Доброе утро, друзья! Каюсь, пропал. И появлюсь нескоро - ещё месяц напряжённой работы у меня впереди. К сожалению, нет ни сил, ни времени. Но, с большой вероятностью, ближе к лету данный канал станет для меня приоритетным напрвлением работы. Там и развернусь.
А пока идея вам, мальчики и девочки, готовящиеся стать педагогами школьной направленности. Абсолютно свежая и абсолютно оригинальная. Нигде такой ещё не встречал.
Итак, как можно детям в классе этак 5-6 (а если напрячься) рассказать про двоичную систему счисления.

Для нематематиков напоминаю, что в компьютерах у нас не 1, 2, 3 и т.д., а 001001, 1110101011 и прочие числа, которые записаны из 0 и 1.
Наша система счисления называется десятичной, потому что цифр 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А компьютерная - двоичная, в ней две цифры: 0 и 1. Перевод такой 0 - 0, 1 - 1, 2 - 10, 3 - 11, 4 - 100, 5 - 101, 6 - 110, 7 - 111, 8 - 1000, 9 - 1001. Словом, если идею поняли, дальше сами можете до конца ряд дописать (шутка).

Так-то оно всё, больше рассказывать нечего. Но ребенку такой рассказ будет настолько интересным, что он прям немедленно перейдёт в режим сверхзвуковой аэродинамической труды - именно с такой скоростью ваш рассказ, влетев в одно его ухо, вылетит из другого.

Моя свежая идея такова...
Кстати, идея реально свежая, поэтому прям настаиваю наставить мне кучу лайков.
Начинаем...

Итак, мальчик Петя приехал к другу заграничному другу, который живёт в двухэтажном доме. Петя не знает на каком этаже живёт его друг, но перед домом сидит бабушка, которая "всё знает, всё понимает, но ничего сказать не может. Только хвостом виляет головой кивает "да" или "нет".
Почему Петя приехал именно к заграничному другу? Потому что в Загранице (это страна такой) всё не так как у нормальных людей. У нормальных людей как ? Этажи первый, второй и так далее. А у ненормальных - земляной (ground floor) и так далее.
Словом, у нас этажи будут иметь номера 0 и 1.
А в следующих поездках Пети этажей будет больше, но считаться они будут всегда начиная с 0: 0, 1, 2, 3 и так далее.

Все помнят эту задачу? Петя должен задавать вопросы, бабуся кивает головой типа "да" или "нет", в финале Петя с радостными объятиями должен встретиться с другом (узнать на каком этаже живёт это приятель).
Вопрос единственный: "Бабушка! Мой друг живёт на этаже с номером 1?"
Бабушка сказала "да" - топаем на этаж номер 1.
Бабушка сказала "нет" - топаем на этаж номер 0.

Да, кстати, сильно забегая вперёд. Если бы Петя был роботом/компьютером, то бабушкин ответ "да" он переводил бы на свой роботовый/компьютерный язык как "1". А ответ "нет" переводил бы для себя как "0". Это обычная математика - всегда всё переводить в числа. Словами математикам скучно. "Нет/неправда/ложь" - это всегда "0", а "да/правда/истина" - это "1".

Так что на петином роботовом/компьютерном языке бабушка вообще просто и незатейливо назвала нужный этаж.

Думаю, что дальше все всё поняли. Петя поехал к иностранной подружке, которая живёт в четырёхэтажном доме, то есть доме с номерами этажей 0, 1, 2 и 3.
А там та же бабка универсальная сидит.

Все помнят этот вариант задачи и количество вопросов бабке для петиного воссоединения с подружкой?

Первый вопрос: Люси живет на этаже с номерами 2 или 3?
Это мы типа каждым вопросом дом пополам режем.
Ответ "да" (на компьютером языке "1") - Люси живёт на этаже 2 или 3.
Ответ "нет" (на компьютерном "0") - Люси живёт на этаже 0 или 1.

Пусть бабушка ответила "да" (на компьютером языке сказала "1"), то есть Люси живёт на этаже 2 или на этаже 3.
Второй вопрос очевиден: "Люси живёт на этаже номер 3?"
Ответ "да" (на компьютерный языке "1") - топаем на этаж 3.
Ответ "да" (на компьютерный языке "0") - топаем на этаж 2.

Если бы на первый вопрос был ответ "нет" (на компьютерном языке "0"), то Люси оказалась бы этаже номер 0 или 1.
А дальше действуем как обычно - "Люси живёт на этаже 1?"
Ответ "да" (на компьютерный языке "1") - топаем на этаж 1.
Ответ "да" (на компьютерный языке "0") - топаем на этаж 0.

Задача решена.

Осталось собрать ответы бабушки на оба вопроса в общую кучу одно число, состоящее из двух цифр. Первая цифра - ответ на первый вопрос, вторая цифра - ответ на второй вопрос.
Ответы, который складываются в 11 (да-да) приводили нас на этаж 3.
Ответы, который складываются в 10 (да-нет) приводили нас на этаж 2.
Ответы, который складываются в 01 (нет-да) приводили нас на этаж 1.
Ответы, который складываются в 00 (нет-нет) приводили нас на этаж 0.

Ответы - это компьютерные числа в двоичной системе, этажи - это наши "человеческие" числа в десятичной системе счисления.

А теперь контрольный выстрел в голову вопрос. В задаче про четырёхэтажный дом в условии была такая последовательность действий: вопрос - ответ - вопрос - ответ. Мы это от души использовали! Наш второй вопрос зависел от ответа на первый вопрос!!! А если ужесточить задачу? Если разрешить Пете сначала задавать все свои вопросы, а только потом слышать ответы, то двух вопросов хватит? Ответ содержится в моём рассказе. Спойлер - да, двух вопросов достаточно. Придумайте их.
Решение расскажу завтра.

Милых дам с 8 Марта!

Не смог пройти мимо. Хотя клоака у бактерии - это сильно, конечно.

Ооооочень интересная тема для продвинутых.

Я задумал натуральное число от 1 до 2025 и готов честно отвечать на такие ваши вопросы, которые допускают только ответ «да» или «нет». Сколько потребуется вопросов, чтобы гарантированно угадать задуманное число?
В этой простой задаче ответ 11, а вопросы, с помощью которых можно узнать ответ, могут звучать так: «Верно ли, что загаданное число больше такого-то?»
А. Реньи на основе этой задачи поставил другую — более сложную и содержательную. Требуется понять, как и за какое количество вопросов можно угадать задуманное число, если в одном (а если — в двух, в k?) ответах я могу ошибиться (сказать неправду).
О решении этой задачи рассказано в статье Константина Кнопа.
Данная задача родственна задачам теории кодирования Хэмминга, в которых требуется не только обнаруживать ошибки кодирования, но и исправлять их.

Какая замечательная мама!

27 марта 1857 г. родился Карл Пирсон, британский математик, основатель современной статистики. Разработал теорию корреляции, критерии согласия, алгоритмы принятия решений и оценки параметров. С его именем связаны такие широко используемые термины и методы, как: гистограмма, стандартное отклонение, коэффициент асимметрии, коэффициенты корреляции и ковариации, метод моментов, критерий хи-квадрат, множественная регрессия. Методы Пирсона имеют предельно общий характер и применяются практически во всех естественных науках.

При этом Пирсон был одним из главных теоретиков расизма, основоположником биометрики, проповедником социального дарвинизма и евгеники.
Понятие евгеники ввёл антрополог Фрэнсис Гальтон, понимая под ним «науку, занимающуюся всеми факторами, улучшающими врождённые качества расы». Пирсон повернул евгенику в русло патриотизма. По его мнению, задача евгеники — заниматься не отдельными людьми, а целыми нациями. Государство имеет право определять, кто может иметь детей, а кто нет.
Пирсон рассматривал войну против «низших рас» как логическое следствие теории эволюции. «Мой взгляд — и я думаю, его можно назвать научным взглядом на нацию, — писал он, — это взгляд на организованное целое, поддерживаемое на высоком уровне внутренней эффективности за счёт обеспечения того, чтобы его численность в основном набиралась из лучших кадров, и поддерживаемое на высоком уровне внешней эффективности за счёт конкуренции, главным образом путем войны с низшими расами». «Право жить ещё не означает право каждого на продолжение своего рода. Снижается качество естественного отбора, и это значит, что выживает всё больше слабых и никчёмных. А мы должны повышать стандарт происхождения, умственный и физический».

В общем, увы, очень большой математик не обязательно является очень большим человеком…

Кстати... Повесть Булгакова "Собачье сердце" - это пародия на евгенику.

Презентация к докладу Алексея Савватеева 2025.03.27

Итоговая аттестация: государственные экзамены или интегральная оценка?

Очень, очень интересные события назревают в системе образования России. Я с осторожным оптимизмом назвал бы это возвращением к здравому смыслу.

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии»

30 марта 1892 г. родился Стефан Банах, польский математик, один из создателей функционального анализа. Ввёл понятие полных линейных нормированных пространств (теперь их называют банаховыми пространствами), которые нашли применение в различных областях математического анализа, а также доказал ряд фундаментальных теорем. Банах занимался также ортогональными рядами, внёс вклад в разработку теории меры и интегрирования.

Львовские математики, во главе со Стефаном Банахом, собирались в кафе «Шкотская Кавьярня» (Шотландское кафе). На мраморном столике кафе решались математические задачи при попутном употреблении алкогольных напитков разной степени крепости. По-видимому, решение задач на столах кафе было общей физико-математической тенденцией первой половины ХХ в.
Рассказывают, процесс происходил так: кто-то предлагал задачу, а Банах её решал. Если Банаху не удавалось решить задачу сразу, её заносили в тетрадь и назначали премию (от 5 кружек пива за простые задачи, до жареного гуся за самую сложную). Чаще всего, однако, задача не добиралась до тетради, будучи решённой Банахом устно. При этом процесс решения Стефан сопровождал употреблением двух напитков — водки и кофе — по очереди.

Во время немецкой оккупации, чтобы прожить, Банах сдавал кровь для бактериологических экспериментов на медицинском факультете Львовского университета, что подорвало его здоровье гораздо сильнее, чем водка и кофе. После освобождения Львова он едва ли прожил год (умер в августе 1945).

А вот «Шкотская тетрадь», в которую записывали задачи, дошла до нас, была опубликована С. Уламом уже после войны. В частности, задачу стоимостью в жареного гуся удалось решить только в 1972 г. И шведский математик П. Энфло, решивший её, получил-таки в Варшаве своего жареного гуся в награду!

С именем Банаха связана задача, вошедшая в математический фольклор как задача о спичечных коробках Банаха:
Курящий математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым. Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Решение. Спички брались всего 2n – k раз (это число испытаний), причём n раз из коробка, оказавшегося пустым. Вероятность того, что взят коробок, оказавшийся пустым, равна 0,5, вероятность, что взят другой коробок 1 – 0,5 = 0,5. Получаем:
Р = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5ⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ⁻ⁿ = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ.