Я обещал ещё одну аналогию для понимания проблемы Пуанкаре. Заход мой будет издалека, ибо говорить мы будем о многомерных пространствах. Математики, привыкшие к числам, говорят об n-мерных пространствах.
Если n=2, то пространство называется (ясен пень) двухмерным. Это плоскость. Убогое, по нашим меркам, пространство для жизни.
Если n=3, то всё хорошо и привычно - это наш физический трёхмерный мир.
Если n=4 или более, то можно, конечно, попытаться представить такое пространство. Например, четырёхмерный куб. Но зачем? Толку будет примерно как с тех картинок, которые я привёл. Нарисовать, конечно, можно, но... Глупости всё это. Приведённые рисунки "четырёхмерных кубов" ещё дальше от оригигала, чем портрет Клетчатого из фильма "Приключения принца Флоризеля".
Если не смотрели - настоятельно рекомендую. Фантастическая игра Даля. Фрагмент - по ссылке ниже.
https://vk.com/video27122423_168045068
Если n=2, то пространство называется (ясен пень) двухмерным. Это плоскость. Убогое, по нашим меркам, пространство для жизни.
Если n=3, то всё хорошо и привычно - это наш физический трёхмерный мир.
Если n=4 или более, то можно, конечно, попытаться представить такое пространство. Например, четырёхмерный куб. Но зачем? Толку будет примерно как с тех картинок, которые я привёл. Нарисовать, конечно, можно, но... Глупости всё это. Приведённые рисунки "четырёхмерных кубов" ещё дальше от оригигала, чем портрет Клетчатого из фильма "Приключения принца Флоризеля".
Если не смотрели - настоятельно рекомендую. Фантастическая игра Даля. Фрагмент - по ссылке ниже.
https://vk.com/video27122423_168045068
👍5
Поскольку рассказ мой неспешный, я опять в сторону сверну, а потом вернусь к исходной теме разговора (про Гришу Перельмана, Пуанкаре и трёхмерную сферу в четырёхмерном пространстве). Если не забуду. :)
В теории струн мы живём в пространстве из 11 измерений. М-теория (или теория бран) как более продвинутая уточняет, что измерений всего 10. В этой мешанине размерностей болтается ещё пространство Колаби-Яу. Всего 6-мерное, поэтому его, конечно, можно нарисовать (шутка, тем не менее рисуют же!!!)
Я об этом всём уже рассказывал - если интересно, можно полистать-поискать выше в канале.
Как физики выкручиваются? Да элементарно: типа три измерения (наших) полноценны, а оставшиеся свёрнуты и мы их просто не видим.
Нормальная тема, главное что надо знать - всё это непроверяемо. А потому самые азартные поклонники М-теории идут дальше и говорят, что в момент Большого взрыва все (6, 10 или 11) измерений были развёрнуты, а потом по ходу дела какие-то свернулись.
В теории струн мы живём в пространстве из 11 измерений. М-теория (или теория бран) как более продвинутая уточняет, что измерений всего 10. В этой мешанине размерностей болтается ещё пространство Колаби-Яу. Всего 6-мерное, поэтому его, конечно, можно нарисовать (шутка, тем не менее рисуют же!!!)
Я об этом всём уже рассказывал - если интересно, можно полистать-поискать выше в канале.
Как физики выкручиваются? Да элементарно: типа три измерения (наших) полноценны, а оставшиеся свёрнуты и мы их просто не видим.
Нормальная тема, главное что надо знать - всё это непроверяемо. А потому самые азартные поклонники М-теории идут дальше и говорят, что в момент Большого взрыва все (6, 10 или 11) измерений были развёрнуты, а потом по ходу дела какие-то свернулись.
👍2
Ещё раз - это научные гипотезы. В классификации достовености на самом низком уровне - принципиально непроверяемые. На сегодняшний день.
Но фантасты уже тоже подключились. Лучший фантаст всех времён и народов Лю Цысин и его трилогия "Задача трёх тел". Если не читали, то спойлерить не буду. Ибо это надо читать.
Лю Цысин - лучший в моей классификации. Так-то его принято называть лучшим китайским фантастом Лю Цысинем (Лю Цысинь). Но, во-первых, он Лю Цысин ровно как и Си Цзиньпин. Твёрдый звук на конце китайских фамилий!
А, во-вторых, я Лю Цысина ставлю выше всех. На вкус и цвет...
Но фантасты уже тоже подключились. Лучший фантаст всех времён и народов Лю Цысин и его трилогия "Задача трёх тел". Если не читали, то спойлерить не буду. Ибо это надо читать.
Лю Цысин - лучший в моей классификации. Так-то его принято называть лучшим китайским фантастом Лю Цысинем (Лю Цысинь). Но, во-первых, он Лю Цысин ровно как и Си Цзиньпин. Твёрдый звук на конце китайских фамилий!
А, во-вторых, я Лю Цысина ставлю выше всех. На вкус и цвет...
👍2
Сегодня я начну рассказ про многомерные пространства. Точнее, с наивной мыслью, что интуитивно понятно, что новая размерность - это просто еще одна ось координат, перпендикулярная (ортогональная) всем предыдущим. Увы и ах!
Начну с "обычных" трехмерных куба и шара. Вы никогда не задумывались почему фокусники очень любят выбираться из закрытых чемоданов (параллелепипедов), но не любят шары?
А ответ простой: внутри шара диаметром 1 метр наибольшее расстояние между двумя точками 1 метр, а в Кубе со стороной 1 метр длина диагонали 1,73 м. Там фокусник чуть не полный рост встанет.
Начну с "обычных" трехмерных куба и шара. Вы никогда не задумывались почему фокусники очень любят выбираться из закрытых чемоданов (параллелепипедов), но не любят шары?
А ответ простой: внутри шара диаметром 1 метр наибольшее расстояние между двумя точками 1 метр, а в Кубе со стороной 1 метр длина диагонали 1,73 м. Там фокусник чуть не полный рост встанет.
👍4
Обсудим многомерные кубы. Двухмерный куб - это квадрат. Трёхмерный куб - это "наш" куб. Четырехмерный мы как бы типа пару дней рисовали. Пятимерный и далее - ... Ну вы поняли.
Давайте диагональ каждого куба считать. В двухмерном (в квадрате) - корень из 2. В "нашем трехмерном" - корень из 3. По картинке хорошо видно как осуществляется переход от корня из 2 к корню из 3. По теореме Пифагора.
Ежу понятно, что в 100-мерном кубе со стороной 1 диагональ будет равна корню из 100, то есть десяти. Десять, Карл, десять!!! Внутри стомерного куба со стороной один умещается отрезок длиной 10!
Стомерная гуттаперчевая девочка с ростом 1 метр 50 см все также с трудом будет умещаться в шаре диаметра 1 метр, но в кубе со стороной 1 метр она потеряется. Или в футбол сможет играть. Футбол-не футбол, а в высоту прыгать - запросто.
Давайте диагональ каждого куба считать. В двухмерном (в квадрате) - корень из 2. В "нашем трехмерном" - корень из 3. По картинке хорошо видно как осуществляется переход от корня из 2 к корню из 3. По теореме Пифагора.
Ежу понятно, что в 100-мерном кубе со стороной 1 диагональ будет равна корню из 100, то есть десяти. Десять, Карл, десять!!! Внутри стомерного куба со стороной один умещается отрезок длиной 10!
Стомерная гуттаперчевая девочка с ростом 1 метр 50 см все также с трудом будет умещаться в шаре диаметра 1 метр, но в кубе со стороной 1 метр она потеряется. Или в футбол сможет играть. Футбол-не футбол, а в высоту прыгать - запросто.
😁2🔥1
Знаете чем интересна длина диагонали куба? А это наибольшее возможное расстояние между двумя произвольными точками внутри куба.
Такое экстремальное свойство трехмерного (и многомерного тоже) тела удобно обзывать его диаметром. Прям как у шаров. У шара вот этот вот диаметр и просто диаметр - это одно и то же.
А теперь посмотрим кубы и шары с диаметром 1 в пространствах разной размерности.
Спойлер: вас ждет шок! И вы согласитесь, что никакой здравый смысл в многомерных пространствах не работает от слова совсем. Все там контр-естественно.
Такое экстремальное свойство трехмерного (и многомерного тоже) тела удобно обзывать его диаметром. Прям как у шаров. У шара вот этот вот диаметр и просто диаметр - это одно и то же.
А теперь посмотрим кубы и шары с диаметром 1 в пространствах разной размерности.
Спойлер: вас ждет шок! И вы согласитесь, что никакой здравый смысл в многомерных пространствах не работает от слова совсем. Все там контр-естественно.
Мальчики и девочки! Берем многомерный куб диаметра 1 и смотрим его многомерный объём.
Для двухмерного куба (квадрата) его двухмерный объём, в простонародии называемый площадью, равен 0,5.
Для трехмерного ("нашего", привычного) куба это трехмерный ("наш") объём равен 0,19245...
Четырёхмерный объём четырехмерного куба диаметра 1 равен 0,065.
Дальше понятно. Чем больше размерность - тем меньше соответствующий объём.
ОК. По большому счёту абсолютно по барабану. Ну, уменьшается. А если бы увеличивался - тоже глубоко фиолетово.
А теперь проверяем вашу интуицию. А объём многомерного шара диаметра 1 с увеличением размерности пространства растёт или уменьшается?
Граждане математики могут даже вспомнитьдвухмерный объём двухмерного шара площадь круга и "наш" объём "нашего" трехмерного шара (он же шар для боулинга, земной шар и т.д.). Диаметр всех шаров во всех пространствах равен 1.
Для двухмерного куба (квадрата) его двухмерный объём, в простонародии называемый площадью, равен 0,5.
Для трехмерного ("нашего", привычного) куба это трехмерный ("наш") объём равен 0,19245...
Четырёхмерный объём четырехмерного куба диаметра 1 равен 0,065.
Дальше понятно. Чем больше размерность - тем меньше соответствующий объём.
ОК. По большому счёту абсолютно по барабану. Ну, уменьшается. А если бы увеличивался - тоже глубоко фиолетово.
А теперь проверяем вашу интуицию. А объём многомерного шара диаметра 1 с увеличением размерности пространства растёт или уменьшается?
Граждане математики могут даже вспомнить
👍6
Forwarded from воспоминания математиков
Я плохо представляю, что происходит с людьми: они не учатся путем понимания. Они учатся каким-то другим способом – путем механического запоминания или как-то иначе. Их знания так хрупки!
Ту же самую шутку я проделал четыре года спустя в Принстоне, разговаривая с опытным физиком, ассистентом Эйнштейна, который все время работал с гравитацией. Я дал ему такую задачу: Вы взлетаете в ракете с часами на борту, а другие часы остаются на Земле. Задача состоит в том, что Вы должны вернуться, когда по земным часам пройдет ровно один час. Кроме того. Вы хотите, чтобы Ваши часы за время полета ушли вперед как можно больше. Согласно Эйнштейну, если взлететь очень высоко, часы пойдут быстрее, потому что, чем выше находишься в гравитационном поле, тем быстрее идут часы. Однако если Вы попытаетесь лететь слишком быстро, а у Вас только час в запасе и Вы должны двигаться быстро, чтобы успеть вернуться, то ваши часы из-за большой скорости замедлятся. Поэтому Вы не можете лететь слишком высоко. Вопрос сводится к следующему: по какой программе должны меняться скорость и высота, чтобы обеспечить максимальный уход вперед ваших часов?
Ассистент Эйнштейна довольно долго работал над этой задачей, прежде чем понял, что ответ – это просто свободное движение материи. Если Вы выстрелите вверх так, что время, необходимое снаряду, чтобы пролететь и упасть, составляет ровно час, это и будет правильное движение. Это – фундаментальный принцип эйнштейновской гравитации, гласящий, что для свободного движения собственное время максимально. Но когда я поставил задачу в такой форме – ракета с часами, – физик не узнал этого закона. Все произошло так же, как с парнями в кабинете черчения, но на этот раз это не был оробевший новичок. Значит, такой вид непрочных знаний может быть достаточно распространенным даже у весьма образованных людей.
воспоминания Р. Фейнмана ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!")
Ту же самую шутку я проделал четыре года спустя в Принстоне, разговаривая с опытным физиком, ассистентом Эйнштейна, который все время работал с гравитацией. Я дал ему такую задачу: Вы взлетаете в ракете с часами на борту, а другие часы остаются на Земле. Задача состоит в том, что Вы должны вернуться, когда по земным часам пройдет ровно один час. Кроме того. Вы хотите, чтобы Ваши часы за время полета ушли вперед как можно больше. Согласно Эйнштейну, если взлететь очень высоко, часы пойдут быстрее, потому что, чем выше находишься в гравитационном поле, тем быстрее идут часы. Однако если Вы попытаетесь лететь слишком быстро, а у Вас только час в запасе и Вы должны двигаться быстро, чтобы успеть вернуться, то ваши часы из-за большой скорости замедлятся. Поэтому Вы не можете лететь слишком высоко. Вопрос сводится к следующему: по какой программе должны меняться скорость и высота, чтобы обеспечить максимальный уход вперед ваших часов?
Ассистент Эйнштейна довольно долго работал над этой задачей, прежде чем понял, что ответ – это просто свободное движение материи. Если Вы выстрелите вверх так, что время, необходимое снаряду, чтобы пролететь и упасть, составляет ровно час, это и будет правильное движение. Это – фундаментальный принцип эйнштейновской гравитации, гласящий, что для свободного движения собственное время максимально. Но когда я поставил задачу в такой форме – ракета с часами, – физик не узнал этого закона. Все произошло так же, как с парнями в кабинете черчения, но на этот раз это не был оробевший новичок. Значит, такой вид непрочных знаний может быть достаточно распространенным даже у весьма образованных людей.
воспоминания Р. Фейнмана ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!")
👍4
Классный вопрос! К своей чести, я ответ назвал немедленно: двигаться надо по геодезической в пространстве-времени, то есть без внешних воздействий.
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Дорогие друзья! Я анонсировал на весну новый глобальный проект. Собственно, вот он.
👍8🔥2🥰1
НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ! Большущая просьба зайти вот сюда
https://vk.com/tsyganovschool
подписаться и оставить отзыв. Напишите, пожалуйста, пару предложений. Для верификации нужно 10 отзывов. Хотелось бы до вечера их собрать.
https://vk.com/tsyganovschool
подписаться и оставить отзыв. Напишите, пожалуйста, пару предложений. Для верификации нужно 10 отзывов. Хотелось бы до вечера их собрать.
👍5
Умрёт ли культурный математик? Да никогда! Чтобы я перестал писать про многомерные пространства и анекдоты про Эйнштейна? Не дождётесь! :):):) Туда это нельзя, а здесь мы с вами будем душу отводить.
❤7
https://t.me/cul_math/1732
И в подтверждение своих намерений отвечаю на свой вопрос:
А теперь проверяем вашу интуицию. А объём многомерного шара диаметра 1 с увеличением размерности пространства растёт или уменьшается?
Граждане математики могут даже вспомнитьдвухмерный объём двухмерного шара площадь круга и "наш" объём "нашего" трехмерного шара (он же шар для боулинга, земной шар и т.д.). Диаметр всех шаров во всех пространствах равен 1.
Нате Вам табличку. Смотреть надо на 4-й столбец, где есть синее число 5,2638. Это и есть n-мерные объёмы n-мерных единичных шаров.
Объём "нашего" трехмерного шара больше "объёма" "двухмерного (площади, говоря по-русски). У 4-мерного объём больше, чем у 3-мерного. У 5-мерного больше, чем у 4-мерного. А дальше... Дальше они убывают. У 6-мерного шара объём меньше, чем у 5-мерного, и так далее. Почему? Зачем? Загадка сия неподвластна уму человечьему, ибо неведомы ему размерности великие.
И в подтверждение своих намерений отвечаю на свой вопрос:
А теперь проверяем вашу интуицию. А объём многомерного шара диаметра 1 с увеличением размерности пространства растёт или уменьшается?
Граждане математики могут даже вспомнить
Нате Вам табличку. Смотреть надо на 4-й столбец, где есть синее число 5,2638. Это и есть n-мерные объёмы n-мерных единичных шаров.
Объём "нашего" трехмерного шара больше "объёма" "двухмерного (площади, говоря по-русски). У 4-мерного объём больше, чем у 3-мерного. У 5-мерного больше, чем у 4-мерного. А дальше... Дальше они убывают. У 6-мерного шара объём меньше, чем у 5-мерного, и так далее. Почему? Зачем? Загадка сия неподвластна уму человечьему, ибо неведомы ему размерности великие.
👍5
Forwarded from Культурный математик
НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ! Большущая просьба зайти вот сюда
https://vk.com/tsyganovschool
подписаться и оставить отзыв. Напишите, пожалуйста, пару предложений. Для верификации нужно 10 отзывов. Хотелось бы до вечера их собрать.
https://vk.com/tsyganovschool
подписаться и оставить отзыв. Напишите, пожалуйста, пару предложений. Для верификации нужно 10 отзывов. Хотелось бы до вечера их собрать.
👍6
Forwarded from Математическая эссенция
Гаусс vs Парето: какой закон управляет нашей жизнью?
В мире вероятностей два распределения спорят за влияние на реальность:
нормальное (Гауссово) и Парето (80/20).
Они — как два разных взгляда на устройство мира:
один про баланс, другой — про дисбаланс.
Гаусс: мир равных возможностей, где всё как у всех, нет героев, но нет и провалов.
Нормальное распределение — это кривая с пиком в центре и симметричными «хвостами». Оно возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат.
Примеры. Рост людей: большинство близки к среднему, а великаны и карлики — редкость. Биологические параметры: давление, вес, скорость реакции. Ошибки измерений: при многократном взвешивании погрешности распределяются вокруг истинного значения.
Распределение Гаусса описывает равновесие и отклонение от него. Здесь всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее.
Парето: мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одной звезды может быть силнее действия тысячи других человек. Мир неравномерен, и это его естественное состояние.
Закон Парето (степенное распределение) — асимметричный, с «тяжёлым хвостом».
Здесь: 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Также этот закон встречается в распределении популярности книг, песен, сайтов, «вирусности» постов, в ошибках в коде, в распределении расходов на здравоохранение и т.п. Идея 20/80 стала универсальной метафорой, условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом, но реальное отношение, конечно, может быть и другим.
Закон Парето описывает дисбаланс, неравенство и «чёрных лебедей» — событий, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).
Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт; это отражает Центральную предельную теорему).
Парето — из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Например, кто уже богат, может быстрее разбогатеть; кто уже популярен, чаще становится ещё популярнее.
Но бывают ситуации, когда всё запутано, и Гаусс и Парето спорят. Например,
• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы (например, обвалы рынков, пузыри) описываются «хвостами» Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно «нормальными», но сверхбогатые формируют «хвост» Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно — получится Гаусс. Но если есть бонусы и лидерство — появится Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны — Гаусс. Но в реальности — один «Гарри Поттер» делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде — ближе к норме; в креативной среде — один гений может всё изменить.
Мир не выбирает между «равенством» и «неравенством» — он использует оба сценария. Гаусс и Парето — два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй — в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда «средний» — иногда он «хвостатый». Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето — концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.
А в вашей жизни кто играет большую роль: Гаусс (предсказуемость) или Парето (стремительный рост ценой риска)?
И как вы себе представляете идеальное общество — какое оно: справедливое (Гаусс) или эффективное (Парето)?
Пишите в комментариях!
В мире вероятностей два распределения спорят за влияние на реальность:
нормальное (Гауссово) и Парето (80/20).
Они — как два разных взгляда на устройство мира:
один про баланс, другой — про дисбаланс.
Гаусс: мир равных возможностей, где всё как у всех, нет героев, но нет и провалов.
Нормальное распределение — это кривая с пиком в центре и симметричными «хвостами». Оно возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат.
Примеры. Рост людей: большинство близки к среднему, а великаны и карлики — редкость. Биологические параметры: давление, вес, скорость реакции. Ошибки измерений: при многократном взвешивании погрешности распределяются вокруг истинного значения.
Распределение Гаусса описывает равновесие и отклонение от него. Здесь всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее.
Парето: мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одной звезды может быть силнее действия тысячи других человек. Мир неравномерен, и это его естественное состояние.
Закон Парето (степенное распределение) — асимметричный, с «тяжёлым хвостом».
Здесь: 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Также этот закон встречается в распределении популярности книг, песен, сайтов, «вирусности» постов, в ошибках в коде, в распределении расходов на здравоохранение и т.п. Идея 20/80 стала универсальной метафорой, условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом, но реальное отношение, конечно, может быть и другим.
Закон Парето описывает дисбаланс, неравенство и «чёрных лебедей» — событий, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).
Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт; это отражает Центральную предельную теорему).
Парето — из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Например, кто уже богат, может быстрее разбогатеть; кто уже популярен, чаще становится ещё популярнее.
Но бывают ситуации, когда всё запутано, и Гаусс и Парето спорят. Например,
• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы (например, обвалы рынков, пузыри) описываются «хвостами» Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно «нормальными», но сверхбогатые формируют «хвост» Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно — получится Гаусс. Но если есть бонусы и лидерство — появится Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны — Гаусс. Но в реальности — один «Гарри Поттер» делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде — ближе к норме; в креативной среде — один гений может всё изменить.
Мир не выбирает между «равенством» и «неравенством» — он использует оба сценария. Гаусс и Парето — два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй — в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда «средний» — иногда он «хвостатый». Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето — концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.
А в вашей жизни кто играет большую роль: Гаусс (предсказуемость) или Парето (стремительный рост ценой риска)?
И как вы себе представляете идеальное общество — какое оно: справедливое (Гаусс) или эффективное (Парето)?
Пишите в комментариях!
👍10