Forwarded from Математика не для всех
Когда пространство закручивается: как математики раскрыли тайну 126-мерного мира
В нашей привычной жизни пространство трёхмерно, и даже самые смелые фантазии редко заходят дальше четвёртого измерения. Но в глубинах математической теории скрываются миры, где количество измерений достигает сотен, и поведение фигур в этих мирах подчиняется странным, почти сюрреалистическим законам. Одной из таких загадок стала размерность 126 — и только в 2025 году математики окончательно подтвердили: она содержит формы, которые невозможно «развязать» или преобразовать в обычную сферу. Эти формы — скрученные, аномальные многообразия — стали частью завершённой истории длиной в 65 лет.
Началось всё в 1950-х годах, когда Джон Милнор поразил научное сообщество открытием экзотических сфер — фигур, которые топологически выглядят как обычные сферы, но имеют отличную «гладкость». Это означало, что на них можно нарисовать линии, которые были бы плавными в одном понимании, но «ломаными» в другом. Чтобы классифицировать такие формы, Милнор предложил метод «хирургии»: аккуратного вырезания и вшивания новых участков в многообразие с сохранением гладкости.
Позже французский математик Мишель Кервер создал инвариант — числовой признак, определяющий, можно ли с помощью хирургии превратить форму в сферу. Если значение инварианта равно нулю, преобразование возможно; если один — невозможно. И вскоре выяснилось: в некоторых особых измерениях (2, 6, 14, 30) существуют формы, которые хирургически неупрощаемы — их инвариант равен 1. Такие формы получали всё больше внимания, и возникла гипотеза: они должны существовать во всех размерностях вида 2ⁿ − 2 — 62, 126, 254 и т.д.
Однако в 2010 году случился переворот. Группа математиков, включая Майкла Хопкинса, доказала: начиная с размерности 254, такие формы невозможны. Осталась лишь одна «серая зона» — загадочная размерность 126, последняя, где возможность существования скрученных фигур оставалась открытой.
Ответ на эту загадку нашли три математика: Вейнан Лин, Гоцжэнь Ван и Чжоули Сюй. Их работа стала не просто доказательством, а подвигом в вычислительной математике. Используя концепцию стабильных гомотопических групп — набора функций, отображающих многомерные сферы друг в друга, — они построили сложную модель на основе так называемой спектральной последовательности Адамса. Представьте книгу с бесконечными страницами, на которых изображены «точки» возможных отображений между сферами. Каждая точка — потенциальный «вкус» формы в данной размерности. И только те точки, которые «выживают» до последней страницы, указывают на существование устойчивых форм.
Для 126-й размерности была особая точка — и её судьба решала, существуют ли там скрученные формы. Исследователям удалось исключить все 105 путей, ведущих к исчезновению этой точки, и доказать: она действительно «доживает» до последней страницы. Это означает, что в 126-й размерности существуют формы с инвариантом Кервера, равным 1 — странные и скрученные, неподдающиеся «развязыванию».
Интересно, что такие формы составляют ровно половину от всех возможных в данной размерности, но ни одна из них пока не описана явно. Математики уверены: за этими исключительными измерениями скрываются глубокие принципы, а их понимание может изменить представление о многомерной геометрии.
Работа Лина, Вана и Сюя — не конец, а только начало новой главы. Их методы открывают путь к изучению других загадочных точек в спектральной последовательности — потенциально ведущих к открытиям в ещё более высоких измерениях. Как выразился один из исследователей: «Там ждёт ещё множество историй».
https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/
В нашей привычной жизни пространство трёхмерно, и даже самые смелые фантазии редко заходят дальше четвёртого измерения. Но в глубинах математической теории скрываются миры, где количество измерений достигает сотен, и поведение фигур в этих мирах подчиняется странным, почти сюрреалистическим законам. Одной из таких загадок стала размерность 126 — и только в 2025 году математики окончательно подтвердили: она содержит формы, которые невозможно «развязать» или преобразовать в обычную сферу. Эти формы — скрученные, аномальные многообразия — стали частью завершённой истории длиной в 65 лет.
Началось всё в 1950-х годах, когда Джон Милнор поразил научное сообщество открытием экзотических сфер — фигур, которые топологически выглядят как обычные сферы, но имеют отличную «гладкость». Это означало, что на них можно нарисовать линии, которые были бы плавными в одном понимании, но «ломаными» в другом. Чтобы классифицировать такие формы, Милнор предложил метод «хирургии»: аккуратного вырезания и вшивания новых участков в многообразие с сохранением гладкости.
Позже французский математик Мишель Кервер создал инвариант — числовой признак, определяющий, можно ли с помощью хирургии превратить форму в сферу. Если значение инварианта равно нулю, преобразование возможно; если один — невозможно. И вскоре выяснилось: в некоторых особых измерениях (2, 6, 14, 30) существуют формы, которые хирургически неупрощаемы — их инвариант равен 1. Такие формы получали всё больше внимания, и возникла гипотеза: они должны существовать во всех размерностях вида 2ⁿ − 2 — 62, 126, 254 и т.д.
Однако в 2010 году случился переворот. Группа математиков, включая Майкла Хопкинса, доказала: начиная с размерности 254, такие формы невозможны. Осталась лишь одна «серая зона» — загадочная размерность 126, последняя, где возможность существования скрученных фигур оставалась открытой.
Ответ на эту загадку нашли три математика: Вейнан Лин, Гоцжэнь Ван и Чжоули Сюй. Их работа стала не просто доказательством, а подвигом в вычислительной математике. Используя концепцию стабильных гомотопических групп — набора функций, отображающих многомерные сферы друг в друга, — они построили сложную модель на основе так называемой спектральной последовательности Адамса. Представьте книгу с бесконечными страницами, на которых изображены «точки» возможных отображений между сферами. Каждая точка — потенциальный «вкус» формы в данной размерности. И только те точки, которые «выживают» до последней страницы, указывают на существование устойчивых форм.
Для 126-й размерности была особая точка — и её судьба решала, существуют ли там скрученные формы. Исследователям удалось исключить все 105 путей, ведущих к исчезновению этой точки, и доказать: она действительно «доживает» до последней страницы. Это означает, что в 126-й размерности существуют формы с инвариантом Кервера, равным 1 — странные и скрученные, неподдающиеся «развязыванию».
Интересно, что такие формы составляют ровно половину от всех возможных в данной размерности, но ни одна из них пока не описана явно. Математики уверены: за этими исключительными измерениями скрываются глубокие принципы, а их понимание может изменить представление о многомерной геометрии.
Работа Лина, Вана и Сюя — не конец, а только начало новой главы. Их методы открывают путь к изучению других загадочных точек в спектральной последовательности — потенциально ведущих к открытиям в ещё более высоких измерениях. Как выразился один из исследователей: «Там ждёт ещё множество историй».
https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/
Quanta Magazine
Dimension 126 Contains Strangely Twisted Shapes, Mathematicians Prove
A new proof represents the culmination of a 65-year-old story about anomalous shapes in special dimensions.
🔥3
Forwarded from воспоминания математиков
Я однажды получил письмо от английского физика Майкла Берри (знаменитые ”фазы Берри”), который написал мне письмо — следствие нашего обсуждения приоритетных вопросов. И он написал, что эти обсуждения можно суммировать при помощи следующего принципа Арнольда: если какой-нибудь предмет имеет персональное наименование (например, Пифагоровы тройки или теорема Пифагора; Америка, например), то это никогда не бывает имя первооткрывателя. Это всегда имя какого-то другого человека. Америка не называется Колумбией, хотя открыл ее Колумб.
Кстати, почему Колумб открыл Америку? Это тесно связано с тем, что я только что рассказывал. Когда Колумб отправился к испанской королеве Изабелле проситься в экспедицию (он не собирался открывать Америку, он собирался открывать путь через Атлантический океан в Индию), то королева ему сказала: нет, нельзя. А дело было вот в чем. Через двести лет после египтян вопрос о размере Земли рассмотрели греки. Греки, пользуясь украденными Пифагором сведениями, знали про египетские измерения, но не верили египтянам (что это за измерения, какие-то верблюды, что это такое…). И они провели измерения заново. Они взяли триеру, корабль, который пересек Средиземное море с юга на север, от Александрии до острова Родос, померили путь, зная скорость корабля при сильном ветре, разность широт тоже можно померить, и получили новый размер (радиус) Земли. Но так как, конечно, египетский способ был надежным, потому что верблюды — это хороший счет расстояний, а скорость корабля при сильном ветре — это что-то такое неопределенное, греческая оценка была вдвое отличающейся от египетской. И греки это опубликовали и говорили, что египтяне уже мерили, но поскольку они слаборазвитый народ, то хорошо померить не смогли и получили Землю, которая вдвое меньше, чем настоящая; на самом деле у них ошибочные данные, а правильный размер Земли вдвое больше.
И поскольку вся греческая наука — Евклид, Пифагор, все это — распространилась потом повсеместно, в школе учили, то и королева Изабелла тоже думала, что Земля вдвое больше, чем она есть, и она сказала Колумбу: ”Ты не доплывешь до Индии, потому что ни в какой корабль не уместится столько бочек с водой, сколько нужно взять, чтобы проплыть такое большое расстояние”. Потому что очень далеко, а ничего по дороге нет (Америка не предполагалась). Колумб шесть раз к ней ходил и в конце концов каким-то образом избежал этих запретов и все-таки добрался.
Так вот, Берри пишет дальше: ”Но чтобы принципом Арнольда надежно пользоваться, нужно к нему добавить еще один очень важный принцип — принцип Берри. Принцип Берри таков: принцип Арнольда применим к самому себе”.
Конечно, несомненно, научные открытия воруют, воровали всегда и воруют.
(Из зала: И будут воровать!)
из доклада В.И. Арнольда "Нужна ли математика в школе?"
Кстати, почему Колумб открыл Америку? Это тесно связано с тем, что я только что рассказывал. Когда Колумб отправился к испанской королеве Изабелле проситься в экспедицию (он не собирался открывать Америку, он собирался открывать путь через Атлантический океан в Индию), то королева ему сказала: нет, нельзя. А дело было вот в чем. Через двести лет после египтян вопрос о размере Земли рассмотрели греки. Греки, пользуясь украденными Пифагором сведениями, знали про египетские измерения, но не верили египтянам (что это за измерения, какие-то верблюды, что это такое…). И они провели измерения заново. Они взяли триеру, корабль, который пересек Средиземное море с юга на север, от Александрии до острова Родос, померили путь, зная скорость корабля при сильном ветре, разность широт тоже можно померить, и получили новый размер (радиус) Земли. Но так как, конечно, египетский способ был надежным, потому что верблюды — это хороший счет расстояний, а скорость корабля при сильном ветре — это что-то такое неопределенное, греческая оценка была вдвое отличающейся от египетской. И греки это опубликовали и говорили, что египтяне уже мерили, но поскольку они слаборазвитый народ, то хорошо померить не смогли и получили Землю, которая вдвое меньше, чем настоящая; на самом деле у них ошибочные данные, а правильный размер Земли вдвое больше.
И поскольку вся греческая наука — Евклид, Пифагор, все это — распространилась потом повсеместно, в школе учили, то и королева Изабелла тоже думала, что Земля вдвое больше, чем она есть, и она сказала Колумбу: ”Ты не доплывешь до Индии, потому что ни в какой корабль не уместится столько бочек с водой, сколько нужно взять, чтобы проплыть такое большое расстояние”. Потому что очень далеко, а ничего по дороге нет (Америка не предполагалась). Колумб шесть раз к ней ходил и в конце концов каким-то образом избежал этих запретов и все-таки добрался.
Так вот, Берри пишет дальше: ”Но чтобы принципом Арнольда надежно пользоваться, нужно к нему добавить еще один очень важный принцип — принцип Берри. Принцип Берри таков: принцип Арнольда применим к самому себе”.
Конечно, несомненно, научные открытия воруют, воровали всегда и воруют.
(Из зала: И будут воровать!)
из доклада В.И. Арнольда "Нужна ли математика в школе?"
😁6
Forwarded from Математическая эссенция
Вот что писал «великий русский педагог, передовой общественный деятель, создатель научной педагогической системы» К.Д. Ушинский о занятиях математикой:
«Школьный же опыт показывает нам странное явление: молодые люди, с любовью и успехом занимающиеся математикою, чаще всего оказываются малоспособными к другим наукам, особенно к словесности и истории. На математиках-специалистах весьма часто во всю их жизнь лежит какой-то странный оттенок ограниченности, и нередко с глубоким знанием математики уживаются в голове самые дикие, уродливые фантазии и упорнейшие, ограниченнейшие предрассудки. Математика изучает только формальную сторону мира и только формальным образом развивает человека». («Педагогические идеи Н.И.Пирогова»)
«В прежнее время математика пользовалась известностью науки, исключительно развивающей рассудок, но современные германские педагоги почти совершенно отнимают у математики это достоинство, утверждая, что она развивает только математические способности… Но если математические законы примешиваются ко всему, то они далеко не обнимают собой всего и если они служат основанием многим техническим наукам, то вне этого технического приложения менее всего доставляют пользы в понимании общественной жизни, которая слагается из элементов, вовсе не подлежащих исчислению математики. Математические соображения слишком прямолинейны, тогда как всякий жизненный вопрос требует соединения в фокус одной идеи множества разнообразнейших и повсюду разбросанных данных. Вот почему исключительное занятие математикой кладет иногда особенно вредный в жизни отпечаток на человека, сообщает его мыслям именно эту математическую прямолинейность, делает его взгляды на жизнь односторонними, придает им какую-то особенную сухость и безжизненность. Привычка же доверяться верности математических выводов делает часто математиков упрямыми фантазерами или бесплодными критиками. Начав с известного или справедливого положения, не видя множества разнообразнейших жизненных влияний, они приходят иногда к самым эксцентрическим выводам или к особенно сухой и бесплодной формальности <…>
Преобладание математического и технического направления составляют, без сомнения, одну не из последних причин замечательного бессилия и бесплодия нашей администрации, которая, несмотря на свою громадность, математическую рассчитанность и вечное движение своих бесчисленных колес, дает так мало положительных результатов». («Письма о воспитании наследника русского престола».)
Согласны с «основоположником оригинальной русской педагогики»? 😊
«Школьный же опыт показывает нам странное явление: молодые люди, с любовью и успехом занимающиеся математикою, чаще всего оказываются малоспособными к другим наукам, особенно к словесности и истории. На математиках-специалистах весьма часто во всю их жизнь лежит какой-то странный оттенок ограниченности, и нередко с глубоким знанием математики уживаются в голове самые дикие, уродливые фантазии и упорнейшие, ограниченнейшие предрассудки. Математика изучает только формальную сторону мира и только формальным образом развивает человека». («Педагогические идеи Н.И.Пирогова»)
«В прежнее время математика пользовалась известностью науки, исключительно развивающей рассудок, но современные германские педагоги почти совершенно отнимают у математики это достоинство, утверждая, что она развивает только математические способности… Но если математические законы примешиваются ко всему, то они далеко не обнимают собой всего и если они служат основанием многим техническим наукам, то вне этого технического приложения менее всего доставляют пользы в понимании общественной жизни, которая слагается из элементов, вовсе не подлежащих исчислению математики. Математические соображения слишком прямолинейны, тогда как всякий жизненный вопрос требует соединения в фокус одной идеи множества разнообразнейших и повсюду разбросанных данных. Вот почему исключительное занятие математикой кладет иногда особенно вредный в жизни отпечаток на человека, сообщает его мыслям именно эту математическую прямолинейность, делает его взгляды на жизнь односторонними, придает им какую-то особенную сухость и безжизненность. Привычка же доверяться верности математических выводов делает часто математиков упрямыми фантазерами или бесплодными критиками. Начав с известного или справедливого положения, не видя множества разнообразнейших жизненных влияний, они приходят иногда к самым эксцентрическим выводам или к особенно сухой и бесплодной формальности <…>
Преобладание математического и технического направления составляют, без сомнения, одну не из последних причин замечательного бессилия и бесплодия нашей администрации, которая, несмотря на свою громадность, математическую рассчитанность и вечное движение своих бесчисленных колес, дает так мало положительных результатов». («Письма о воспитании наследника русского престола».)
Согласны с «основоположником оригинальной русской педагогики»? 😊
😁3🤷♂1❤1
Forwarded from Наука и университеты
Уже сутки в нашем канале идет голосование по поводу законопроекта, разрешающего студентам непедагогических специальностей преподавать в школах. За это время свое мнение высказали порядка 2,5 тысяч человек. 52% участников поддержали законопроект, 36% высказались против.
Отметим, что в предложенном подписчикам вопросе из-за ограничений телеграмма на число знаков не было сказано об условии, что студенты обязательно должны пройти программу профессиональной переподготовки по направлению «Образование и педагогические науки». Судя по комментариям, не все участники опроса знали подробности обсуждаемого документа. Если бы этот момент был учтен в вопросе, доля сторонников, вероятно, была бы ещё больше.
Полагаю, что многие из участников опроса, проголосовавших «за», осознают, что данный законопроект – это своего рода жест отчаяния. Стало понятно, что действующая система подготовки педагогов в профильных вузах при сегодняшней оплате учительского труда и нынешнем отношении к профессии учителя не может решить кадровую проблему в образовании. И было бы совсем неплохо, если бы предлагаемая мера хоть как-то помогла в решении этой проблемы. Хотя серьезно рассчитывать на это, на мой взгляд, не стоит – большинство университетов находится в крупных городах, а учителей чаще всего не хватает в малых населенных пунктах.
Отметим, что в предложенном подписчикам вопросе из-за ограничений телеграмма на число знаков не было сказано об условии, что студенты обязательно должны пройти программу профессиональной переподготовки по направлению «Образование и педагогические науки». Судя по комментариям, не все участники опроса знали подробности обсуждаемого документа. Если бы этот момент был учтен в вопросе, доля сторонников, вероятно, была бы ещё больше.
Полагаю, что многие из участников опроса, проголосовавших «за», осознают, что данный законопроект – это своего рода жест отчаяния. Стало понятно, что действующая система подготовки педагогов в профильных вузах при сегодняшней оплате учительского труда и нынешнем отношении к профессии учителя не может решить кадровую проблему в образовании. И было бы совсем неплохо, если бы предлагаемая мера хоть как-то помогла в решении этой проблемы. Хотя серьезно рассчитывать на это, на мой взгляд, не стоит – большинство университетов находится в крупных городах, а учителей чаще всего не хватает в малых населенных пунктах.
🤔2
Forwarded from О математике. ВУЗ
Про стандартное и нестандартное решение задачи
Известная история с просторов сети Интернет
Однажды к Эрнеcту Резерфорду, президенту Королевской академии, обратился коллега за помощью.
Он собирался поставить самую низкую оценку по физике одному из своих студентов, в то время как тот утверждал, что заслуживает высшего балла.
Экзаменационный вопрос гласил: «Объясните, каким образом можно измерить
высоту здания с помощью барометра?».
Прибор для измерения атмосферного давления дает разные показания на крыше здания и внизу, за счет чего и считается высота.
Но ответ студента был таким: «Нужно подняться с барометром на крышу здания, спустить барометр вниз на длинной верёвке, а затем втянуть его обратно и измерить длину верёвки, которая и покажет точную высоту здания».
Случай был и впрямь сложный, так как ответ был абсолютно полным и верным!
С другой стороны, это был экзамен был по физике, а решение имело мало общего с применением знаний в этой области.
Резерфорд предложил студенту попытаться ответить ещё раз.
Дав ему шесть минут на подготовку, он предупредил его, что ответ должен демонстрировать знание физических законов.
По истечении пяти минут студент так и не написал ничего в экзаменационном листе.
Резерфорд спросил его, сдаётся ли он, но тот заявил, что у него есть несколько решений проблемы, и он просто выбирает лучшее.
Заинтересовавшись, Резерфорд попросил молодого человека поскорее приступить к ответу.
Новое решение звучало так: «Поднимитесь с барометром на крышу и бросьте его вниз, замеряя время падения.
Затем, используя формулу, вычислите высоту здания».
Тут Резерфорд спросил своего коллегу преподавателя, доволен ли он этим ответом.
Тот, наконец, сдался, признав ответ удовлетворительным. Однако студент упоминал, что знает еще несколько нетривиальных решений, и его попросили рассказать их.
— Есть несколько способов измерить высоту здания с помощью барометра, — начал студент. — Например, можно выйти на улицу в солнечный день и измерить высоту барометра и его тени, а также измерить длину тени здания. Затем, решив несложную пропорцию, определить высоту самого здания.
— Неплохо, — сказал Резерфорд. — Есть и другие способы?
— Да. Есть очень простой способ, который, уверен, вам понравится.
Вы берёте барометр в руки и поднимаетесь по лестнице, прикладывая барометр к стене и делая отметки. Сосчитав количество этих отметок и умножив его на размер барометра, вы получите высоту здания. Вполне очевидный метод.
— Если вы хотите более сложный способ, — продолжал он, — то привяжите к барометру шнурок и, раскачивая его, как маятник, определите величину гравитации у основания здания и на его крыше. Из разницы между этими величинами, в принципе, можно вычислить высоту здания.
В этом же случае, привязав к барометру шнурок, вы можете подняться с вашим маятником на крышу и, раскачивая его, вычислить высоту здания по периоду прецессии.
— Наконец, — заключил он, — среди множества прочих решений данной проблемы лучшим, пожалуй, является такой: возьмите барометр с собой, найдите управляющего и скажите ему: «Господин управляющий, у меня есть замечательный барометр. Он ваш, если вы скажете мне высоту этого здания».
Тут Резерфорд спросил студента, неужели он действительно не знал общепринятого решения этой задачи.
Он признался, что знал, но сказал при этом, что сыт по горло школой и колледжем, где учителя навязывают ученикам свой способ мышления, который не всегда приемлет не стандартных решений.
А студент этот был Нильс Бор (1885–1962), датский физик, будущий лауреат Нобелевской премии...
#юмор #ЭтоИнтересно
Известная история с просторов сети Интернет
Однажды к Эрнеcту Резерфорду, президенту Королевской академии, обратился коллега за помощью.
Он собирался поставить самую низкую оценку по физике одному из своих студентов, в то время как тот утверждал, что заслуживает высшего балла.
Экзаменационный вопрос гласил: «Объясните, каким образом можно измерить
высоту здания с помощью барометра?».
Прибор для измерения атмосферного давления дает разные показания на крыше здания и внизу, за счет чего и считается высота.
Но ответ студента был таким: «Нужно подняться с барометром на крышу здания, спустить барометр вниз на длинной верёвке, а затем втянуть его обратно и измерить длину верёвки, которая и покажет точную высоту здания».
Случай был и впрямь сложный, так как ответ был абсолютно полным и верным!
С другой стороны, это был экзамен был по физике, а решение имело мало общего с применением знаний в этой области.
Резерфорд предложил студенту попытаться ответить ещё раз.
Дав ему шесть минут на подготовку, он предупредил его, что ответ должен демонстрировать знание физических законов.
По истечении пяти минут студент так и не написал ничего в экзаменационном листе.
Резерфорд спросил его, сдаётся ли он, но тот заявил, что у него есть несколько решений проблемы, и он просто выбирает лучшее.
Заинтересовавшись, Резерфорд попросил молодого человека поскорее приступить к ответу.
Новое решение звучало так: «Поднимитесь с барометром на крышу и бросьте его вниз, замеряя время падения.
Затем, используя формулу, вычислите высоту здания».
Тут Резерфорд спросил своего коллегу преподавателя, доволен ли он этим ответом.
Тот, наконец, сдался, признав ответ удовлетворительным. Однако студент упоминал, что знает еще несколько нетривиальных решений, и его попросили рассказать их.
— Есть несколько способов измерить высоту здания с помощью барометра, — начал студент. — Например, можно выйти на улицу в солнечный день и измерить высоту барометра и его тени, а также измерить длину тени здания. Затем, решив несложную пропорцию, определить высоту самого здания.
— Неплохо, — сказал Резерфорд. — Есть и другие способы?
— Да. Есть очень простой способ, который, уверен, вам понравится.
Вы берёте барометр в руки и поднимаетесь по лестнице, прикладывая барометр к стене и делая отметки. Сосчитав количество этих отметок и умножив его на размер барометра, вы получите высоту здания. Вполне очевидный метод.
— Если вы хотите более сложный способ, — продолжал он, — то привяжите к барометру шнурок и, раскачивая его, как маятник, определите величину гравитации у основания здания и на его крыше. Из разницы между этими величинами, в принципе, можно вычислить высоту здания.
В этом же случае, привязав к барометру шнурок, вы можете подняться с вашим маятником на крышу и, раскачивая его, вычислить высоту здания по периоду прецессии.
— Наконец, — заключил он, — среди множества прочих решений данной проблемы лучшим, пожалуй, является такой: возьмите барометр с собой, найдите управляющего и скажите ему: «Господин управляющий, у меня есть замечательный барометр. Он ваш, если вы скажете мне высоту этого здания».
Тут Резерфорд спросил студента, неужели он действительно не знал общепринятого решения этой задачи.
Он признался, что знал, но сказал при этом, что сыт по горло школой и колледжем, где учителя навязывают ученикам свой способ мышления, который не всегда приемлет не стандартных решений.
А студент этот был Нильс Бор (1885–1962), датский физик, будущий лауреат Нобелевской премии...
#юмор #ЭтоИнтересно
❤7👍2🔥2🤝1
Forwarded from Математическая эссенция
К.Д. Ушинский, конечно, выдающийся педагог. Но в ценностях образования разбирался не очень…
В чём же он заблуждался?
1. Считал, что математика учит лишь «прямолинейным» выводам.
Однако, решение математических задач требует прежде всего не знания алгоритмов, а творческого подхода — математика развивает гибкость ума. И абстрактное мышление есть сила, а не слабость: умение строить модели помогает анализировать сложные системы.
2. Противопоставлял математику и гуманитарные науки.
В реальности они не противоположны, а нередко и взаимно дополняют друг друга. Например, лингвисты применяют статистику и алгоритмы для анализа текстов; логика и теория вероятностей объясняют, как люди принимают решения; математические модели помогают реконструировать экономику прошлого. Математика служит основой междисциплинарного взаимодействия различных наук, является языком, на котором говорят все науки.
3. Опасался, что математики «упорно доверяют формулам», «становятся упрямыми фантазёрами».
Это не соответствует действительности. Многие настоящие математики являются глубокими мыслителями, не только владеющими логикой, но и умеющими творчески подходить к задачам реального мира.
На деле математика учит скептицизму, а не догматизму, воспитывает критическое мышление, ибо любое утверждение требует доказательства. Математика приучает проверять каждое утверждение, искать ошибки, сомневаться в очевидном — это полный антипод «упрямым фантазиям». И именно это защищает от псевдонаучных мифов.
4. Упрекал математику в «сухости» и «бесплодности».
Ограниченность — следствие неумелого педагогического преподнесения, а не самой науки. Отсутствие прямой практической пользы от изучения собственно математики является скорее достоинством, чем недостатком. Сегодня мы наблюдаем в системе образования перекос в противоположную сторону — стремление во что бы то ни стало получить практическую пользу от полученных минимальных знаний.
И всё же, тут скорее имеет место критика не самой математики и приложимости её результатов к жизни, а манеры её преподавания в то время — сухой и начётнической.
5. Утверждал, что математика игнорирует «жизненные влияния» и «разнообразие данных».
Но математика не «упрощает» реальность — она помогает её структурировать, видеть связи там, где они неочевидны. Современная математика включает теорию вероятностей, статистику, теорию игр и моделирование — инструменты, которые анализируют неопределённость, случайность и сложные системы. Именно системное математическое мышление позволяет анализировать общественные процессы: как распространяется информация (графы и теория вероятностей); как работают выборы и голосования (теория игр); как формируются рынки и спрос (математическая экономика); как бороться с фейками и предсказывать кризисы (анализ данных). Математика — не «формальная сторона мира», а мощный инструмент познания сложности. Она не отрывает от жизни, а помогает её понять.
6. Связывал бюрократическую неэффективность с математическим мышлением.
Проблема здесь, конечно, не в математике, а в неумении применять её методы к сложным системам. Современный менеджмент вполне успешно использует математику (анализ данных, оптимизацию, теорию графов, машинное обучение) для повышения эффективности.
В оправдание Ушинского можно привести контекст его высказываний. Он сам был гуманитарием, специалистом по языку и психологии. А то, что человеку плохо известно, нередко кажется ему переоценённым или даже вредным. Это то, что сегодня называют когнитивным искажением компетентности.
Основоположник педагогической системы жил в эпоху промышленной революции, когда рост влияния техники вызывал опасения, а математика ассоциировалась с бездушной механизацией.
Ушинский боролся за развитие личности, гуманитарное и нравственное воспитание, противопоставляя его развитию абстрактного «рассудка», и в полемике немного зарапортовался — не учёл, что математическое мышление — тоже часть гуманитарной культуры, что развиваемая математикой способность мыслить абстрактно и критически — не менее важный элемент мышления, чем эмоциональное сопереживание и историческая эмпатия.
В чём же он заблуждался?
1. Считал, что математика учит лишь «прямолинейным» выводам.
Однако, решение математических задач требует прежде всего не знания алгоритмов, а творческого подхода — математика развивает гибкость ума. И абстрактное мышление есть сила, а не слабость: умение строить модели помогает анализировать сложные системы.
2. Противопоставлял математику и гуманитарные науки.
В реальности они не противоположны, а нередко и взаимно дополняют друг друга. Например, лингвисты применяют статистику и алгоритмы для анализа текстов; логика и теория вероятностей объясняют, как люди принимают решения; математические модели помогают реконструировать экономику прошлого. Математика служит основой междисциплинарного взаимодействия различных наук, является языком, на котором говорят все науки.
3. Опасался, что математики «упорно доверяют формулам», «становятся упрямыми фантазёрами».
Это не соответствует действительности. Многие настоящие математики являются глубокими мыслителями, не только владеющими логикой, но и умеющими творчески подходить к задачам реального мира.
На деле математика учит скептицизму, а не догматизму, воспитывает критическое мышление, ибо любое утверждение требует доказательства. Математика приучает проверять каждое утверждение, искать ошибки, сомневаться в очевидном — это полный антипод «упрямым фантазиям». И именно это защищает от псевдонаучных мифов.
4. Упрекал математику в «сухости» и «бесплодности».
Ограниченность — следствие неумелого педагогического преподнесения, а не самой науки. Отсутствие прямой практической пользы от изучения собственно математики является скорее достоинством, чем недостатком. Сегодня мы наблюдаем в системе образования перекос в противоположную сторону — стремление во что бы то ни стало получить практическую пользу от полученных минимальных знаний.
И всё же, тут скорее имеет место критика не самой математики и приложимости её результатов к жизни, а манеры её преподавания в то время — сухой и начётнической.
5. Утверждал, что математика игнорирует «жизненные влияния» и «разнообразие данных».
Но математика не «упрощает» реальность — она помогает её структурировать, видеть связи там, где они неочевидны. Современная математика включает теорию вероятностей, статистику, теорию игр и моделирование — инструменты, которые анализируют неопределённость, случайность и сложные системы. Именно системное математическое мышление позволяет анализировать общественные процессы: как распространяется информация (графы и теория вероятностей); как работают выборы и голосования (теория игр); как формируются рынки и спрос (математическая экономика); как бороться с фейками и предсказывать кризисы (анализ данных). Математика — не «формальная сторона мира», а мощный инструмент познания сложности. Она не отрывает от жизни, а помогает её понять.
6. Связывал бюрократическую неэффективность с математическим мышлением.
Проблема здесь, конечно, не в математике, а в неумении применять её методы к сложным системам. Современный менеджмент вполне успешно использует математику (анализ данных, оптимизацию, теорию графов, машинное обучение) для повышения эффективности.
В оправдание Ушинского можно привести контекст его высказываний. Он сам был гуманитарием, специалистом по языку и психологии. А то, что человеку плохо известно, нередко кажется ему переоценённым или даже вредным. Это то, что сегодня называют когнитивным искажением компетентности.
Основоположник педагогической системы жил в эпоху промышленной революции, когда рост влияния техники вызывал опасения, а математика ассоциировалась с бездушной механизацией.
Ушинский боролся за развитие личности, гуманитарное и нравственное воспитание, противопоставляя его развитию абстрактного «рассудка», и в полемике немного зарапортовался — не учёл, что математическое мышление — тоже часть гуманитарной культуры, что развиваемая математикой способность мыслить абстрактно и критически — не менее важный элемент мышления, чем эмоциональное сопереживание и историческая эмпатия.
🔥4
Forwarded from Я Математик
ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.pdf
411.6 KB
ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
И. В. Ященко (2002)
При развитии теории множеств, на которой базируется вся
современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом:
Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет?
В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два.
В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры.
Текст брошюры представляет собой обработанные записи лекций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9—11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в июле 2001 года в рамках летней школы «Современная математика» для школьников 10—11 классов и студентов 1—2 курса (запись Ю. Л. Притыкина).
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов
младших курсов, учителей.
👉 @Pomatematike
И. В. Ященко (2002)
При развитии теории множеств, на которой базируется вся
современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом:
Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет?
В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два.
В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры.
Текст брошюры представляет собой обработанные записи лекций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9—11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в июле 2001 года в рамках летней школы «Современная математика» для школьников 10—11 классов и студентов 1—2 курса (запись Ю. Л. Притыкина).
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов
младших курсов, учителей.
👉 @Pomatematike
👍2
Forwarded from Мат. Салат
Картинки на выходных. Margarita Philosophica (1503). Титульный лист Четвертой книги, посвящённой арифметике. Изображает состязание двух великих учёных – Пифагора (справа) и Боэция (слева), судьёй в котором выступает сама (персонифицированная) Арифметика.
👍1
Forwarded from Наука и университеты
#Из_прочитанного
RTVI «топит» за СПО. На портале RTVI опубликован полезный школьникам и их родителям материал о плюсах среднего профессионального образования. Эксперты рассказывают, как выбрать колледж, поступить в вуз без ЕГЭ и приобрести хорошо оплачиваемую профессию. В качестве одного из экспертов выступил автор телеграм-канала «Наука и университеты».
RTVI «топит» за СПО. На портале RTVI опубликован полезный школьникам и их родителям материал о плюсах среднего профессионального образования. Эксперты рассказывают, как выбрать колледж, поступить в вуз без ЕГЭ и приобрести хорошо оплачиваемую профессию. В качестве одного из экспертов выступил автор телеграм-канала «Наука и университеты».
🤔1
Друзья мои! Рассказываю забавный случай из своей жизни. Ровно год назад приключилась у меня смешная болезнь. ДППГ называется. Ёжику понятно, что я слыхом не слыхивал о таком приколе.
Итак, ДППГ - это когда "поплавок" в ухе, отвечающий за вестибулярный аппарат, уплывает не туда. Ощущения - космос. Лежишь, а потолок перед тобой как на карусели крутится. Пытаешься чуть присесть и падаешь в произвольную сторону, куда получится. Стресс для организма беспредельный - я один вечер прострадал-повеселился, а потом организм неделю в себя приходил.
Диагноз мне по телефону и сходу поставил молодой доктор (прикол в том, что в районной поликлинике местный врач не знал такого слова - ДППГ) Словом, я теперь только сюда бегу за консультацией. И Вам не то чтобы желаю (лучше не болейте), но рекомендую. Вот ссылка на канал в инстаграме:
https://www.instagram.com/alina__cares?igsh=YzNlMzV6MWVmMzRq&utm_source=qr
Подписывайтесь и читайте/слушайте. Как только увижу, что есть тг-канал, тоже сразу ссылку дам.
Итак, ДППГ - это когда "поплавок" в ухе, отвечающий за вестибулярный аппарат, уплывает не туда. Ощущения - космос. Лежишь, а потолок перед тобой как на карусели крутится. Пытаешься чуть присесть и падаешь в произвольную сторону, куда получится. Стресс для организма беспредельный - я один вечер прострадал-повеселился, а потом организм неделю в себя приходил.
Диагноз мне по телефону и сходу поставил молодой доктор (прикол в том, что в районной поликлинике местный врач не знал такого слова - ДППГ) Словом, я теперь только сюда бегу за консультацией. И Вам не то чтобы желаю (лучше не болейте), но рекомендую. Вот ссылка на канал в инстаграме:
https://www.instagram.com/alina__cares?igsh=YzNlMzV6MWVmMzRq&utm_source=qr
Подписывайтесь и читайте/слушайте. Как только увижу, что есть тг-канал, тоже сразу ссылку дам.
👍4😱1🙏1
Набор достаточно неожиданных задач совершенно разной сложности. Прям даже не знаю кому подойдет. Решений нет, только ответы, поэтому если увлечетесь задачей и не сможете решить, а решение хочется узнать - останетесь в дурацкой ситуации.
Forwarded from Я Математик
Занимательная книга.pdf
745.8 KB
88 занимательных и олимпиадных задач по математике
В.Л. Литвинов (2015)
Умникам и умницам! Проверьте свои знания, находчивость и сообразительность, решая задачи из этого сборника задач – занимательных, веселых, неожиданных. Это увлекательная коллекция хитрых вопросов, занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. Книга так же содержит множество олимпиадных задач из самых различных областей математики. Удачный подбор материала доставит большое удовольствие самому широкому кругу читателей – любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг. Эти непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить, позволят приобщиться к радости самостоятельного открытия, глубже узнать окружающий мир. Пособие адресовано веселым, находчивым и сообразительным читателям!
👉 @Pomatematike
В.Л. Литвинов (2015)
Умникам и умницам! Проверьте свои знания, находчивость и сообразительность, решая задачи из этого сборника задач – занимательных, веселых, неожиданных. Это увлекательная коллекция хитрых вопросов, занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. Книга так же содержит множество олимпиадных задач из самых различных областей математики. Удачный подбор материала доставит большое удовольствие самому широкому кругу читателей – любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг. Эти непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить, позволят приобщиться к радости самостоятельного открытия, глубже узнать окружающий мир. Пособие адресовано веселым, находчивым и сообразительным читателям!
👉 @Pomatematike
👍1
Forwarded from Осторожно, новости
Утром в день ЕГЭ по обществознанию в сети появились сканы реальных вариантов экзамена.
По словам преподавателей, такого масштабного слива не было уже несколько лет.
Как рассказал «Осторожно, новости» репетитор по обществознанию Дмитрий, вчера утром в день экзамена (около 10:30 по московскому времени, незадолго после начала экзамена) его коллегам из Москвы прислали сканы реального варианта ЕГЭ, который совпал с тем, что, к примеру, попадался в школах Кавказа. Слив разошелся по школьным чатам, пока его не начали срочно удалять. Неизвестно, во сколько именно он впервые появился в сети и сколько учеников успело ознакомиться с ним перед экзаменом.
По словам Дмитрия, последний подобный слив сканов перед экзаменом был в 2018 году: «Дело не в том, что были варианты. Да, их выкладывали в сеть, но обычно это были фотографии от самих школьников, а не целый скан. Вероятно, его кто-то купил». По словам специалиста, вопросы с Дальнего Востока (в формате 17-20), за которые дают около 20 вторичных баллов, совпали с реальным экзаменом на 100%.
По словам преподавателей, такого масштабного слива не было уже несколько лет.
Как рассказал «Осторожно, новости» репетитор по обществознанию Дмитрий, вчера утром в день экзамена (около 10:30 по московскому времени, незадолго после начала экзамена) его коллегам из Москвы прислали сканы реального варианта ЕГЭ, который совпал с тем, что, к примеру, попадался в школах Кавказа. Слив разошелся по школьным чатам, пока его не начали срочно удалять. Неизвестно, во сколько именно он впервые появился в сети и сколько учеников успело ознакомиться с ним перед экзаменом.
По словам Дмитрия, последний подобный слив сканов перед экзаменом был в 2018 году: «Дело не в том, что были варианты. Да, их выкладывали в сеть, но обычно это были фотографии от самих школьников, а не целый скан. Вероятно, его кто-то купил». По словам специалиста, вопросы с Дальнего Востока (в формате 17-20), за которые дают около 20 вторичных баллов, совпали с реальным экзаменом на 100%.
😱4😡1
Пока сам книгу не просмотрел (позже сделаю), но уверен, что автор нормально объясняет почему по Колмогорова (то есть до 1930-х годов) теория вероятностей строго говоря не была наукой математической, так как не базировалась на системе аксиом.
Forwarded from Я Математик
Четыре_алгоритмических_лица_случайности_2_е_издание_исправленное.pdf
340.6 KB
Четыре алгоритмических лица случайности 2-е издание, исправленное
В.А.Успенский (2009)
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 23 июля
2005 года в летней школе «Современная математика» в Дубне. Она посвящена
формализации такого интуитивно ясного термина, как «случайность». В брошюре рассматривается четыре разных подхода к этому понятию, основанных
на характерных свойствах случайных последовательностей: частотоустойчивость,
хаотичность, типичность и непредсказуемость. Вводятся важнейшие в теории алгоритмов понятия перечислимости, вычислимости, энтропии и колмогоровской
сложности. С их помощью и можно попытаться ответить на вопрос, с которым
не справляется классическая теория вероятностей: определить, можно ли, например, индивидуальную последовательность нулей и единиц считать случайной или
нет. В последней главе проводится обобщение понятий частотоустойчивости, хаотичности, типичности и непредсказуемости на случай вычислимого распределения.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.
Предварительных знаний от читателя не потребуется, однако будет полезным
знакомство с теорией алгоритмов, а для чтения последней главы — с основными
понятиями теории вероятностей.
👉 @Pomatematike
В.А.Успенский (2009)
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 23 июля
2005 года в летней школе «Современная математика» в Дубне. Она посвящена
формализации такого интуитивно ясного термина, как «случайность». В брошюре рассматривается четыре разных подхода к этому понятию, основанных
на характерных свойствах случайных последовательностей: частотоустойчивость,
хаотичность, типичность и непредсказуемость. Вводятся важнейшие в теории алгоритмов понятия перечислимости, вычислимости, энтропии и колмогоровской
сложности. С их помощью и можно попытаться ответить на вопрос, с которым
не справляется классическая теория вероятностей: определить, можно ли, например, индивидуальную последовательность нулей и единиц считать случайной или
нет. В последней главе проводится обобщение понятий частотоустойчивости, хаотичности, типичности и непредсказуемости на случай вычислимого распределения.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.
Предварительных знаний от читателя не потребуется, однако будет полезным
знакомство с теорией алгоритмов, а для чтения последней главы — с основными
понятиями теории вероятностей.
👉 @Pomatematike
👍3
Forwarded from Наука и университеты
Агентство RAEX в четырнадцатый раз представило рейтинг ста лучших вузов России, входящий в семейство «Три миссии университета». В 2025 году в список лучших вошли высшие учебные заведения из 30 регионов РФ.
ТОП – 10 выглядит так:
1.МГУ им. М.В.Ломоносова
2.МГТУ им.Н.Э. Баумана
3.МФТИ
4.СПбГУ
5.МИФИ
6.МГИМО
7.ВШЭ
8.СПбПУ Петра Великого
9.РАНХиГС при Президенте РФ
10.Финансовый университет при Правительстве РФ
Так что в десятке лидеров представлены только вузы Москвы и Санкт-Петербурга. Из нестоличных вузов лучшими оказались УрФУ (11 место) и Томский политех (12 место).
По отраслевой принадлежности участники «сотни лучших» распределились следующим образом:
инженерно-технические вузы – 37,
классические университеты – 27,
медицинские вузы – 17,
вузы социогуманитарного профиля – 9,
педагогические университеты – 6,
аграрные вузы – 3,
архитектурно-строительные университеты – 1.
Сто лучших вузов
ТОП – 10 выглядит так:
1.МГУ им. М.В.Ломоносова
2.МГТУ им.Н.Э. Баумана
3.МФТИ
4.СПбГУ
5.МИФИ
6.МГИМО
7.ВШЭ
8.СПбПУ Петра Великого
9.РАНХиГС при Президенте РФ
10.Финансовый университет при Правительстве РФ
Так что в десятке лидеров представлены только вузы Москвы и Санкт-Петербурга. Из нестоличных вузов лучшими оказались УрФУ (11 место) и Томский политех (12 место).
По отраслевой принадлежности участники «сотни лучших» распределились следующим образом:
инженерно-технические вузы – 37,
классические университеты – 27,
медицинские вузы – 17,
вузы социогуманитарного профиля – 9,
педагогические университеты – 6,
аграрные вузы – 3,
архитектурно-строительные университеты – 1.
Сто лучших вузов