Задача 47.

Красная прямая касается красной окружности.

Источник: НИУ ВШЭ 2025 10-11.5

Точки на окружности идут в таком порядке: A, B1, B2, B3, C1, C2, C3, а так-же точка P. Pi- изогональное сопряжение P относительно ABiCi. ∆- треугольник, образованный B1C1, B2C2, B3C3. Оказалось, что P1, P2, P3- лежат на 1 прямой. Пожалуйста, докажите, что P лежит на описанной окружности ∆

Задача 49.

Прямые на картинке - касательные, доказать, что из перпендикулярности следует равенство отрезков.

Источник: Колм 2025

Задача 50.

Источник: ЮМШ 2025 заключительный этап, 10.1.3

Задача 51.

Доказать, что красная точка на средней линии.

Задача 52.

Дан четырехугольник ABCD. Назовем перескоком вершины X - отражение X относительно диагонали, на которой она не содержится, после чего новая полученная точка именуется X, а старая стирается. Докажите, что при совершении перескоков в порядке A,B,C,D,A,B… когда-то получится четырехугольник равный данному. (Диагонали это всегда AC и BD)

С счетным годом🎄!

Задача 53.

На окружности выбрали 4 точки и для каждой перемножили расстояния до остальных. Могли ли получиться числа от 1 до 4 (в некотором порядке)?

Задача 54.

Задача 55.

Верхняя прямая касательная.

Источник: IZHO P5

Задача 56.

Задача 57.

Дан правильный 2n-угольник A1A2…A2n с центром O, причём n ≥ 5.
Диагональ A_2A_(n-1) и диагональ A_3A_n пересекаются в точке F,
а диагональ A_1A_3 и диагональ A_2A_(2n-2) пересекаются в точке P.
Докажите, что PF = PO.

Задача 58.

Прямая через O - рандомная. Точка на высоте - середина. Доказать, что сумма зеленых >= красный

Задача 59.

https://t.me/DailyGeom/213

Задача 60.

Синяя точка - центр описанной окружности синего треугольника.

Задача 61.

Докажите, что описанная сфера равногранного тетраэдра переходит в себя при изогональном сопряжении.

O — центр описанной окружности треугольника ABC, L — его точка Лемуана. Окружность с диаметром OL пересекает сторону BC в двух точках. Докажите, что красные углы равны.

Задача 63.

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 – треугольник со сторонами 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶, пусть 𝑂 – центр его описанной окружности, и 𝑋𝑌 𝑍𝑇 – параллелограмм лежащий внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶 такой, что ∠𝐴𝑋𝐵 = ∠𝐴𝑍𝐶, ∠𝐴𝑍𝐵 = ∠𝐴𝑋𝐶, ∠𝐴𝑌 𝐵 = ∠𝐴𝑇𝐶, ∠𝐴𝑇𝐵 = ∠𝐴𝑌𝐶. Докажите, что диагонали 𝑋𝑍 и 𝑌𝑇 параллелограмма пересекаются на описанной окружности треугольника 𝐵𝑂𝐶.
Рисунок из @fullandpoint

Задача 64.

На картинке квадрат.

Для меня стало удивительным, что такое можно посчитать в комплах.

Задача 65.

Докажите, что если красный центр лежит на описанной окружности, то и синий тоже