Обсудим многомерные кубы. Двухмерный куб - это квадрат. Трёхмерный куб - это "наш" куб. Четырехмерный мы как бы типа пару дней рисовали. Пятимерный и далее - ... Ну вы поняли.

Давайте диагональ каждого куба считать. В двухмерном (в квадрате) - корень из 2. В "нашем трехмерном" - корень из 3. По картинке хорошо видно как осуществляется переход от корня из 2 к корню из 3. По теореме Пифагора.

Ежу понятно, что в 100-мерном кубе со стороной 1 диагональ будет равна корню из 100, то есть десяти. Десять, Карл, десять!!! Внутри стомерного куба со стороной один умещается отрезок длиной 10!

Стомерная гуттаперчевая девочка с ростом 1 метр 50 см все также с трудом будет умещаться в шаре диаметра 1 метр, но в кубе со стороной 1 метр она потеряется. Или в футбол сможет играть. Футбол-не футбол, а в высоту прыгать - запросто.

Знаете чем интересна длина диагонали куба? А это наибольшее возможное расстояние между двумя произвольными точками внутри куба.
Такое экстремальное свойство трехмерного (и многомерного тоже) тела удобно обзывать его диаметром. Прям как у шаров. У шара вот этот вот диаметр и просто диаметр - это одно и то же.

А теперь посмотрим кубы и шары с диаметром 1 в пространствах разной размерности.
Спойлер: вас ждет шок! И вы согласитесь, что никакой здравый смысл в многомерных пространствах не работает от слова совсем. Все там контр-естественно.

Мальчики и девочки! Берем многомерный куб диаметра 1 и смотрим его многомерный объём.
Для двухмерного куба (квадрата) его двухмерный объём, в простонародии называемый площадью, равен 0,5.
Для трехмерного ("нашего", привычного) куба это трехмерный ("наш") объём равен 0,19245...
Четырёхмерный объём четырехмерного куба диаметра 1 равен 0,065.
Дальше понятно. Чем больше размерность - тем меньше соответствующий объём.
ОК. По большому счёту абсолютно по барабану. Ну, уменьшается. А если бы увеличивался - тоже глубоко фиолетово.

А теперь проверяем вашу интуицию. А объём многомерного шара диаметра 1 с увеличением размерности пространства растёт или уменьшается?
Граждане математики могут даже вспомнить двухмерный объём двухмерного шара площадь круга и "наш" объём "нашего" трехмерного шара (он же шар для боулинга, земной шар и т.д.). Диаметр всех шаров во всех пространствах равен 1.

Классный вопрос! К своей чести, я ответ назвал немедленно: двигаться надо по геодезической в пространстве-времени, то есть без внешних воздействий.

Дорогие друзья! Я анонсировал на весну новый глобальный проект. Собственно, вот он.

НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ! Большущая просьба зайти вот сюда
https://vk.com/tsyganovschool
подписаться и оставить отзыв. Напишите, пожалуйста, пару предложений. Для верификации нужно 10 отзывов. Хотелось бы до вечера их собрать.

А вот еще ссылки: сайт школацыганова.рф - это сайт.
t.me/tsyganovschool - это телега.

Умрёт ли культурный математик? Да никогда! Чтобы я перестал писать про многомерные пространства и анекдоты про Эйнштейна? Не дождётесь! :):):) Туда это нельзя, а здесь мы с вами будем душу отводить.

https://t.me/cul_math/1732
И в подтверждение своих намерений отвечаю на свой вопрос:
А теперь проверяем вашу интуицию. А объём многомерного шара диаметра 1 с увеличением размерности пространства растёт или уменьшается?
Граждане математики могут даже вспомнить двухмерный объём двухмерного шара площадь круга и "наш" объём "нашего" трехмерного шара (он же шар для боулинга, земной шар и т.д.). Диаметр всех шаров во всех пространствах равен 1.

Нате Вам табличку. Смотреть надо на 4-й столбец, где есть синее число 5,2638. Это и есть n-мерные объёмы n-мерных единичных шаров.

Объём "нашего" трехмерного шара больше "объёма" "двухмерного (площади, говоря по-русски). У 4-мерного объём больше, чем у 3-мерного. У 5-мерного больше, чем у 4-мерного. А дальше... Дальше они убывают. У 6-мерного шара объём меньше, чем у 5-мерного, и так далее. Почему? Зачем? Загадка сия неподвластна уму человечьему, ибо неведомы ему размерности великие.

НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ! Большущая просьба зайти вот сюда
https://vk.com/tsyganovschool
подписаться и оставить отзыв. Напишите, пожалуйста, пару предложений. Для верификации нужно 10 отзывов. Хотелось бы до вечера их собрать.

Коллеги! В VK-канале вот сюда надо кликать! На звездочки! И потом можно написать какой-то текст.

СПАСИБО ОГРОМНОЕ ТЕМ, КТО УЖЕ ОТКЛИКНУЛСЯ!!!!!!!

Гаусс vs Парето: какой закон управляет нашей жизнью?

В мире вероятностей два распределения спорят за влияние на реальность:
нормальное (Гауссово) и Парето (80/20).
Они — как два разных взгляда на устройство мира:
один про баланс, другой — про дисбаланс.

Гаусс: мир равных возможностей, где всё как у всех, нет героев, но нет и провалов.
Нормальное распределение — это кривая с пиком в центре и симметричными «хвостами». Оно возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат.
Примеры. Рост людей: большинство близки к среднему, а великаны и карлики — редкость. Биологические параметры: давление, вес, скорость реакции. Ошибки измерений: при многократном взвешивании погрешности распределяются вокруг истинного значения.
Распределение Гаусса описывает равновесие и отклонение от него. Здесь всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее.

Парето: мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одной звезды может быть силнее действия тысячи других человек. Мир неравномерен, и это его естественное состояние.
Закон Парето (степенное распределение) — асимметричный, с «тяжёлым хвостом».
Здесь: 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Также этот закон встречается в распределении популярности книг, песен, сайтов, «вирусности» постов, в ошибках в коде, в распределении расходов на здравоохранение и т.п. Идея 20/80 стала универсальной метафорой, условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом, но реальное отношение, конечно, может быть и другим.
Закон Парето описывает дисбаланс, неравенство и «чёрных лебедей» — событий, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).

Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт; это отражает Центральную предельную теорему).
Парето — из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Например, кто уже богат, может быстрее разбогатеть; кто уже популярен, чаще становится ещё популярнее.

Но бывают ситуации, когда всё запутано, и Гаусс и Парето спорят. Например,
• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы (например, обвалы рынков, пузыри) описываются «хвостами» Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно «нормальными», но сверхбогатые формируют «хвост» Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно — получится Гаусс. Но если есть бонусы и лидерство — появится Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны — Гаусс. Но в реальности — один «Гарри Поттер» делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде — ближе к норме; в креативной среде — один гений может всё изменить.

Мир не выбирает между «равенством» и «неравенством» — он использует оба сценария. Гаусс и Парето — два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй — в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда «средний» — иногда он «хвостатый». Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето — концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.

А в вашей жизни кто играет большую роль: Гаусс (предсказуемость) или Парето (стремительный рост ценой риска)?
И как вы себе представляете идеальное общество — какое оно: справедливое (Гаусс) или эффективное (Парето)?
Пишите в комментариях!

В дополнение к предыдущему посту, чтобы не быть неправильно понятым, будто бы все другие распределения не играют значимой роли. Прежде всего, Гаусс и Парето — не конкуренты, а, скорее, союзники; это два ключевых инструмента в богатой палитре теории вероятностей, но есть ещё десятки других, которые дополняют их. Само их выделение и противопоставление оправдано лишь с определённой точки зрения.
Другие распределения лучше отражают свой какой-то кусочек реальности. Например, время ожидания (между кликами в интернете или радиоактивный распад) хорошо описывается экспоненциальным распределением. А число успехов при фиксированном количестве попыток или число опечаток на странице — биномиальным распределением. И т.д.
В реальности мы часто наблюдаем гибриды или переходы от одного к другому. Например: распределение доходов или размеры городов может быть логнормальным в середине, и Парето в хвосте. Времена между поломками могут быть экспоненциальны, но также с «тяжёлым хвостом», если есть сбои-катастрофы. Мир данных — как калейдоскоп: повернёшь под другим углом — увидишь новую закономерность. Гаусс, Парето и другие распределения — это линзы, через которые мы рассматриваем реальность. Чем больше линз — тем полнее картина! Как говорил статистик Джордж Бокс: «Все модели неправильны, но некоторые полезны».

С днём Великой Победы!!!

Как законы электротехники помогли решить задачу квадрирования квадрата

В 1903 г. Макс Ден задал вопрос: «Можно ли разрезать квадрат на конечное число меньших квадратов, все разных размеров?». Долгое время задача считалась нерешаемой — до 1939 г., когда первые примеры такого разбиения всё же были найдены (четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета). Удивительным образом, эта задача оказалась тесно связанной с теорией графов, комбинаторикой и... правилами Кирхгофа из физики.
Они предложили представлять квадраты разбиения как элементы электрической цепи: линейный размер квадрата — сопротивление резистора; горизонтальные границы между квадратами — узлы цепи; вертикальные границы — контуры.
Как это работает? Каждый квадрат «втекает» током в свои границы.
По первому правилу Кирхгофа: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих. В терминах квадратов это означает, что сумма длин сторон, сходящихся в узле, должна быть одинаковой.
По второму правилу Кирхгофа: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Для квадратов это условие сохранения размеров при обходе контура.
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений, где неизвестные — длины сторон квадратов. Решение этой системы даёт искомое разбиение.
В 1978 г. было найдено минимальное разбиение из 21 квадрата (его размеры — корни системы из 26 уравнений!). Кстати, его нашёл студент-архитектор из Нидерландов — не математик.
Задача о квадрировании квадрата — яркий пример того, как идеи из одной области науки (электротехники) могут неожиданно решить проблему в другой (геометрии). Она напоминает: математика — это не набор изолированных тем, а единый организм, где всё взаимосвязано. Кажущиеся абстракции могут оказаться ключом к решению практических проблем — даже если для этого нужно представить квадраты резисторами!

Прочитать о квадрировании квадрата с помощью электрических цепей можно в книгах [Возможность разбиения на 21 квадрат на тот момент ещё не была известна!]:
Яглом И.М. «Как разрезать квадрат», 1968;
Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», 1971.

Специальная теория относительности и квантовая механика очень похожи как с математической, так и с философской точек зрения.

В СТО событие задается точкой в 4-мерном пространстве Минковского. Можно провести вектор из начала координат в эту точку и описывать событие координатами вектора (t, x, y, z). Или интервал между двумя событиями можно также представить вектором (t-t’, x-x’, y-y’, z-z’).

В КМ состояние системы описывается вектором состояния в пространстве Гильберта. Изменение во времени вектора состояние описывается действием унитарного оператора (матрицы). Он сохраняет длину вектора, то есть по сути может только поворачивать вектор.

В СТО преобразования Лоренца также можно рассматривать как матрицу 4х4, действующую на вектор-столбец 4х1 с координатами события (t, x, y, z). Длина вектора при этом тоже не меняется, но координаты меняются (t’, x’, y’, z’). Преобразования Лоренца также можно рассматривать как поворот вектора в пространства Минковского.

Но поскольку пространство Гильберта отличается от пространства Минковского, есть конечно и отличия. В КМ координаты вектора – комплексные числа и пространство может быть любой размерности, даже бесконечной. А в СТО вектор может быть отрицательной длины. Или равняться нулю при ненулевых координатах.

Но идея относительности с некоторыми нюансами применима в обоих теориях. В СТО разные наблюдатели описывают один и тот же вектор (интервал) разными координатами. Можно представить, что они раскладывают вектор в разных системах координат, повернутых друг относительно друга (через лоренцево преобразование). В КМ наблюдатель выбирает в каком базисе (системе координат) хочет произвести измерение и раскладывает вектор состояния в этом базисе. Поэтому разные наблюдатели могут описывать один и тот же вектор состояния разными компонентами (волновыми функциями).

Есть конечно и множество других схожестей и различий. Квантовая механика на мой взгляд более интуитивна т.к. векторы состояния более похожи на векторы, изучаемые в школе. Правило нахождения длины и теорема Пифагора работают. Длина вектора всегда неотрицательна. Можно найти проекцию одного вектора на другой и пр. В СТО из-за знака минус в метрике Минковского возникают всякие неинтуитивные вещи. Даже поворот (преобразование Лоренца) будет не обычным, а гиперболическим, что сложно представить.

В квантовой механике есть важный класс операторов – проекционные операторы, проекторы. Это эрмитовы операторы, а соответственно им должны соответствовать какие-то измеряемые величины. Собственными значениями операторов проекции могут быть либо 0, либо 1. Это означает, что измерение, описываемое оператором проекции, всегда можно сформулировать в виде вопроса, ответом на который будет нет (0) или да (1).

Из названия очевидно, что если подействовать оператором проекции на вектор состояния, то он спроецируется на пространство меньшей размерности. Это обобщение понятия проекции одного вектора на другой, записываемого обычно через скалярное произведение векторов.
Физическим смыслом такой проекции является коллапс вектора состояния (волновой функции) при измерении. Поскольку проекторы неунитарны, они не подчиняются уравнению Шредингера и закону унитарной эволюции. Они и не должны по определению. Проекция обнуляет некоторые компоненты вектора, поэтому сумма остальных уже не будет 100%. Вектор уже не будет нормированным и такая эволюция неунитарна.

Еще пара интересных свойств операторов проекции.

1. Через них можно найти вероятность получения да/нет в вопросе, описываемом проектором Р. Вероятность равна ожидаемому значению <psi|P|psi>.

2. Любой эрмитов оператор можно разложить на сумму нескольких операторов проекции, причем они все коммутируют друг с другом. Физически это означает, что любую измеряемую величину, любое измерение, можно представить как серию измерений да/нет, причем их можно выполнять в любой последовательности. Серия измерений будет проецировать (коллапсировать) вектор на пространства все меньшей и меньшей размерности (максимум до одномерного).

Так что описание процесса коллапса уже есть в стандартной математике КМ. Что еще хотят найти фрики, помимо действия оператора проекции на вектор, мне непонятно.

Добрый день, друзья! Долго я бегал и прятался от Никиты Владимировича, который требовал с меня описать опыт организации МАН.
Ума-то сразу не хватило в интернет заглянуть. Чего там только нет! Сам обалдел! Но то, что я это когда-то написал, повергает меня в крайнее изумление.
Исключительно методом исключения догадался, что это отсюда:
Ш. Цыганов Малая Академия наук уфимских школьников // Народное образование. 2000. №6. С. 260-264.

Кто не в курсе - журнал жутко крутой был в области пед. наук (а может и сейчас есть - кто ж их знает?). Очередная загадка - как я там оказался?

Зачем выкладываю? Никита Владимирович находит тот опыт актуальным по сей день. Молодежь, дерзайте! Копировать не надо, а идейки почерпнуть можно...