять принцип работы современных моделей. Что внутри, если кратко:
– Необходимая математика: линал и матанализ на пальцах
– Все про механизм внимания и трансформеры
– Детальное объяснение процесса предобучения
– RL – с нуля до обучения ризонинг-моделей типа o3
– И даже полноценный гайд по тому, как самостоятельно зафайнтюнить модель.
Все – в иллюстрациях, схемах и интуитивно понятных примерах. Для наглядности прикладываю несколько страниц.
Забрать полную pdf-версию абсолютно бесплатно можно здесь
👍3
Forwarded from Математика не для всех
Прорыв в математической физике: решение шестой проблемы Гильберта
В начале XX века выдающийся математик Давид Гильберт поставил перед научным сообществом амбициозную задачу — привнести в физику более строгий математический подход. В то время физики активно спорили о базовых понятиях: что такое тепло? Как устроены молекулы? Гильберт надеялся, что формальная логика математики сможет дать ясность. Утром 8 августа 1900 года на Международном конгрессе математиков он представил список из 23 ключевых математических проблем, которые должны были направлять исследования на столетие вперед. Шестая проблема была особенно смелой: разработать строгую аксиоматическую основу для законов физики.
Объем задачи, заданной Гильбертом, был огромен. Он предлагал подходить к физике, где математика играет важную роль, так же, как к геометрии — через аксиомы. По словам Дэйва Левермора, математика из Университета Мэриленда, это была скорее программа, чем задача с конкретным решением. Полное решение шестой проблемы, по сути, невозможно, но Гильберт указал направление. Например, он интересовался, можно ли доказать, что разные уравнения, описывающие свойства газа (движение молекул или его среднюю температуру), являются различными аспектами одной реальности, как предполагали физики, но не могли строго обосновать.
За 125 лет даже частичное решение этой задачи казалось недостижимым. Математики делали шаги вперед, доказывая связи между уравнениями только в особых случаях — например, для очень коротких временных интервалов или искусственно упрощенных условий. Однако это не соответствовало масштабам замысла Гильберта. И вот, спустя более чем век, трое математиков — Юй Денг, Захер Хани и Сяо Ма — добились значительного прогресса, решив одну из ключевых частей проблемы. Их работа не только продвигает программу Гильберта, но и затрагивает вопросы необратимости времени.
Под микроскопом и за его пределами
Рассмотрим газ с сильно разбросанными частицами. Физики моделируют его на разных уровнях. На микроскопическом уровне газ состоит из молекул, которые ведут себя как бильярдные шары, двигаясь по законам Ньютона. Эта модель называется системой твердых сфер. Если отойти чуть дальше, на мезоскопическом уровне, отслеживать каждую молекулу становится невозможно. Здесь применяется уравнение Больцмана, разработанное Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом в XIX веке. Оно описывает вероятное поведение молекул, указывая, сколько частиц можно найти в разных точках с разными скоростями. Это помогает изучать, например, движение воздуха вокруг космического корабля.
Еще дальше, на макроскопическом уровне, газ воспринимается как сплошная субстанция. Для описания его плотности и скорости движения используется набор уравнений Навье-Стокса. Физики считают эти модели совместимыми, но математики, работавшие над шестой проблемой Гильберта, стремились доказать это строго. Они хотели показать, что модель Ньютона порождает уравнение Больцмана, а оно, в свою очередь, ведет к уравнениям Навье-Стокса.
Частичный успех был достигнут на втором этапе: доказано, что из мезоскопической модели можно вывести макроскопическую в определенных условиях. Но первый шаг — от микроскопического к мезоскопическому — оставался нерешенным, нарушая логическую цепочку. Теперь это изменилось. В серии работ Денг, Хани и Ма доказали этот сложный переход для газа в одной из заданных ситуаций, впервые завершив цепочку.
Независимость и столкновения
Больцман уже показал, что законы Ньютона могут привести к его уравнению, если молекулы газа движутся относительно независимо друг от друга, то есть повторные столкновения одной и той же пары молекул редки. Однако он не мог математически доказать эту гипотезу из-за отсутствия подходящих инструментов. Оскар Ланфорд в 1975 году частично решил эту задачу, доказав гипотезу для крайне коротких временных интервалов — менее чем за миг. Но его доказательство рушилось, если учитывать более длительные периоды, когда вероятность повторных столкновений возрастала.
В начале XX века выдающийся математик Давид Гильберт поставил перед научным сообществом амбициозную задачу — привнести в физику более строгий математический подход. В то время физики активно спорили о базовых понятиях: что такое тепло? Как устроены молекулы? Гильберт надеялся, что формальная логика математики сможет дать ясность. Утром 8 августа 1900 года на Международном конгрессе математиков он представил список из 23 ключевых математических проблем, которые должны были направлять исследования на столетие вперед. Шестая проблема была особенно смелой: разработать строгую аксиоматическую основу для законов физики.
Объем задачи, заданной Гильбертом, был огромен. Он предлагал подходить к физике, где математика играет важную роль, так же, как к геометрии — через аксиомы. По словам Дэйва Левермора, математика из Университета Мэриленда, это была скорее программа, чем задача с конкретным решением. Полное решение шестой проблемы, по сути, невозможно, но Гильберт указал направление. Например, он интересовался, можно ли доказать, что разные уравнения, описывающие свойства газа (движение молекул или его среднюю температуру), являются различными аспектами одной реальности, как предполагали физики, но не могли строго обосновать.
За 125 лет даже частичное решение этой задачи казалось недостижимым. Математики делали шаги вперед, доказывая связи между уравнениями только в особых случаях — например, для очень коротких временных интервалов или искусственно упрощенных условий. Однако это не соответствовало масштабам замысла Гильберта. И вот, спустя более чем век, трое математиков — Юй Денг, Захер Хани и Сяо Ма — добились значительного прогресса, решив одну из ключевых частей проблемы. Их работа не только продвигает программу Гильберта, но и затрагивает вопросы необратимости времени.
Под микроскопом и за его пределами
Рассмотрим газ с сильно разбросанными частицами. Физики моделируют его на разных уровнях. На микроскопическом уровне газ состоит из молекул, которые ведут себя как бильярдные шары, двигаясь по законам Ньютона. Эта модель называется системой твердых сфер. Если отойти чуть дальше, на мезоскопическом уровне, отслеживать каждую молекулу становится невозможно. Здесь применяется уравнение Больцмана, разработанное Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом в XIX веке. Оно описывает вероятное поведение молекул, указывая, сколько частиц можно найти в разных точках с разными скоростями. Это помогает изучать, например, движение воздуха вокруг космического корабля.
Еще дальше, на макроскопическом уровне, газ воспринимается как сплошная субстанция. Для описания его плотности и скорости движения используется набор уравнений Навье-Стокса. Физики считают эти модели совместимыми, но математики, работавшие над шестой проблемой Гильберта, стремились доказать это строго. Они хотели показать, что модель Ньютона порождает уравнение Больцмана, а оно, в свою очередь, ведет к уравнениям Навье-Стокса.
Частичный успех был достигнут на втором этапе: доказано, что из мезоскопической модели можно вывести макроскопическую в определенных условиях. Но первый шаг — от микроскопического к мезоскопическому — оставался нерешенным, нарушая логическую цепочку. Теперь это изменилось. В серии работ Денг, Хани и Ма доказали этот сложный переход для газа в одной из заданных ситуаций, впервые завершив цепочку.
Независимость и столкновения
Больцман уже показал, что законы Ньютона могут привести к его уравнению, если молекулы газа движутся относительно независимо друг от друга, то есть повторные столкновения одной и той же пары молекул редки. Однако он не мог математически доказать эту гипотезу из-за отсутствия подходящих инструментов. Оскар Ланфорд в 1975 году частично решил эту задачу, доказав гипотезу для крайне коротких временных интервалов — менее чем за миг. Но его доказательство рушилось, если учитывать более длительные периоды, когда вероятность повторных столкновений возрастала.
👍2
Forwarded from Математика не для всех
Долгие годы математики пытались расширить результат Ланфорда, но безуспешно. В ноябре 2023 года Денг и Хани опубликовали препринт, намекающий на предстоящее доказательство. Они планировали развить свои находки для исследования долгосрочного расширения теоремы Ланфорда. Это вызвало ажиотаж: коллеги, такие как Пьер Жермен из Имперского колледжа Лондона, сомневались в возможности такого прорыва, ведь Денг и Хани ранее работали с волновыми системами, а не с частицами.
Работа над доказательством
В 2023 году Денг и Хани анализировали переход от микроскопического к мезоскопическому уровню для волн. Годом раньше Денг на конференции встретил аспиранта Принстона Сяо Ма, и их обсуждение привело к идее адаптации методов к частицам. Это позволило бы показать редкость повторных столкновений на более длительных интервалах. Вдохновленные идеями Ма, они пригласили его в команду. Троица сосредоточилась на изученной ситуации: разреженный газ сферических частиц в замкнутом ящике, где частицы, ударяясь о стенки, появляются с противоположной стороны.
Для доказательства микроскопического шага они начали с более простой модели — газа в бесконечном пространстве, где частицы со временем рассеиваются и перестают сталкиваться. Здесь Денг отметил наличие "сокращения пути". Они классифицировали возможные схемы столкновений и их вероятности, исключая случаи с высоким числом повторных столкновений. Оставшиеся, хоть и многочисленные, схемы анализировались детально. Сложность заключалась в учете множества частиц и косвенных взаимодействий.
Опыт Денга и Хани с волнами помог: они научились разбивать сложные паттерны на простые, оценивая вероятности. Однако частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что потребовало переработки подхода. Команда начала с простых случаев — несколько столкновений без повторений — и постепенно усложняла задачу. Это был процесс, занимавший месяцы, с ежедневными встречами на Zoom, иногда по ночам.
Завершение цепочки
К весне 2024 года доказательство было готово. Летом они опубликовали работу, показав, что в модели бесконечного пространства уравнение Больцмана выводится из законов Ньютона. Осенью они адаптировали результат для газа в ящике, где 80% доказательства осталось прежним. В марте 2025 года новый препринт объединил их находки с ранее доказанными связями между уравнениями Больцмана и Навье-Стокса, завершив логическую цепочку.
Эта работа не только решает часть проблемы Гильберта, но и объясняет парадокс времени. На микроскопическом уровне время обратимо по законам Ньютона, но на мезо- и макроуровнях — нет. Больцман утверждал, что почти все сценарии приводят к рассеянию газа, а обратное развитие маловероятно. Денг, Хани и Ма подтвердили это для реалистичных условий.
В будущем математики планируют применять их методы к более сложным системам — газам с частицами разной формы или сложными взаимодействиями. Физики, по словам Грегори Фалковича из Института Вейцмана, могут лучше понять поведение газа на разных масштабах благодаря таким строгим доказательствам. "Математики будят нас", — отметил он.
https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/
Работа над доказательством
В 2023 году Денг и Хани анализировали переход от микроскопического к мезоскопическому уровню для волн. Годом раньше Денг на конференции встретил аспиранта Принстона Сяо Ма, и их обсуждение привело к идее адаптации методов к частицам. Это позволило бы показать редкость повторных столкновений на более длительных интервалах. Вдохновленные идеями Ма, они пригласили его в команду. Троица сосредоточилась на изученной ситуации: разреженный газ сферических частиц в замкнутом ящике, где частицы, ударяясь о стенки, появляются с противоположной стороны.
Для доказательства микроскопического шага они начали с более простой модели — газа в бесконечном пространстве, где частицы со временем рассеиваются и перестают сталкиваться. Здесь Денг отметил наличие "сокращения пути". Они классифицировали возможные схемы столкновений и их вероятности, исключая случаи с высоким числом повторных столкновений. Оставшиеся, хоть и многочисленные, схемы анализировались детально. Сложность заключалась в учете множества частиц и косвенных взаимодействий.
Опыт Денга и Хани с волнами помог: они научились разбивать сложные паттерны на простые, оценивая вероятности. Однако частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что потребовало переработки подхода. Команда начала с простых случаев — несколько столкновений без повторений — и постепенно усложняла задачу. Это был процесс, занимавший месяцы, с ежедневными встречами на Zoom, иногда по ночам.
Завершение цепочки
К весне 2024 года доказательство было готово. Летом они опубликовали работу, показав, что в модели бесконечного пространства уравнение Больцмана выводится из законов Ньютона. Осенью они адаптировали результат для газа в ящике, где 80% доказательства осталось прежним. В марте 2025 года новый препринт объединил их находки с ранее доказанными связями между уравнениями Больцмана и Навье-Стокса, завершив логическую цепочку.
Эта работа не только решает часть проблемы Гильберта, но и объясняет парадокс времени. На микроскопическом уровне время обратимо по законам Ньютона, но на мезо- и макроуровнях — нет. Больцман утверждал, что почти все сценарии приводят к рассеянию газа, а обратное развитие маловероятно. Денг, Хани и Ма подтвердили это для реалистичных условий.
В будущем математики планируют применять их методы к более сложным системам — газам с частицами разной формы или сложными взаимодействиями. Физики, по словам Грегори Фалковича из Института Вейцмана, могут лучше понять поведение газа на разных масштабах благодаря таким строгим доказательствам. "Математики будят нас", — отметил он.
https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/
Quanta Magazine
Epic Effort to Ground Physics in Math Opens Up the Secrets of Time | Quanta Magazine
By mathematically proving how individual molecules create the complex motion of fluids, three mathematicians have illuminated why time can’t flow in reverse.
👍4
Forwarded from Математическая эссенция
Представьте себе большой набор данных — каких-нибудь величин, взятых из реальной жизни, отличающихся друг от друга на несколько порядков (допустим, в миллион раз). Подойдёт, например, месячный доход всех граждан РФ в рублях или долларах; или, скажем, площадь зеркала всех водоёмов на Земле (прудов, озёр, морей, океанов), в кв. м или кв. футах. Для всей совокупности данных построим распределение первой цифры (от 1 до 9) в десятичной записи числа. Что можно сказать про это распределение?
🤔1
Forwarded from Математическая эссенция
Закон Бенфорда: почему цифра 1 правит миром
В 1881 г. американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что в книгах, содержащих логарифмические таблицы, гораздо сильнее истёрты страницы, которые содержат логарифмы чисел, начинающихся с единицы, а страницы с числами, начинающимися на 9 — почти новые. Хотя, казалось бы, все цифры должны были встречаться примерно одинаковое количество раз.
Повторно обратил внимание на указанный феномен Фрэнк Бенфорд. Он анализировал табличные данные, касающиеся абсолютно несвязанных между собой понятий. В число анализа попали бассейны 335 крупнейших рек планеты, удельная теплоёмкость различных веществ, уличные номера домов и многое другое. После обработки массива информации стало ясно, что в качестве первой значащей цифры числа единица появляется с вероятностью 30,1%. Для числа 2 эта вероятность уменьшается до 18%, а для 9 составляет всего 4,6%.
Почему так происходит?
Если говорить совсем простыми словами, то ключ — в логарифмической шкале и порядках величин. Чтобы число увеличилось с 1 до 2, ему нужно вырасти на 100%, а чтобы с 8 до 9 — всего на 12,5%. "Пространства" для чисел, начинающихся с 1 (от 1 до 2), в логарифмической шкале гораздо больше, чем для чисел, начинающихся с 9 (от 9 до 10). Эффект проявляется сильнее, когда данные охватывают несколько порядков величин.
Более аккуратное объяснение следующее. Запишем число Х в стандартном виде:
Х = M · 10ᴱ;
M ∈ [1; 10) — называют мантиссой (нас интересует её первая цифра d), E — порядком величины (или экспонентой).
Закон Бенфорда утверждает, что мантисса M распределена равномерно в логарифмическом пространстве. Почему?
Если данные масштабно-инвариантны, смена единиц измерения (умножение Х на константу) соответствует сдвигу логарифма:
lg СХ = lg С + lg Х.
Единственное распределение, инвариантное относительно сдвига — равномерное распределение.
Пусть U = lg Х. Из масштабной инвариантности следует, что дробная часть {U} = U −⌊U⌋ распределена равномерно на интервале [0;1).
Число Х = 10ᵁ начинается с цифры d, если его мантисса M лежит в интервале:
[d; d+1) для d = 1, 2, ..., 9.
Вероятность этого P(d ≤ M < d+1) равна
P(lg d ≤ {U} < lg (d+1)).
Поскольку {U} распределена на интервале [0;1) равномерно, вероятность попадания в интервал [lg d; lg (d+1)) равна его длине:
P(d)= lg (d+1) − lg d = lg(1 + 1/d).
Это и есть закон Бенфорда.
Так, для d = 1 имеем:
P(1) = lg (1+1/1) = lg (2) ≈ 0,301;
для d = 9:
P(9) = lg (1+1/9) ≈ lg (1,111) ≈ 0,046.
Где применяется закон Бенфорда?
Если финансовая отчётность (бухгалтерские книги, налоговая декларация, данные по расходам) искусственно придумана человеком, её цифры часто не подчиняются закону Бенфорда. Люди склонны равномерно распределять цифры или избегать мелких цифр. Аудиторы и регуляторы активно применяют это для выявления подозрительных данных. Если реальные данные сильно отклоняются от Бенфорда без веской причины, это может сигнализировать об ошибках в сборе, обработке или даже о подтасовках. Также отклонения от Бенфорда могут использоваться для анализа голосования. Так что закон Бенфорда — не просто любопытный математический казус, а мощный инструмент анализа данных.
В 1881 г. американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что в книгах, содержащих логарифмические таблицы, гораздо сильнее истёрты страницы, которые содержат логарифмы чисел, начинающихся с единицы, а страницы с числами, начинающимися на 9 — почти новые. Хотя, казалось бы, все цифры должны были встречаться примерно одинаковое количество раз.
Повторно обратил внимание на указанный феномен Фрэнк Бенфорд. Он анализировал табличные данные, касающиеся абсолютно несвязанных между собой понятий. В число анализа попали бассейны 335 крупнейших рек планеты, удельная теплоёмкость различных веществ, уличные номера домов и многое другое. После обработки массива информации стало ясно, что в качестве первой значащей цифры числа единица появляется с вероятностью 30,1%. Для числа 2 эта вероятность уменьшается до 18%, а для 9 составляет всего 4,6%.
Почему так происходит?
Если говорить совсем простыми словами, то ключ — в логарифмической шкале и порядках величин. Чтобы число увеличилось с 1 до 2, ему нужно вырасти на 100%, а чтобы с 8 до 9 — всего на 12,5%. "Пространства" для чисел, начинающихся с 1 (от 1 до 2), в логарифмической шкале гораздо больше, чем для чисел, начинающихся с 9 (от 9 до 10). Эффект проявляется сильнее, когда данные охватывают несколько порядков величин.
Более аккуратное объяснение следующее. Запишем число Х в стандартном виде:
Х = M · 10ᴱ;
M ∈ [1; 10) — называют мантиссой (нас интересует её первая цифра d), E — порядком величины (или экспонентой).
Закон Бенфорда утверждает, что мантисса M распределена равномерно в логарифмическом пространстве. Почему?
Если данные масштабно-инвариантны, смена единиц измерения (умножение Х на константу) соответствует сдвигу логарифма:
lg СХ = lg С + lg Х.
Единственное распределение, инвариантное относительно сдвига — равномерное распределение.
Пусть U = lg Х. Из масштабной инвариантности следует, что дробная часть {U} = U −⌊U⌋ распределена равномерно на интервале [0;1).
Число Х = 10ᵁ начинается с цифры d, если его мантисса M лежит в интервале:
[d; d+1) для d = 1, 2, ..., 9.
Вероятность этого P(d ≤ M < d+1) равна
P(lg d ≤ {U} < lg (d+1)).
Поскольку {U} распределена на интервале [0;1) равномерно, вероятность попадания в интервал [lg d; lg (d+1)) равна его длине:
P(d)= lg (d+1) − lg d = lg(1 + 1/d).
Это и есть закон Бенфорда.
Так, для d = 1 имеем:
P(1) = lg (1+1/1) = lg (2) ≈ 0,301;
для d = 9:
P(9) = lg (1+1/9) ≈ lg (1,111) ≈ 0,046.
Где применяется закон Бенфорда?
Если финансовая отчётность (бухгалтерские книги, налоговая декларация, данные по расходам) искусственно придумана человеком, её цифры часто не подчиняются закону Бенфорда. Люди склонны равномерно распределять цифры или избегать мелких цифр. Аудиторы и регуляторы активно применяют это для выявления подозрительных данных. Если реальные данные сильно отклоняются от Бенфорда без веской причины, это может сигнализировать об ошибках в сборе, обработке или даже о подтасовках. Также отклонения от Бенфорда могут использоваться для анализа голосования. Так что закон Бенфорда — не просто любопытный математический казус, а мощный инструмент анализа данных.
👍5
Forwarded from Наука и университеты
Гримасы нового рейтинга по трудоустройству выпускников.
▪️В области образования «Гуманитарные науки» (бакалавриат/специалитет) лидерами являются Югорский государственный университет и Московский авиационный институт. МГУ им. М.В.Ломоносова - только 14-й.
▪️Печально известный скандалами с иностранными студентами Северный государственный медуниверситет возглавил рейтинг в области здравоохранения и медицинских наук (бакалавриат/специалитет). Университеты им.Сеченова и им. Пирогова разделили второе место. Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. И.П. Павлова только на 23 месте.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (бакалавриат/специалитет) на четвертой позиции Заполярный госуниверситет, на пятой – Финансовый университет. Они опередили МГТУ им. Баумана, ИТМО и другие ведущие инженерные вузы.
▪️В области «Культура» (бакалавриат/специалитет) тройка лидеров выглядит совсем прикольно:
1.МГТУ им. Баумана, 2.Московский политех, 3. МИРЭА - Российский технологический университет. Зато Российский государственный художественно-промышленный университет им. С.Г. Строганова занял лишь 19-е место.
▪️В области «Сельское хозяйство и сельскохозяйственные науки» (бакалавриат/специалитет) на втором месте рейтинга расположился Мытищинский филиал МГТУ имени Баумана. Все ведущие аграрные университеты – где-то ниже.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (магистратура) на втором месте Финансовый университет, на третьем - Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова. У всех ведущих инженерных университетов (кроме МФТИ) показатели скромнее.
Думаю, можно не продолжать. И какая практическая ценность этого рейтинга? Кому он может оказаться полезным? И сколько денег на него угробили?
Одним словом, гора родила мышь.
▪️В области образования «Гуманитарные науки» (бакалавриат/специалитет) лидерами являются Югорский государственный университет и Московский авиационный институт. МГУ им. М.В.Ломоносова - только 14-й.
▪️Печально известный скандалами с иностранными студентами Северный государственный медуниверситет возглавил рейтинг в области здравоохранения и медицинских наук (бакалавриат/специалитет). Университеты им.Сеченова и им. Пирогова разделили второе место. Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. И.П. Павлова только на 23 месте.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (бакалавриат/специалитет) на четвертой позиции Заполярный госуниверситет, на пятой – Финансовый университет. Они опередили МГТУ им. Баумана, ИТМО и другие ведущие инженерные вузы.
▪️В области «Культура» (бакалавриат/специалитет) тройка лидеров выглядит совсем прикольно:
1.МГТУ им. Баумана, 2.Московский политех, 3. МИРЭА - Российский технологический университет. Зато Российский государственный художественно-промышленный университет им. С.Г. Строганова занял лишь 19-е место.
▪️В области «Сельское хозяйство и сельскохозяйственные науки» (бакалавриат/специалитет) на втором месте рейтинга расположился Мытищинский филиал МГТУ имени Баумана. Все ведущие аграрные университеты – где-то ниже.
▪️В области «Инженерное дело, технологии и технические науки» (магистратура) на втором месте Финансовый университет, на третьем - Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова. У всех ведущих инженерных университетов (кроме МФТИ) показатели скромнее.
Думаю, можно не продолжать. И какая практическая ценность этого рейтинга? Кому он может оказаться полезным? И сколько денег на него угробили?
Одним словом, гора родила мышь.
🤷♂1❤1
Forwarded from Мат. Салат
Попалась интересная статья в Archaeologia Maritima Mediterranea.
Francesco Tiboni из Университета Массалии выдвигает гипотезу, что Троянский конь (Δούρειος Ίππος) был не гигантским деревянным животным, а кораблем. Причём речь идет о вполне реальном корабле — финикийском судне под названием hippos (в переводе с греческого — «лошадь»).
Тибони пишет, что hippoi были лёгкими, быстрыми кораблями с малой осадкой, отлично подходившими для разведки, бегства или скрытой высадки. Многие из них украшались изображением лошадиной головы — на носу или на корме — отсюда и название. Именно такой корабль, по его мнению, и могли использовать греки, чтобы проникнуть в Трою. А вот позже, уже в другой культурной эпохе, hippos ошибочно восприняли буквально — как «лошадь» из дерева.
Идея Тибони не нова: еще в древности встречались сомнения в том, что Троянский конь был именно деревянной статуей. Например, Павсаний (II век н. э.) называл его «выдумкой» инженера Эпея, скорее машиной, предназначенной для пролома городских стен. Скептицизм выражали также Еврипид, Трифийдор и Квинт Смирнский. Археологических подтверждений существования «древесного» коня практически нет, особенно в греческом материале. Напротив, изображения Троянского коня становятся популярными уже в римскую эпоху — возможно, благодаря влиянию Энеиды Вергилия, где этот сюжет играет ключевую роль.
По словам Тибони, в гомеровскую эпоху слово hippos могло обозначать не только животное, но и конкретный тип судна — значение, которое позже было забыто. Более того, в описаниях корабля Одиссея Гомер использует слова, похожие на те, что применялись к финикийским hippoi.
Так что, возможно, Троя пала не из-за деревянной статуи, а благодаря хитро замаскированному кораблю-ловушке, подведённому к самому берегу. А всё остальное — дело поэзии, воображения и времени, превративших морскую уловку в один из самых ярких мифов в истории человечества.
Francesco Tiboni из Университета Массалии выдвигает гипотезу, что Троянский конь (Δούρειος Ίππος) был не гигантским деревянным животным, а кораблем. Причём речь идет о вполне реальном корабле — финикийском судне под названием hippos (в переводе с греческого — «лошадь»).
Тибони пишет, что hippoi были лёгкими, быстрыми кораблями с малой осадкой, отлично подходившими для разведки, бегства или скрытой высадки. Многие из них украшались изображением лошадиной головы — на носу или на корме — отсюда и название. Именно такой корабль, по его мнению, и могли использовать греки, чтобы проникнуть в Трою. А вот позже, уже в другой культурной эпохе, hippos ошибочно восприняли буквально — как «лошадь» из дерева.
Идея Тибони не нова: еще в древности встречались сомнения в том, что Троянский конь был именно деревянной статуей. Например, Павсаний (II век н. э.) называл его «выдумкой» инженера Эпея, скорее машиной, предназначенной для пролома городских стен. Скептицизм выражали также Еврипид, Трифийдор и Квинт Смирнский. Археологических подтверждений существования «древесного» коня практически нет, особенно в греческом материале. Напротив, изображения Троянского коня становятся популярными уже в римскую эпоху — возможно, благодаря влиянию Энеиды Вергилия, где этот сюжет играет ключевую роль.
По словам Тибони, в гомеровскую эпоху слово hippos могло обозначать не только животное, но и конкретный тип судна — значение, которое позже было забыто. Более того, в описаниях корабля Одиссея Гомер использует слова, похожие на те, что применялись к финикийским hippoi.
Так что, возможно, Троя пала не из-за деревянной статуи, а благодаря хитро замаскированному кораблю-ловушке, подведённому к самому берегу. А всё остальное — дело поэзии, воображения и времени, превративших морскую уловку в один из самых ярких мифов в истории человечества.
Torrossa
The Dourateos Ippos from allegory to Archaeology : a Phoenician Ship to break the Wall - Tiboni, Francesco - Fabrizio Serra - Torrossa
Purchase online the PDF of The Dourateos Ippos from allegory to Archaeology : a Phoenician Ship to break the Wall, Tiboni, Francesco - Fabrizio Serra - Article
👍2