В квантовой механике есть важный класс операторов – проекционные операторы, проекторы. Это эрмитовы операторы, а соответственно им должны соответствовать какие-то измеряемые величины. Собственными значениями операторов проекции могут быть либо 0, либо 1. Это означает, что измерение, описываемое оператором проекции, всегда можно сформулировать в виде вопроса, ответом на который будет нет (0) или да (1).

Из названия очевидно, что если подействовать оператором проекции на вектор состояния, то он спроецируется на пространство меньшей размерности. Это обобщение понятия проекции одного вектора на другой, записываемого обычно через скалярное произведение векторов.
Физическим смыслом такой проекции является коллапс вектора состояния (волновой функции) при измерении. Поскольку проекторы неунитарны, они не подчиняются уравнению Шредингера и закону унитарной эволюции. Они и не должны по определению. Проекция обнуляет некоторые компоненты вектора, поэтому сумма остальных уже не будет 100%. Вектор уже не будет нормированным и такая эволюция неунитарна.

Еще пара интересных свойств операторов проекции.

1. Через них можно найти вероятность получения да/нет в вопросе, описываемом проектором Р. Вероятность равна ожидаемому значению <psi|P|psi>.

2. Любой эрмитов оператор можно разложить на сумму нескольких операторов проекции, причем они все коммутируют друг с другом. Физически это означает, что любую измеряемую величину, любое измерение, можно представить как серию измерений да/нет, причем их можно выполнять в любой последовательности. Серия измерений будет проецировать (коллапсировать) вектор на пространства все меньшей и меньшей размерности (максимум до одномерного).

Так что описание процесса коллапса уже есть в стандартной математике КМ. Что еще хотят найти фрики, помимо действия оператора проекции на вектор, мне непонятно.

Добрый день, друзья! Долго я бегал и прятался от Никиты Владимировича, который требовал с меня описать опыт организации МАН.
Ума-то сразу не хватило в интернет заглянуть. Чего там только нет! Сам обалдел! Но то, что я это когда-то написал, повергает меня в крайнее изумление.
Исключительно методом исключения догадался, что это отсюда:
Ш. Цыганов Малая Академия наук уфимских школьников // Народное образование. 2000. №6. С. 260-264.

Кто не в курсе - журнал жутко крутой был в области пед. наук (а может и сейчас есть - кто ж их знает?). Очередная загадка - как я там оказался?

Зачем выкладываю? Никита Владимирович находит тот опыт актуальным по сей день. Молодежь, дерзайте! Копировать не надо, а идейки почерпнуть можно...

Имеется две игры, каждая из которых в долговременной перспективе ведёт к разорению. Например, такие:
Игра А: Немного нечестная монета: вероятность выигрыша 49%, а проигрыша — 51%. (Матожидание отрицательное: –2% от ставки.)
Игра Б: Зависит от вашего капитала: если он кратен 3, используем монету с шансом выигрыша 9%, а если не кратен 3, то с шансом выигрыша 74%. (Здесь матожидание тоже отрицательное: –1,5% от ставки.)
Вам разрешено установить порядок, в котором вы будете играть в эти игры, как-то их чередуя по своему разумению, например: AББAБAББAБ... или, скажем, так: при чётном текущем капитале играть в игру А, а при нечётном — в игру Б.

Вопрос: Можно ли, играя таким образом, в долгосрочном плане выиграть?

Так можно ли выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры?

Другими словами, без всякой математики понятно, что если у тебя в данный момент капитал равен 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,..., то играем в игру Б, а если в данный момент у тебя в кармане 3, 6, 9, 12, 15,..., то играем в игру А.

Суть статьи малость в другом (кстати, сам автор неправильно эту суть сформулировал в описании игры. У него ключевые слова чередуя (игры) по своему разумению. Ещё раз - если играть "по своему разумению", то есть придерживаться выигрышной стратегии, которую я назвал выше, то даже математика не нужна понять свой очевидный профит).

Суть парадокса в том, что даже если ты на каждом ходе будешь выбирать одну их игр А или Б случайным образом, то всё равно математическое ожидание положительно, то есть в твою пользу! Вот это реально парадокс.

📌 ИИ в научных исследованиях: иллюзия ускорения

Использование AI в научных исследованиях переживает экспоненциальный рост: с 2% всех публикаций в 2015 до почти 8% в 2022 году. Но на фоне этого роста всё отчётливее проступает системная проблема: преувеличенная эффективность ИИ-методов, некорректные сравнения, замалчивание неудач.

Физик из Принстона Nick McGreivy прошёл этот путь на собственном опыте. В 2018 году, будучи студентом докторантуры, он решил сменить направление исследований и применить ИИ для решения дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) — центрального инструмента в физике плазмы, реакторной инженерии, космологии. Его выбор пал на модный метод PINN (Physics-Informed Neural Networks) — нейросети, встраивающие PDE напрямую в функцию потерь.

PINN обещали "ускорение на порядки" по сравнению со стандартными численными методами. Казалось бы, революция. Но при первых же попытках воспроизвести результаты возникло ощущение, что модель “разваливается” при малейших изменениях. Простые уравнения, вроде 1D Vlasov, решались нестабильно. При попытке перейти к чуть более сложным — результат попросту терял смысл.

Позже он выяснил, что и у других исследователей — аналогичный опыт. Но почти никто не публиковал эти неудачи. Оригинальная статья о PINN набрала к тому моменту 14 000 цитирований. Ни слова о том, что метод не работает при отступлении от идеализированных задач. Только в 2021 году вышла первая статья о режимах отказа PINN, собравшая за год более тысячи цитирований — сотни людей сталкивались с проблемами, но молчали.

📊 McGreivy решил пойти дальше — он провёл систематический обзор 76 работ, сравнивающих ИИ-решатели с классическими методами численного решения PDE (например, в механике жидкостей, уравнения Навье–Стокса). Итог: в 79% случаев сравнение было несправедливым — или использовались устаревшие численные схемы, или нарушалась корректность условий. Чем более “впечатляющим” выглядело ускорение, тем более слабой была базовая линия сравнения. Публикации с отрицательными результатами почти отсутствовали.

🧠 Это классическая ошибка выжившего, хорошо знакомая статистикам: в научной литературе остаются только успешные эксперименты. Аналогичный феномен наблюдается и в медицинских исследованиях: анализ распределения z-значений в более чем миллионе публикаций показал резкое падение числа “незначимых” результатов — всё, что не прошло статистический порог, чаще всего просто не публиковалось.

В ИИ для науки происходит то же самое. Только вместо p-value — “ускорение”, “точность” и “инновационность”. Исследователи публикуют, когда их модели превосходят другие подходы — и молчат, когда не превосходят. В результате создаётся иллюзия, что ИИ всегда работает, всегда лучше и всегда приводит к прорыву.

💸 Но это ещё не всё. Употребление ИИ в научной среде растёт не только из-за пользы для самой науки, но и из-за пользы для самих учёных. Использование ИИ-контекста повышает цитируемость в 3 раза. Гранты, репутация, возможности трудоустройства — всё это толкает исследователей к тому, чтобы “натянуть” ИИ на любую задачу.

И McGreivy честно признаёт: он сам пошёл в ИИ, думая не только о пользе для физики, но и о деньгах, возможностях и престиже. Он видел, как руководители его лаборатории обсуждали ИИ в контексте фондрайзинга, а не научной строгости.

📉 Что из этого следует?

ИИ — не “революция”, а инструмент. Местами — полезный, местами — ненадёжный. Всё зависит от конкретной задачи, математики и постановки эксперимента.

Публикуемые результаты завышены. Из-за слабых бенчмарков, скрытых неудач и конфликтов интересов. Особенно это касается «новых» методов в PDE и численном моделировании.

Наука становится похожей на маркетинг. Исследователи ищут не открытие, а результат, который “продаётся”. Проблема формулируется после выбора метода.

Без отрицательных результатов нет репликации. А значит, и нет строгой науки. ИИ в науке сегодня рискует повторить путь «науки о питании» — где каждая новая статья опровергает предыдущую.

📎 Резюме от McGreivy: "ИИ может быть полезен, но сегодня мы склонны переоценивать его эффективность. Без теоретических гарантий и надёжности, сравнимой с численными методами, это всего лишь гипотеза, нуждающаяся в верификации. Скепсис — необходимое условие научного прогресса."

Термин «копенгагенская интерпретация квантовой механики» несколько запутывает. Тут первые два слова следует отбросить потому что «копенгагенская интерпретация квантовой механики» является синонимом «квантовая механика».

Гейзенберг ввел термин потому что на то время велись бурные дискуссии с Эйнштейном по поводу детерминизма. Изначально Гейзенберг называл точку зрения отцов-основателей Copenhagen Spirit (копенгагенский дух, если дословно). Потом spirit он переименовал в interpretation, но суть не поменялась.

А суть в том, что «интерпретации» на самом деле не интерпретации, а просто другие теории, отличные от квантовой механики. Теория де Бройля с волной-пилотом, теории объективного коллапса, все это не интерпретации, а теории, которые можно опровергнуть экспериментом. И они опровергнуты экспериментом. Идеи Эйнштейна касательно детерминизма в КМ опровергнуты экспериментально. Поэтому дух Копенгагена возобладал, а все другие теории считаются сейчас фриковыми.

Распиаренная многомировая интерпретация тоже на самом деле не интерпретация, а отдельная теория, опровергнутая экспериментом. Гейзенберг сам впоследствии говорил, что пожалел о том, что ввел термин «интерпретация». Квантовая механика не допускает интерпретаций, это строго определенная теория, выраженная на строгом математическом языке. Там нечего интерпретировать. Это все равно, что интерпретировать теорему Пифагора.

Вузы США возвращают бумажные экзамены из-за ИИ — и это уже влияет на продажи тетрадей

Американские университеты начали массово отказываться от цифрового формата сдачи экзаменов. Причина — повсеместное использование студентами нейросетей. В ответ преподаватели возвращают старый добрый способ контроля знаний: тетрадь, ручка, аудитория.

Продажи так называемых «голубых книжек» — стандартных экзаменационных тетрадей — выросли за два учебных года более чем на 30% в Техасском университете A&M, почти на 50% во Флориде и на 80% в Беркли, сообщает The Wall Street Journal.

Преподаватели вынуждены менять подходы к проверке знаний. В Йельском университете профессор философии обнаружил в эссе студентов несуществующие цитаты, сгенерированные ИИ. В аудиториях с математикой и программированием теперь просят оставлять телефоны перед выходом в туалет — потому что ChatGPT и другие языковые модели стали эффективнее калькуляторов.

По данным WSJ, летом, когда студенты не сдают работы и не учатся, трафик ChatGPT стабильно падает. Совпадение — или нет?

Ждем подобного в России?

Когда пространство закручивается: как математики раскрыли тайну 126-мерного мира

В нашей привычной жизни пространство трёхмерно, и даже самые смелые фантазии редко заходят дальше четвёртого измерения. Но в глубинах математической теории скрываются миры, где количество измерений достигает сотен, и поведение фигур в этих мирах подчиняется странным, почти сюрреалистическим законам. Одной из таких загадок стала размерность 126 — и только в 2025 году математики окончательно подтвердили: она содержит формы, которые невозможно «развязать» или преобразовать в обычную сферу. Эти формы — скрученные, аномальные многообразия — стали частью завершённой истории длиной в 65 лет.

Началось всё в 1950-х годах, когда Джон Милнор поразил научное сообщество открытием экзотических сфер — фигур, которые топологически выглядят как обычные сферы, но имеют отличную «гладкость». Это означало, что на них можно нарисовать линии, которые были бы плавными в одном понимании, но «ломаными» в другом. Чтобы классифицировать такие формы, Милнор предложил метод «хирургии»: аккуратного вырезания и вшивания новых участков в многообразие с сохранением гладкости.

Позже французский математик Мишель Кервер создал инвариант — числовой признак, определяющий, можно ли с помощью хирургии превратить форму в сферу. Если значение инварианта равно нулю, преобразование возможно; если один — невозможно. И вскоре выяснилось: в некоторых особых измерениях (2, 6, 14, 30) существуют формы, которые хирургически неупрощаемы — их инвариант равен 1. Такие формы получали всё больше внимания, и возникла гипотеза: они должны существовать во всех размерностях вида 2ⁿ − 2 — 62, 126, 254 и т.д.

Однако в 2010 году случился переворот. Группа математиков, включая Майкла Хопкинса, доказала: начиная с размерности 254, такие формы невозможны. Осталась лишь одна «серая зона» — загадочная размерность 126, последняя, где возможность существования скрученных фигур оставалась открытой.

Ответ на эту загадку нашли три математика: Вейнан Лин, Гоцжэнь Ван и Чжоули Сюй. Их работа стала не просто доказательством, а подвигом в вычислительной математике. Используя концепцию стабильных гомотопических групп — набора функций, отображающих многомерные сферы друг в друга, — они построили сложную модель на основе так называемой спектральной последовательности Адамса. Представьте книгу с бесконечными страницами, на которых изображены «точки» возможных отображений между сферами. Каждая точка — потенциальный «вкус» формы в данной размерности. И только те точки, которые «выживают» до последней страницы, указывают на существование устойчивых форм.

Для 126-й размерности была особая точка — и её судьба решала, существуют ли там скрученные формы. Исследователям удалось исключить все 105 путей, ведущих к исчезновению этой точки, и доказать: она действительно «доживает» до последней страницы. Это означает, что в 126-й размерности существуют формы с инвариантом Кервера, равным 1 — странные и скрученные, неподдающиеся «развязыванию».

Интересно, что такие формы составляют ровно половину от всех возможных в данной размерности, но ни одна из них пока не описана явно. Математики уверены: за этими исключительными измерениями скрываются глубокие принципы, а их понимание может изменить представление о многомерной геометрии.

Работа Лина, Вана и Сюя — не конец, а только начало новой главы. Их методы открывают путь к изучению других загадочных точек в спектральной последовательности — потенциально ведущих к открытиям в ещё более высоких измерениях. Как выразился один из исследователей: «Там ждёт ещё множество историй».

https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/

Вот что писал «великий русский педагог, передовой общественный деятель, создатель научной педагогической системы» К.Д. Ушинский о занятиях математикой:

«Школьный же опыт показывает нам странное явление: молодые люди, с любовью и успехом занимающиеся математикою, чаще всего оказываются малоспособными к другим наукам, особенно к словесности и истории. На математиках-специалистах весьма часто во всю их жизнь лежит какой-то странный оттенок ограниченности, и нередко с глубоким знанием математики уживаются в голове самые дикие, уродливые фантазии и упорнейшие, ограниченнейшие предрассудки. Математика изучает только формальную сторону мира и только формальным образом развивает человека». («Педагогические идеи Н.И.Пирогова»)

«В прежнее время математика пользовалась известностью науки, исключительно развивающей рассудок, но современные германские педагоги почти совершенно отнимают у математики это достоинство, утверждая, что она развивает только математические способности… Но если математические законы примешиваются ко всему, то они далеко не обнимают собой всего и если они служат основанием многим техническим наукам, то вне этого технического приложения менее всего доставляют пользы в понимании общественной жизни, которая слагается из элементов, вовсе не подлежащих исчислению математики. Математические соображения слишком прямолинейны, тогда как всякий жизненный вопрос требует соединения в фокус одной идеи множества разнообразнейших и повсюду разбросанных данных. Вот почему исключительное занятие математикой кладет иногда особенно вредный в жизни отпечаток на человека, сообщает его мыслям именно эту математическую прямолинейность, делает его взгляды на жизнь односторонними, придает им какую-то особенную сухость и безжизненность. Привычка же доверяться верности математических выводов делает часто математиков упрямыми фантазерами или бесплодными критиками. Начав с известного или справедливого положения, не видя множества разнообразнейших жизненных влияний, они приходят иногда к самым эксцентрическим выводам или к особенно сухой и бесплодной формальности <…>
Преобладание математического и технического направления составляют, без сомнения, одну не из последних причин замечательного бессилия и бесплодия нашей администрации, которая, несмотря на свою громадность, математическую рассчитанность и вечное движение своих бесчисленных колес, дает так мало положительных результатов». («Письма о воспитании наследника русского престола».)

Согласны с «основоположником оригинальной русской педагогики»? 😊

Уже сутки в нашем канале идет голосование по поводу законопроекта, разрешающего студентам непедагогических специальностей преподавать в школах. За это время свое мнение высказали порядка 2,5 тысяч человек. 52% участников поддержали законопроект, 36% высказались против.
Отметим, что в предложенном подписчикам вопросе из-за ограничений телеграмма на число знаков не было сказано об условии, что студенты обязательно должны пройти программу профессиональной переподготовки по направлению «Образование и педагогические науки». Судя по комментариям, не все участники опроса знали подробности обсуждаемого документа. Если бы этот момент был учтен в вопросе, доля сторонников, вероятно, была бы ещё больше.

Полагаю, что многие из участников опроса, проголосовавших «за», осознают, что данный законопроект – это своего рода жест отчаяния. Стало понятно, что действующая система подготовки педагогов в профильных вузах при сегодняшней оплате учительского труда и нынешнем отношении к профессии учителя не может решить кадровую проблему в образовании. И было бы совсем неплохо, если бы предлагаемая мера хоть как-то помогла в решении этой проблемы. Хотя серьезно рассчитывать на это, на мой взгляд, не стоит – большинство университетов находится в крупных городах, а учителей чаще всего не хватает в малых населенных пунктах.

Про стандартное и нестандартное решение задачи

Известная история с просторов сети Интернет

Однажды к Эрнеcту Резерфорду, президенту Королевской академии, обратился коллега за помощью.

Он собирался поставить самую низкую оценку по физике одному из своих студентов, в то время как тот утверждал, что заслуживает высшего балла.
Экзаменационный вопрос гласил: «Объясните, каким образом можно измерить
высоту здания с помощью барометра?».

Прибор для измерения атмосферного давления дает разные показания на крыше здания и внизу, за счет чего и считается высота.

Но ответ студента был таким: «Нужно подняться с барометром на крышу здания, спустить барометр вниз на длинной верёвке, а затем втянуть его обратно и измерить длину верёвки, которая и покажет точную высоту здания».

Случай был и впрямь сложный, так как ответ был абсолютно полным и верным!

С другой стороны, это был экзамен был по физике, а решение имело мало общего с применением знаний в этой области.

Резерфорд предложил студенту попытаться ответить ещё раз.
Дав ему шесть минут на подготовку, он предупредил его, что ответ должен демонстрировать знание физических законов.

По истечении пяти минут студент так и не написал ничего в экзаменационном листе.

Резерфорд спросил его, сдаётся ли он, но тот заявил, что у него есть несколько решений проблемы, и он просто выбирает лучшее.

Заинтересовавшись, Резерфорд попросил молодого человека поскорее приступить к ответу.

Новое решение звучало так: «Поднимитесь с барометром на крышу и бросьте его вниз, замеряя время падения.
Затем, используя формулу, вычислите высоту здания».

Тут Резерфорд спросил своего коллегу преподавателя, доволен ли он этим ответом.

Тот, наконец, сдался, признав ответ удовлетворительным. Однако студент упоминал, что знает еще несколько нетривиальных решений, и его попросили рассказать их.

— Есть несколько способов измерить высоту здания с помощью барометра, — начал студент. — Например, можно выйти на улицу в солнечный день и измерить высоту барометра и его тени, а также измерить длину тени здания. Затем, решив несложную пропорцию, определить высоту самого здания.

— Неплохо, — сказал Резерфорд. — Есть и другие способы?

— Да. Есть очень простой способ, который, уверен, вам понравится.
Вы берёте барометр в руки и поднимаетесь по лестнице, прикладывая барометр к стене и делая отметки. Сосчитав количество этих отметок и умножив его на размер барометра, вы получите высоту здания. Вполне очевидный метод.
— Если вы хотите более сложный способ, — продолжал он, — то привяжите к барометру шнурок и, раскачивая его, как маятник, определите величину гравитации у основания здания и на его крыше. Из разницы между этими величинами, в принципе, можно вычислить высоту здания.
В этом же случае, привязав к барометру шнурок, вы можете подняться с вашим маятником на крышу и, раскачивая его, вычислить высоту здания по периоду прецессии.

— Наконец, — заключил он, — среди множества прочих решений данной проблемы лучшим, пожалуй, является такой: возьмите барометр с собой, найдите управляющего и скажите ему: «Господин управляющий, у меня есть замечательный барометр. Он ваш, если вы скажете мне высоту этого здания».

Тут Резерфорд спросил студента, неужели он действительно не знал общепринятого решения этой задачи.

Он признался, что знал, но сказал при этом, что сыт по горло школой и колледжем, где учителя навязывают ученикам свой способ мышления, который не всегда приемлет не стандартных решений.

А студент этот был Нильс Бор (1885–1962), датский физик, будущий лауреат Нобелевской премии...

#юмор #ЭтоИнтересно

К.Д. Ушинский, конечно, выдающийся педагог. Но в ценностях образования разбирался не очень…
В чём же он заблуждался?

1. Считал, что математика учит лишь «прямолинейным» выводам.
Однако, решение математических задач требует прежде всего не знания алгоритмов, а творческого подхода — математика развивает гибкость ума. И абстрактное мышление есть сила, а не слабость: умение строить модели помогает анализировать сложные системы.
2. Противопоставлял математику и гуманитарные науки.
В реальности они не противоположны, а нередко и взаимно дополняют друг друга. Например, лингвисты применяют статистику и алгоритмы для анализа текстов; логика и теория вероятностей объясняют, как люди принимают решения; математические модели помогают реконструировать экономику прошлого. Математика служит основой междисциплинарного взаимодействия различных наук, является языком, на котором говорят все науки.
3. Опасался, что математики «упорно доверяют формулам», «становятся упрямыми фантазёрами».
Это не соответствует действительности. Многие настоящие математики являются глубокими мыслителями, не только владеющими логикой, но и умеющими творчески подходить к задачам реального мира.
На деле математика учит скептицизму, а не догматизму, воспитывает критическое мышление, ибо любое утверждение требует доказательства. Математика приучает проверять каждое утверждение, искать ошибки, сомневаться в очевидном — это полный антипод «упрямым фантазиям». И именно это защищает от псевдонаучных мифов.
4. Упрекал математику в «сухости» и «бесплодности».
Ограниченность — следствие неумелого педагогического преподнесения, а не самой науки. Отсутствие прямой практической пользы от изучения собственно математики является скорее достоинством, чем недостатком. Сегодня мы наблюдаем в системе образования перекос в противоположную сторону — стремление во что бы то ни стало получить практическую пользу от полученных минимальных знаний.
И всё же, тут скорее имеет место критика не самой математики и приложимости её результатов к жизни, а манеры её преподавания в то время — сухой и начётнической.
5. Утверждал, что математика игнорирует «жизненные влияния» и «разнообразие данных».
Но математика не «упрощает» реальность — она помогает её структурировать, видеть связи там, где они неочевидны. Современная математика включает теорию вероятностей, статистику, теорию игр и моделирование — инструменты, которые анализируют неопределённость, случайность и сложные системы. Именно системное математическое мышление позволяет анализировать общественные процессы: как распространяется информация (графы и теория вероятностей); как работают выборы и голосования (теория игр); как формируются рынки и спрос (математическая экономика); как бороться с фейками и предсказывать кризисы (анализ данных). Математика — не «формальная сторона мира», а мощный инструмент познания сложности. Она не отрывает от жизни, а помогает её понять.
6. Связывал бюрократическую неэффективность с математическим мышлением.
Проблема здесь, конечно, не в математике, а в неумении применять её методы к сложным системам. Современный менеджмент вполне успешно использует математику (анализ данных, оптимизацию, теорию графов, машинное обучение) для повышения эффективности.

В оправдание Ушинского можно привести контекст его высказываний. Он сам был гуманитарием, специалистом по языку и психологии. А то, что человеку плохо известно, нередко кажется ему переоценённым или даже вредным. Это то, что сегодня называют когнитивным искажением компетентности.
Основоположник педагогической системы жил в эпоху промышленной революции, когда рост влияния техники вызывал опасения, а математика ассоциировалась с бездушной механизацией.
Ушинский боролся за развитие личности, гуманитарное и нравственное воспитание, противопоставляя его развитию абстрактного «рассудка», и в полемике немного зарапортовался — не учёл, что математическое мышление — тоже часть гуманитарной культуры, что развиваемая математикой способность мыслить абстрактно и критически — не менее важный элемент мышления, чем эмоциональное сопереживание и историческая эмпатия.