Очень, очень интересные события назревают в системе образования России. Я с осторожным оптимизмом назвал бы это возвращением к здравому смыслу.

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии»

30 марта 1892 г. родился Стефан Банах, польский математик, один из создателей функционального анализа. Ввёл понятие полных линейных нормированных пространств (теперь их называют банаховыми пространствами), которые нашли применение в различных областях математического анализа, а также доказал ряд фундаментальных теорем. Банах занимался также ортогональными рядами, внёс вклад в разработку теории меры и интегрирования.

Львовские математики, во главе со Стефаном Банахом, собирались в кафе «Шкотская Кавьярня» (Шотландское кафе). На мраморном столике кафе решались математические задачи при попутном употреблении алкогольных напитков разной степени крепости. По-видимому, решение задач на столах кафе было общей физико-математической тенденцией первой половины ХХ в.
Рассказывают, процесс происходил так: кто-то предлагал задачу, а Банах её решал. Если Банаху не удавалось решить задачу сразу, её заносили в тетрадь и назначали премию (от 5 кружек пива за простые задачи, до жареного гуся за самую сложную). Чаще всего, однако, задача не добиралась до тетради, будучи решённой Банахом устно. При этом процесс решения Стефан сопровождал употреблением двух напитков — водки и кофе — по очереди.

Во время немецкой оккупации, чтобы прожить, Банах сдавал кровь для бактериологических экспериментов на медицинском факультете Львовского университета, что подорвало его здоровье гораздо сильнее, чем водка и кофе. После освобождения Львова он едва ли прожил год (умер в августе 1945).

А вот «Шкотская тетрадь», в которую записывали задачи, дошла до нас, была опубликована С. Уламом уже после войны. В частности, задачу стоимостью в жареного гуся удалось решить только в 1972 г. И шведский математик П. Энфло, решивший её, получил-таки в Варшаве своего жареного гуся в награду!

С именем Банаха связана задача, вошедшая в математический фольклор как задача о спичечных коробках Банаха:
Курящий математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым. Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Решение. Спички брались всего 2n – k раз (это число испытаний), причём n раз из коробка, оказавшегося пустым. Вероятность того, что взят коробок, оказавшийся пустым, равна 0,5, вероятность, что взят другой коробок 1 – 0,5 = 0,5. Получаем:
Р = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5ⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ⁻ⁿ = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ.

Можно ли трёхмерный шар разделить на конечное число каких-нибудь частей, из которых затем сложить два точно таких же шара?

Оказывается, в теории множеств с аксиомой выбора, математический (т.е. бесконечно делимый) шар в трёхмерном пространстве можно разделить на 5 частей так, что, двигая и поворачивая эти части в пространстве, из них можно собрать ДВА шара, равных исходному. Это интересное утверждение, известное как парадокс Банаха–Тарского, иллюстрирует пределы человеческой интуиции и показывает, что можно получить если пытаться оперировать с таким понятием как бесконечность.
Подробнее об этом в заметке, посвящённой теореме Банаха–Тарского.

Чтобы никто не волновался, стоит упомянуть, что к практическим приложениям (например, удвоению ВВП) этот результат неприменим, поскольку условие бесконечной делимости, согласно современным физическим представлениям, невыполнимо. А сами части, на которые делится шар, не имеют объёма, т.е. являются неизмеримыми множествами.

«Геометрия и алгебра, соединённые вместе, дают нам ключ к пониманию пространственных явлений через числа и уравнения»

31 марта 1596 г. родился Рене Декарт, французский философ, математик , механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики.
Декарт изобрёл прямоугольную систему координат, сыгравшую важную роль в совершенствовании математики и физики (по легенде он придумал её в постели, наблюдая, как по потолку и по стене ползает паук). Введение системы координат позволяет перевести геометрические задачи на алгебраический язык и тем самым существенно упрощает их исследование и решение. Декарт также переработал математическую символику Виета — с этого момента она стала близка к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c..., а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль). Внимание математиков стало переключаться с изучения числовых величин на изучение зависимостей между ними — в современной терминологии, функций.

Достоверно известно, что Декарт спал по 10 − 12 часов в сутки и даже работал, лёжа в постели. (Отсюда, видимо, и легенда о наблюдении за ползающим пауком.) Ещё одна не доказанная история касается нумерации кресел в парижских театрах. В те годы места в ложах пронумерованы не были, отчего перед спектаклями часто возникали ссоры, переходящие в дуэли. Людовик XIII, уставший от бессмысленного кровопролития среди подданных, обратился к математику с просьбой решить проблему. И тот якобы придумал систему мест и рядов, где каждое кресло имело свои «координаты». Идея быстро прижилась, и число дуэлей вскоре сократилось.

Гауссова кривизна – характеристика поверхности в точке, не меняющаяся при (изометрических, т. е. сохраняющих расстояния) изгибаниях поверхности. Знание этого понятия помогает при поедании пиццы (статья «Ломтик пиццы»), понимании картографических проекций (фильмы серии «Картографические проекции» и статья «Картографические проекции»), понимании, почему футбольный мяч составляют из разных панелей (статья «Футбольный мяч»).

Познакомиться с понятием гауссовой кривизны геометрически можно в новом сюжете «Гауссова кривизна» https://etudes.ru/etudes/Gaussian-curvature/ проекта «Математические этюды».

А я своей книжке комиксов никак до гауссовой кривизны не доберусь.

Откуда свет знает?

Мой комментарий к предыдущему видео.

Тема с точки зрения квантовой механики привычная: фотон одновременно движется по всем возможным траекториям, а мы наблюдаем одну конкретную.

Но в данном случае по мне это не есть особенность света, а свойство пространства (-времени?).
Все объекты без воздействия движутся по экстремальным траекториям. Например, в общей теории относительности оные движутся по геодезическим, то есть траекториям наименьшей длины (в соответствующей метрике).
Разберемся со светом, который попадает в воду и меняет траекторию. Тут так: ничего свет не знает. В точку В попадают только те фотоны, которые на границу сред заходят только по той траектории, которая приводит в В. Запустите фотон из точки А под другим углом - и он пройдет мимо В.

Поясню на другом мысленном эксперименте. Положим на стол зеркало, над столом в точке А - источник света. Фотон, отразившись от зеркала, должен попасть в какую-то фиксированную точку В, также расположенную над столом.

Маршрут такой частицы легко рисуется, поскольку все знают закон "угол падения равен углу отражения". Так вот - этот путь наикратчайший из всех возможных маршрутов вида А - зеркало - В.

Это опять фундаментальное свойство нашего пространства: объекты без воздействия движутся по экстремальным (наикратчайшим) маршрутам.

И случайно оказывается, что у этой кратчайшей ломанной есть такое свойство: угол падения равен углу отражения. То есть фундаментальные свойства пространства объясняют это оптическое свойство.

Так вот, когда фотон движется в двух разных средах, он все равно движется по геодезической (в соответствующей метрике пространства-времени).

Только здесь не та метрика, которая у Эйнштейна. И пространство-время тоже не то. :):):)

Очень хорошую статью прислал Булат Нурмиевич для размещения. Единственно, чего в статье не хватает - это рисунка с петлями на торе (бублике), которые невозможно стянуть в точку. Восполняю. С красной петлёй всё понятно (вся видна). Синее - это типа кольцо, на палец одетое.
Кстати, о музыке. В статье о какой петле говорится как о стягиваемой? Картинки нет, поэтому объяснение меня не устроило.
Более развёрнутую статью даю ниже. Внимание! В ней содержатся фактические ошибки!

Я тут малость передохнул, выкроил минутку и решил объяснить гипотезу Пуанкаре сам. Ну не нравятся мне объяснения от всех этих господ-товарищей. Чем? Трехмерную сферу никто и не пытается представить, но зачем-то коллеги используют для аналогии сферу и бублик. Чо так сложно-то? Бублик, на котором петли какие-то - это та ещё забава для мозга неокрепшего. А объяснить-то и нужно всего дав слова: связный и несвязный. Мы пойдём путём более незатейливым...

Начнём со связного - несвязного множеств. Связное - из одного куска. Несвязное - из нескольких. Велика премудрость.

Можно в терминах путей. Связное множество - это когда из любой точки А можно прочапать в любую точку В, не выходя за пределы множества. Не нравится слово прочапать? ОК. Тогда так: для любых точек А и В можно нарисовать кривую, соединяющую А и В и лежащую внутри множества.

Граждане математики! На всякий случай уточню. Первое определение - определение связности, второе - линейной связности.

Теперь про одно-, двух-, трёх- и многосвязности.
Смотрим на левую картинку, то есть на зелёный круг. Красную границу видите (она же окружность). Граница связна? То есть можно из любой точки на А на границе пройти в любую точку В, не покидая границу? Легко! Так вот, если граница множества состоит из одного цельного куска, то само множество называется односвязным.
Ну а у кольца, как мы понимаем, граница состоит из двух кусков (частей, линий) - внешней границы и внутренней. Поэтому кольцо не односвязно. Хотите трехсвязное множество? Не вопрос - нарисуйте круг с двумя дырками.

И кольца с кругом нам достаточно для объяснения гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что чего-то там где-то там в каких-то высших размерностях может быть только кругом. А кольцом быть не может. И кругом с двумя, тремя и так далее дырками тоже не может. Всё. :)

В твоём тексте последнем в культур вроде бы есть изъян, например, из него можно подумать, что тор односвязен, поскольку его граница линейно связная, но тор не односвязен. Дело именно в стягиваемости, а глубже в тривиальности фундаментальной группы в каждой точке и рассмотрении внутренней геометрии границы, а не геометрии вложения в пространство

Важнейшее замечание от Булата Нурмиевича для математиков.
Для нематематиков ещё раз: связность и линейная связность - это на самом деле не одно и то же! Легко придумать пример (математики на это горазды) связного множества, которое не является линейно связным.
Поэтому моя аналогия годится (по мне) для людей, далёких от математики. Есть у меня ещё одна аналогия, но её расписывать надо. Сделаю, но позже. Она тоже будет весёлой и ещё будет разноплановой.