С днём Великой Победы!!!

Как законы электротехники помогли решить задачу квадрирования квадрата

В 1903 г. Макс Ден задал вопрос: «Можно ли разрезать квадрат на конечное число меньших квадратов, все разных размеров?». Долгое время задача считалась нерешаемой — до 1939 г., когда первые примеры такого разбиения всё же были найдены (четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета). Удивительным образом, эта задача оказалась тесно связанной с теорией графов, комбинаторикой и... правилами Кирхгофа из физики.
Они предложили представлять квадраты разбиения как элементы электрической цепи: линейный размер квадрата — сопротивление резистора; горизонтальные границы между квадратами — узлы цепи; вертикальные границы — контуры.
Как это работает? Каждый квадрат «втекает» током в свои границы.
По первому правилу Кирхгофа: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих. В терминах квадратов это означает, что сумма длин сторон, сходящихся в узле, должна быть одинаковой.
По второму правилу Кирхгофа: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Для квадратов это условие сохранения размеров при обходе контура.
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений, где неизвестные — длины сторон квадратов. Решение этой системы даёт искомое разбиение.
В 1978 г. было найдено минимальное разбиение из 21 квадрата (его размеры — корни системы из 26 уравнений!). Кстати, его нашёл студент-архитектор из Нидерландов — не математик.
Задача о квадрировании квадрата — яркий пример того, как идеи из одной области науки (электротехники) могут неожиданно решить проблему в другой (геометрии). Она напоминает: математика — это не набор изолированных тем, а единый организм, где всё взаимосвязано. Кажущиеся абстракции могут оказаться ключом к решению практических проблем — даже если для этого нужно представить квадраты резисторами!

Прочитать о квадрировании квадрата с помощью электрических цепей можно в книгах [Возможность разбиения на 21 квадрат на тот момент ещё не была известна!]:
Яглом И.М. «Как разрезать квадрат», 1968;
Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», 1971.

Специальная теория относительности и квантовая механика очень похожи как с математической, так и с философской точек зрения.

В СТО событие задается точкой в 4-мерном пространстве Минковского. Можно провести вектор из начала координат в эту точку и описывать событие координатами вектора (t, x, y, z). Или интервал между двумя событиями можно также представить вектором (t-t’, x-x’, y-y’, z-z’).

В КМ состояние системы описывается вектором состояния в пространстве Гильберта. Изменение во времени вектора состояние описывается действием унитарного оператора (матрицы). Он сохраняет длину вектора, то есть по сути может только поворачивать вектор.

В СТО преобразования Лоренца также можно рассматривать как матрицу 4х4, действующую на вектор-столбец 4х1 с координатами события (t, x, y, z). Длина вектора при этом тоже не меняется, но координаты меняются (t’, x’, y’, z’). Преобразования Лоренца также можно рассматривать как поворот вектора в пространства Минковского.

Но поскольку пространство Гильберта отличается от пространства Минковского, есть конечно и отличия. В КМ координаты вектора – комплексные числа и пространство может быть любой размерности, даже бесконечной. А в СТО вектор может быть отрицательной длины. Или равняться нулю при ненулевых координатах.

Но идея относительности с некоторыми нюансами применима в обоих теориях. В СТО разные наблюдатели описывают один и тот же вектор (интервал) разными координатами. Можно представить, что они раскладывают вектор в разных системах координат, повернутых друг относительно друга (через лоренцево преобразование). В КМ наблюдатель выбирает в каком базисе (системе координат) хочет произвести измерение и раскладывает вектор состояния в этом базисе. Поэтому разные наблюдатели могут описывать один и тот же вектор состояния разными компонентами (волновыми функциями).

Есть конечно и множество других схожестей и различий. Квантовая механика на мой взгляд более интуитивна т.к. векторы состояния более похожи на векторы, изучаемые в школе. Правило нахождения длины и теорема Пифагора работают. Длина вектора всегда неотрицательна. Можно найти проекцию одного вектора на другой и пр. В СТО из-за знака минус в метрике Минковского возникают всякие неинтуитивные вещи. Даже поворот (преобразование Лоренца) будет не обычным, а гиперболическим, что сложно представить.

В квантовой механике есть важный класс операторов – проекционные операторы, проекторы. Это эрмитовы операторы, а соответственно им должны соответствовать какие-то измеряемые величины. Собственными значениями операторов проекции могут быть либо 0, либо 1. Это означает, что измерение, описываемое оператором проекции, всегда можно сформулировать в виде вопроса, ответом на который будет нет (0) или да (1).

Из названия очевидно, что если подействовать оператором проекции на вектор состояния, то он спроецируется на пространство меньшей размерности. Это обобщение понятия проекции одного вектора на другой, записываемого обычно через скалярное произведение векторов.
Физическим смыслом такой проекции является коллапс вектора состояния (волновой функции) при измерении. Поскольку проекторы неунитарны, они не подчиняются уравнению Шредингера и закону унитарной эволюции. Они и не должны по определению. Проекция обнуляет некоторые компоненты вектора, поэтому сумма остальных уже не будет 100%. Вектор уже не будет нормированным и такая эволюция неунитарна.

Еще пара интересных свойств операторов проекции.

1. Через них можно найти вероятность получения да/нет в вопросе, описываемом проектором Р. Вероятность равна ожидаемому значению <psi|P|psi>.

2. Любой эрмитов оператор можно разложить на сумму нескольких операторов проекции, причем они все коммутируют друг с другом. Физически это означает, что любую измеряемую величину, любое измерение, можно представить как серию измерений да/нет, причем их можно выполнять в любой последовательности. Серия измерений будет проецировать (коллапсировать) вектор на пространства все меньшей и меньшей размерности (максимум до одномерного).

Так что описание процесса коллапса уже есть в стандартной математике КМ. Что еще хотят найти фрики, помимо действия оператора проекции на вектор, мне непонятно.

Добрый день, друзья! Долго я бегал и прятался от Никиты Владимировича, который требовал с меня описать опыт организации МАН.
Ума-то сразу не хватило в интернет заглянуть. Чего там только нет! Сам обалдел! Но то, что я это когда-то написал, повергает меня в крайнее изумление.
Исключительно методом исключения догадался, что это отсюда:
Ш. Цыганов Малая Академия наук уфимских школьников // Народное образование. 2000. №6. С. 260-264.

Кто не в курсе - журнал жутко крутой был в области пед. наук (а может и сейчас есть - кто ж их знает?). Очередная загадка - как я там оказался?

Зачем выкладываю? Никита Владимирович находит тот опыт актуальным по сей день. Молодежь, дерзайте! Копировать не надо, а идейки почерпнуть можно...

Имеется две игры, каждая из которых в долговременной перспективе ведёт к разорению. Например, такие:
Игра А: Немного нечестная монета: вероятность выигрыша 49%, а проигрыша — 51%. (Матожидание отрицательное: –2% от ставки.)
Игра Б: Зависит от вашего капитала: если он кратен 3, используем монету с шансом выигрыша 9%, а если не кратен 3, то с шансом выигрыша 74%. (Здесь матожидание тоже отрицательное: –1,5% от ставки.)
Вам разрешено установить порядок, в котором вы будете играть в эти игры, как-то их чередуя по своему разумению, например: AББAБAББAБ... или, скажем, так: при чётном текущем капитале играть в игру А, а при нечётном — в игру Б.

Вопрос: Можно ли, играя таким образом, в долгосрочном плане выиграть?

Так можно ли выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры?

Другими словами, без всякой математики понятно, что если у тебя в данный момент капитал равен 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,..., то играем в игру Б, а если в данный момент у тебя в кармане 3, 6, 9, 12, 15,..., то играем в игру А.

Суть статьи малость в другом (кстати, сам автор неправильно эту суть сформулировал в описании игры. У него ключевые слова чередуя (игры) по своему разумению. Ещё раз - если играть "по своему разумению", то есть придерживаться выигрышной стратегии, которую я назвал выше, то даже математика не нужна понять свой очевидный профит).

Суть парадокса в том, что даже если ты на каждом ходе будешь выбирать одну их игр А или Б случайным образом, то всё равно математическое ожидание положительно, то есть в твою пользу! Вот это реально парадокс.

📌 ИИ в научных исследованиях: иллюзия ускорения

Использование AI в научных исследованиях переживает экспоненциальный рост: с 2% всех публикаций в 2015 до почти 8% в 2022 году. Но на фоне этого роста всё отчётливее проступает системная проблема: преувеличенная эффективность ИИ-методов, некорректные сравнения, замалчивание неудач.

Физик из Принстона Nick McGreivy прошёл этот путь на собственном опыте. В 2018 году, будучи студентом докторантуры, он решил сменить направление исследований и применить ИИ для решения дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) — центрального инструмента в физике плазмы, реакторной инженерии, космологии. Его выбор пал на модный метод PINN (Physics-Informed Neural Networks) — нейросети, встраивающие PDE напрямую в функцию потерь.

PINN обещали "ускорение на порядки" по сравнению со стандартными численными методами. Казалось бы, революция. Но при первых же попытках воспроизвести результаты возникло ощущение, что модель “разваливается” при малейших изменениях. Простые уравнения, вроде 1D Vlasov, решались нестабильно. При попытке перейти к чуть более сложным — результат попросту терял смысл.

Позже он выяснил, что и у других исследователей — аналогичный опыт. Но почти никто не публиковал эти неудачи. Оригинальная статья о PINN набрала к тому моменту 14 000 цитирований. Ни слова о том, что метод не работает при отступлении от идеализированных задач. Только в 2021 году вышла первая статья о режимах отказа PINN, собравшая за год более тысячи цитирований — сотни людей сталкивались с проблемами, но молчали.

📊 McGreivy решил пойти дальше — он провёл систематический обзор 76 работ, сравнивающих ИИ-решатели с классическими методами численного решения PDE (например, в механике жидкостей, уравнения Навье–Стокса). Итог: в 79% случаев сравнение было несправедливым — или использовались устаревшие численные схемы, или нарушалась корректность условий. Чем более “впечатляющим” выглядело ускорение, тем более слабой была базовая линия сравнения. Публикации с отрицательными результатами почти отсутствовали.

🧠 Это классическая ошибка выжившего, хорошо знакомая статистикам: в научной литературе остаются только успешные эксперименты. Аналогичный феномен наблюдается и в медицинских исследованиях: анализ распределения z-значений в более чем миллионе публикаций показал резкое падение числа “незначимых” результатов — всё, что не прошло статистический порог, чаще всего просто не публиковалось.

В ИИ для науки происходит то же самое. Только вместо p-value — “ускорение”, “точность” и “инновационность”. Исследователи публикуют, когда их модели превосходят другие подходы — и молчат, когда не превосходят. В результате создаётся иллюзия, что ИИ всегда работает, всегда лучше и всегда приводит к прорыву.

💸 Но это ещё не всё. Употребление ИИ в научной среде растёт не только из-за пользы для самой науки, но и из-за пользы для самих учёных. Использование ИИ-контекста повышает цитируемость в 3 раза. Гранты, репутация, возможности трудоустройства — всё это толкает исследователей к тому, чтобы “натянуть” ИИ на любую задачу.

И McGreivy честно признаёт: он сам пошёл в ИИ, думая не только о пользе для физики, но и о деньгах, возможностях и престиже. Он видел, как руководители его лаборатории обсуждали ИИ в контексте фондрайзинга, а не научной строгости.

📉 Что из этого следует?

ИИ — не “революция”, а инструмент. Местами — полезный, местами — ненадёжный. Всё зависит от конкретной задачи, математики и постановки эксперимента.

Публикуемые результаты завышены. Из-за слабых бенчмарков, скрытых неудач и конфликтов интересов. Особенно это касается «новых» методов в PDE и численном моделировании.

Наука становится похожей на маркетинг. Исследователи ищут не открытие, а результат, который “продаётся”. Проблема формулируется после выбора метода.

Без отрицательных результатов нет репликации. А значит, и нет строгой науки. ИИ в науке сегодня рискует повторить путь «науки о питании» — где каждая новая статья опровергает предыдущую.

📎 Резюме от McGreivy: "ИИ может быть полезен, но сегодня мы склонны переоценивать его эффективность. Без теоретических гарантий и надёжности, сравнимой с численными методами, это всего лишь гипотеза, нуждающаяся в верификации. Скепсис — необходимое условие научного прогресса."

Термин «копенгагенская интерпретация квантовой механики» несколько запутывает. Тут первые два слова следует отбросить потому что «копенгагенская интерпретация квантовой механики» является синонимом «квантовая механика».

Гейзенберг ввел термин потому что на то время велись бурные дискуссии с Эйнштейном по поводу детерминизма. Изначально Гейзенберг называл точку зрения отцов-основателей Copenhagen Spirit (копенгагенский дух, если дословно). Потом spirit он переименовал в interpretation, но суть не поменялась.

А суть в том, что «интерпретации» на самом деле не интерпретации, а просто другие теории, отличные от квантовой механики. Теория де Бройля с волной-пилотом, теории объективного коллапса, все это не интерпретации, а теории, которые можно опровергнуть экспериментом. И они опровергнуты экспериментом. Идеи Эйнштейна касательно детерминизма в КМ опровергнуты экспериментально. Поэтому дух Копенгагена возобладал, а все другие теории считаются сейчас фриковыми.

Распиаренная многомировая интерпретация тоже на самом деле не интерпретация, а отдельная теория, опровергнутая экспериментом. Гейзенберг сам впоследствии говорил, что пожалел о том, что ввел термин «интерпретация». Квантовая механика не допускает интерпретаций, это строго определенная теория, выраженная на строгом математическом языке. Там нечего интерпретировать. Это все равно, что интерпретировать теорему Пифагора.

Вузы США возвращают бумажные экзамены из-за ИИ — и это уже влияет на продажи тетрадей

Американские университеты начали массово отказываться от цифрового формата сдачи экзаменов. Причина — повсеместное использование студентами нейросетей. В ответ преподаватели возвращают старый добрый способ контроля знаний: тетрадь, ручка, аудитория.

Продажи так называемых «голубых книжек» — стандартных экзаменационных тетрадей — выросли за два учебных года более чем на 30% в Техасском университете A&M, почти на 50% во Флориде и на 80% в Беркли, сообщает The Wall Street Journal.

Преподаватели вынуждены менять подходы к проверке знаний. В Йельском университете профессор философии обнаружил в эссе студентов несуществующие цитаты, сгенерированные ИИ. В аудиториях с математикой и программированием теперь просят оставлять телефоны перед выходом в туалет — потому что ChatGPT и другие языковые модели стали эффективнее калькуляторов.

По данным WSJ, летом, когда студенты не сдают работы и не учатся, трафик ChatGPT стабильно падает. Совпадение — или нет?

Ждем подобного в России?

Когда пространство закручивается: как математики раскрыли тайну 126-мерного мира

В нашей привычной жизни пространство трёхмерно, и даже самые смелые фантазии редко заходят дальше четвёртого измерения. Но в глубинах математической теории скрываются миры, где количество измерений достигает сотен, и поведение фигур в этих мирах подчиняется странным, почти сюрреалистическим законам. Одной из таких загадок стала размерность 126 — и только в 2025 году математики окончательно подтвердили: она содержит формы, которые невозможно «развязать» или преобразовать в обычную сферу. Эти формы — скрученные, аномальные многообразия — стали частью завершённой истории длиной в 65 лет.

Началось всё в 1950-х годах, когда Джон Милнор поразил научное сообщество открытием экзотических сфер — фигур, которые топологически выглядят как обычные сферы, но имеют отличную «гладкость». Это означало, что на них можно нарисовать линии, которые были бы плавными в одном понимании, но «ломаными» в другом. Чтобы классифицировать такие формы, Милнор предложил метод «хирургии»: аккуратного вырезания и вшивания новых участков в многообразие с сохранением гладкости.

Позже французский математик Мишель Кервер создал инвариант — числовой признак, определяющий, можно ли с помощью хирургии превратить форму в сферу. Если значение инварианта равно нулю, преобразование возможно; если один — невозможно. И вскоре выяснилось: в некоторых особых измерениях (2, 6, 14, 30) существуют формы, которые хирургически неупрощаемы — их инвариант равен 1. Такие формы получали всё больше внимания, и возникла гипотеза: они должны существовать во всех размерностях вида 2ⁿ − 2 — 62, 126, 254 и т.д.

Однако в 2010 году случился переворот. Группа математиков, включая Майкла Хопкинса, доказала: начиная с размерности 254, такие формы невозможны. Осталась лишь одна «серая зона» — загадочная размерность 126, последняя, где возможность существования скрученных фигур оставалась открытой.

Ответ на эту загадку нашли три математика: Вейнан Лин, Гоцжэнь Ван и Чжоули Сюй. Их работа стала не просто доказательством, а подвигом в вычислительной математике. Используя концепцию стабильных гомотопических групп — набора функций, отображающих многомерные сферы друг в друга, — они построили сложную модель на основе так называемой спектральной последовательности Адамса. Представьте книгу с бесконечными страницами, на которых изображены «точки» возможных отображений между сферами. Каждая точка — потенциальный «вкус» формы в данной размерности. И только те точки, которые «выживают» до последней страницы, указывают на существование устойчивых форм.

Для 126-й размерности была особая точка — и её судьба решала, существуют ли там скрученные формы. Исследователям удалось исключить все 105 путей, ведущих к исчезновению этой точки, и доказать: она действительно «доживает» до последней страницы. Это означает, что в 126-й размерности существуют формы с инвариантом Кервера, равным 1 — странные и скрученные, неподдающиеся «развязыванию».

Интересно, что такие формы составляют ровно половину от всех возможных в данной размерности, но ни одна из них пока не описана явно. Математики уверены: за этими исключительными измерениями скрываются глубокие принципы, а их понимание может изменить представление о многомерной геометрии.

Работа Лина, Вана и Сюя — не конец, а только начало новой главы. Их методы открывают путь к изучению других загадочных точек в спектральной последовательности — потенциально ведущих к открытиям в ещё более высоких измерениях. Как выразился один из исследователей: «Там ждёт ещё множество историй».

https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/