С именем Банаха связана задача, вошедшая в математический фольклор как задача о спичечных коробках Банаха:
Курящий математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым. Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Решение. Спички брались всего 2n – k раз (это число испытаний), причём n раз из коробка, оказавшегося пустым. Вероятность того, что взят коробок, оказавшийся пустым, равна 0,5, вероятность, что взят другой коробок 1 – 0,5 = 0,5. Получаем:
Р = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5ⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ⁻ⁿ = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ.

Можно ли трёхмерный шар разделить на конечное число каких-нибудь частей, из которых затем сложить два точно таких же шара?

Оказывается, в теории множеств с аксиомой выбора, математический (т.е. бесконечно делимый) шар в трёхмерном пространстве можно разделить на 5 частей так, что, двигая и поворачивая эти части в пространстве, из них можно собрать ДВА шара, равных исходному. Это интересное утверждение, известное как парадокс Банаха–Тарского, иллюстрирует пределы человеческой интуиции и показывает, что можно получить если пытаться оперировать с таким понятием как бесконечность.
Подробнее об этом в заметке, посвящённой теореме Банаха–Тарского.

Чтобы никто не волновался, стоит упомянуть, что к практическим приложениям (например, удвоению ВВП) этот результат неприменим, поскольку условие бесконечной делимости, согласно современным физическим представлениям, невыполнимо. А сами части, на которые делится шар, не имеют объёма, т.е. являются неизмеримыми множествами.

«Геометрия и алгебра, соединённые вместе, дают нам ключ к пониманию пространственных явлений через числа и уравнения»

31 марта 1596 г. родился Рене Декарт, французский философ, математик , механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики.
Декарт изобрёл прямоугольную систему координат, сыгравшую важную роль в совершенствовании математики и физики (по легенде он придумал её в постели, наблюдая, как по потолку и по стене ползает паук). Введение системы координат позволяет перевести геометрические задачи на алгебраический язык и тем самым существенно упрощает их исследование и решение. Декарт также переработал математическую символику Виета — с этого момента она стала близка к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c..., а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль). Внимание математиков стало переключаться с изучения числовых величин на изучение зависимостей между ними — в современной терминологии, функций.

Достоверно известно, что Декарт спал по 10 − 12 часов в сутки и даже работал, лёжа в постели. (Отсюда, видимо, и легенда о наблюдении за ползающим пауком.) Ещё одна не доказанная история касается нумерации кресел в парижских театрах. В те годы места в ложах пронумерованы не были, отчего перед спектаклями часто возникали ссоры, переходящие в дуэли. Людовик XIII, уставший от бессмысленного кровопролития среди подданных, обратился к математику с просьбой решить проблему. И тот якобы придумал систему мест и рядов, где каждое кресло имело свои «координаты». Идея быстро прижилась, и число дуэлей вскоре сократилось.

Гауссова кривизна – характеристика поверхности в точке, не меняющаяся при (изометрических, т. е. сохраняющих расстояния) изгибаниях поверхности. Знание этого понятия помогает при поедании пиццы (статья «Ломтик пиццы»), понимании картографических проекций (фильмы серии «Картографические проекции» и статья «Картографические проекции»), понимании, почему футбольный мяч составляют из разных панелей (статья «Футбольный мяч»).

Познакомиться с понятием гауссовой кривизны геометрически можно в новом сюжете «Гауссова кривизна» https://etudes.ru/etudes/Gaussian-curvature/ проекта «Математические этюды».

А я своей книжке комиксов никак до гауссовой кривизны не доберусь.

Откуда свет знает?

Мой комментарий к предыдущему видео.

Тема с точки зрения квантовой механики привычная: фотон одновременно движется по всем возможным траекториям, а мы наблюдаем одну конкретную.

Но в данном случае по мне это не есть особенность света, а свойство пространства (-времени?).
Все объекты без воздействия движутся по экстремальным траекториям. Например, в общей теории относительности оные движутся по геодезическим, то есть траекториям наименьшей длины (в соответствующей метрике).
Разберемся со светом, который попадает в воду и меняет траекторию. Тут так: ничего свет не знает. В точку В попадают только те фотоны, которые на границу сред заходят только по той траектории, которая приводит в В. Запустите фотон из точки А под другим углом - и он пройдет мимо В.

Поясню на другом мысленном эксперименте. Положим на стол зеркало, над столом в точке А - источник света. Фотон, отразившись от зеркала, должен попасть в какую-то фиксированную точку В, также расположенную над столом.

Маршрут такой частицы легко рисуется, поскольку все знают закон "угол падения равен углу отражения". Так вот - этот путь наикратчайший из всех возможных маршрутов вида А - зеркало - В.

Это опять фундаментальное свойство нашего пространства: объекты без воздействия движутся по экстремальным (наикратчайшим) маршрутам.

И случайно оказывается, что у этой кратчайшей ломанной есть такое свойство: угол падения равен углу отражения. То есть фундаментальные свойства пространства объясняют это оптическое свойство.

Так вот, когда фотон движется в двух разных средах, он все равно движется по геодезической (в соответствующей метрике пространства-времени).

Только здесь не та метрика, которая у Эйнштейна. И пространство-время тоже не то. :):):)

Очень хорошую статью прислал Булат Нурмиевич для размещения. Единственно, чего в статье не хватает - это рисунка с петлями на торе (бублике), которые невозможно стянуть в точку. Восполняю. С красной петлёй всё понятно (вся видна). Синее - это типа кольцо, на палец одетое.
Кстати, о музыке. В статье о какой петле говорится как о стягиваемой? Картинки нет, поэтому объяснение меня не устроило.
Более развёрнутую статью даю ниже. Внимание! В ней содержатся фактические ошибки!

Я тут малость передохнул, выкроил минутку и решил объяснить гипотезу Пуанкаре сам. Ну не нравятся мне объяснения от всех этих господ-товарищей. Чем? Трехмерную сферу никто и не пытается представить, но зачем-то коллеги используют для аналогии сферу и бублик. Чо так сложно-то? Бублик, на котором петли какие-то - это та ещё забава для мозга неокрепшего. А объяснить-то и нужно всего дав слова: связный и несвязный. Мы пойдём путём более незатейливым...

Начнём со связного - несвязного множеств. Связное - из одного куска. Несвязное - из нескольких. Велика премудрость.

Можно в терминах путей. Связное множество - это когда из любой точки А можно прочапать в любую точку В, не выходя за пределы множества. Не нравится слово прочапать? ОК. Тогда так: для любых точек А и В можно нарисовать кривую, соединяющую А и В и лежащую внутри множества.

Граждане математики! На всякий случай уточню. Первое определение - определение связности, второе - линейной связности.

Теперь про одно-, двух-, трёх- и многосвязности.
Смотрим на левую картинку, то есть на зелёный круг. Красную границу видите (она же окружность). Граница связна? То есть можно из любой точки на А на границе пройти в любую точку В, не покидая границу? Легко! Так вот, если граница множества состоит из одного цельного куска, то само множество называется односвязным.
Ну а у кольца, как мы понимаем, граница состоит из двух кусков (частей, линий) - внешней границы и внутренней. Поэтому кольцо не односвязно. Хотите трехсвязное множество? Не вопрос - нарисуйте круг с двумя дырками.

И кольца с кругом нам достаточно для объяснения гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что чего-то там где-то там в каких-то высших размерностях может быть только кругом. А кольцом быть не может. И кругом с двумя, тремя и так далее дырками тоже не может. Всё. :)

В твоём тексте последнем в культур вроде бы есть изъян, например, из него можно подумать, что тор односвязен, поскольку его граница линейно связная, но тор не односвязен. Дело именно в стягиваемости, а глубже в тривиальности фундаментальной группы в каждой точке и рассмотрении внутренней геометрии границы, а не геометрии вложения в пространство

Важнейшее замечание от Булата Нурмиевича для математиков.
Для нематематиков ещё раз: связность и линейная связность - это на самом деле не одно и то же! Легко придумать пример (математики на это горазды) связного множества, которое не является линейно связным.
Поэтому моя аналогия годится (по мне) для людей, далёких от математики. Есть у меня ещё одна аналогия, но её расписывать надо. Сделаю, но позже. Она тоже будет весёлой и ещё будет разноплановой.