Вариант таблички со всеми рациональными числами и способ обхода этой таблицы

Вариант 2 с пересчётом всех рациональных чисел по спирали

Я вам сейчас расскажу, про что роман «Война и мир».

Как по-вашему, в чём сюжет этой книги? Не смысл, до смысла мы ещё дойдём. Срез тогдашнего общества, типа энциклопедия русской жизни, поданная через призмы мирного и военного бытия? Хренушки вам. Толстой в своём романе, например, целенаправленно и последовательно игнорирует существование очень крупных слоёв российского общества – разночинцев и крестьян, практически никак их не показывая. Разночинцы – это, на практике, люди бедные, низкого сословия, получившие при этом университетское образование – само по себе очень дискомфортное положение. Толстой их ненавидел и презирал, считал «полуобразованными» и в роман не включил вообще. Хотя в российской империи их было довольно много, и это была одна из мощнейших сил изменений в общественной жизни. Крестьян же он показывает постольку-поскольку – лишь когда нужно проиллюстрировать какое-нибудь взаимодействие с помещиками. Даже тот самый главный персонаж школьных сочинений – Платон Каратаев –показан всего лишь на несколько страницах и история его заканчивается примечательно: его расстреливают и, что во время, что после расстрела, все делают вид, будто ничего не произошло. И только Пьер потом пронесёт его светлый образ сквозь всю свою жизнь, не пытаясь увидеть в реальных крестьянах вокруг что-то подобное. Фактически все действующие лица книги – князья, графы и прочие дворяне.

Так о чём же тогда сюжет романа? О войне и о том, как она повлияла на Россию? А вот тоже хренушки. Выдающийся русский учёный В. Шкловский отмечает, что Толстой мало того что использовал поразительно ничтожное количество источников, собирая материал о тогдашней войне – он еще и из доступных источников выбирал самые необъективные и патриотически-патетические. Хотя сам при этом нещадно критиковал и тогдашнее руководство, и описание войны другими историками. Зачем ему это было нужно? Шкловский предполагает: «Восприятие войны двенадцатого года человеком, писавшим книгу в 1856 году, было для Толстого слишком современно; не годилось для него и восприятие 20-х годов, потому что оно слишком реально. Нужны были 40-ые годы, годы наибольшей героизации событий…» То есть поняли, да? Толстову не нужно было реальное описание событий войны, ему нужна была расхожая патриотически настроенная их интерпретация (причем что с русской, что с французской стороны) для того, чтобы на её фоне ярче показать свою собственную.

И вот здесь начинается интересное. Современники Толстого говорят, что он был склонен к самостоятельному исследованию всего и вся. Даже начав заниматься музыкой, он как бы пытается «переизобрести» её заново – описывает, из чего состоит музыка, почему она воздействует на человека, и так далее. Он увлечён научными фактами – даже в «Войне и мире» нет-нет, да и пытается объяснить свои мысли посредством сравнения с законами физики или механики, причём видно, что человек в курсе последних открытий и научных теорий. Если б Лев Николаевич жил в наше время, то вполне возможно он был бы подписан на кэтсаенс и даже вероятно писал бы длинные восторженные и уточняющие комментарии к статьям типа этой*. Так же он и изобрёл собственный подход к истории, который тесно связан с вопросом свободы воли человека. Свобода воли – вообще очень сложная и, пожалуй, неразрешимая штука. А когда за эту тему берётся такой увлечённый самородок, она может вылиться во что-то действительно грандиозное. Давайте я тут приведу одну цитату из романа, которая представляет собой ничтожный процент размышлений Толстого об этом вопросе. Она мне нравится тем, что тут он, как мне кажется, поднялся на уровень квантовой физики в концептуальном плане – к проблеме наблюдателя и его влиянии на наблюдаемое (физики, поправьте меня, если глупость сморозила).

«Как бы мы ни приближали время суждения ко времени поступка, мы никогда не получим понятия свободы во времени. Ибо если я рассматриваю поступок, совершенный секунду тому назад, я всё-таки должен признать несвободу поступка, так как поступок закован тем моментом времени, в котором он совершен.

Могу ли я поднять руку? Я поднимаю ее; но спрашиваю себя: мог ли я не поднять руки в тот прошедший уже момент времени? Чтобы убедиться в этом, я в следующий момент не поднимаю руки. Но я не поднял руки не в тот первый момент, когда я спросил себя о свободе. Прошло время, удержать которое было не в моей власти, и та рука, которую я тогда поднял, и тот воздух, в котором я тогда сделал то движение, уже не тог воздух, который теперь окружает меня, и не та рука, которою я теперь не делаю движения. Тот момент, в который совершилось первое движение, невозвратим, и в тот момент я мог сделать только одно движение, и какое бы я ни сделал движение, движение это могло быть только одно. То, что я в следующую минуту не поднял руки, не доказало того, что я мог не поднять ее. И так как движение мое могло быть только одно, в один момент времени, то оно и не могло быть другое. Для того чтобы представить его себе свободным, надо представить его себе в настоящем, в грани прошедшего и будущего, т.е. вне времени, что невозможно».

К счастью, не весь роман состоит из таких рассуждений. Как Штирлиц, который умел делать хорошую мину при плохой игре (и мина сработала, когда штандартенфюрер покинул компанию, где проигрался), Толстой вбрасывает свою «мину» теоретических рассуждений в эпилог (состоящий, на секундочку, из двух частей, в каждой из которых больше десятка глав). Нет, местами он добавляет рассуждения и в саму ткань повествования, особенно туда, где речь идёт о войне, но, к счастью, не так уж и много. Рассуждения эти призваны доказать, что действия одной, пусть даже очень яркой, личности никак не могут влиять на ход истории. И действия десятков таких личностей – тоже. А ход истории определяется взаимодействием неизмеримо большого числа сознаний, поступков и мотивов абсолютно всех участников исторического процесса – от последнего конюха до императора. И приказы императора не будут иметь никакой силы, если они направлены вопреки движению этого исторического процесса. Толстой говорит, что мы ещё не умеем понимать законы, по которым он функционирует, но что именно в этом состоит основная задача истории – а не в описании отдельных персонажей, которым просто повезло всплыть на поверхность этого бурлящего котла. Поэтому он и полемизирует с историками своего времени, поэтому он и строит свою теорию с нуля. Не знаю, насколько он прав, скорее всего, истина лежит где-то посередине. Но я вспоминаю свои школьные уроки истории, когда нам постоянно говорили, что то или иное событие неизбежно должно было свершиться – и теперь примерно понимаю откуда, в том числе, ноги растут.

А люди, изображенные в четырёх частях романа? Люди – пешки. Не думаю, что когда-нибудь Толстой реально интересовался судьбами людей. Понимал он их великолепно. Читаешь – и поражаешься тому, как глубоко он описывает мотивы, потаённые чувства и мысли людей. Как точно, короткими мазками рисует разные деструктивные сценарии – любой психолог бы обзавидовался. Наташа Ростова, склонная к созависимости, сначала без памяти влюбляется в Курагина, безответственно накачивающего её признаниями в любви, а затем находит своё счастье в таком же созависимом Пьере, с которым у них налаживается семейная жизнь без каких-либо личных границ. Андрей Болконский чисто нарциссически (а чего вы хотели, с таким папой-то) забивает себе место жениха той же Наташи Ростовой и сваливает в закат на полгода с туманной инструкцией «мы обручены, я вернусь и женюсь, но ты никому об этом не говори» – и это девушке в самом расцвете лет, которой нужно срочно искать себе реальных женихов. Да собственно и папенька, Болконский-старший, очень трогательно довёл всех домочадцев и родную дочь до состояния, когда люди при нём теряли способность думать от стресса. При этом дочь, княжна Мари, обязана была ежедневно заниматься под руководством отца точными науками, и поскольку соображать от страха она просто не могла, – регулярно выслушивать «дура» в свой адрес. Кстати, замуж он её, конечно, от себя не отпустил, искусно сыграв на эмоциях, когда приехал потенциальный жених.

Кстати, все эти нюансы понимаются только когда сам уже хлебнул лиха, осознал толщину пушного зверя в своей жизни и жизнях близких, пару раз влюбился-женился-развёлся, что-то начал соображать – и именно поэтому подросткам в 11 классе этот роман вообще ничего не даст.

Все эти судьбы, переплетаясь, обрываясь, оставляя эфемерные следы в сознании людей, составляют плотную ткань истории, в которой значение генерала армии оказывается не важнее значения рядового гусара, вовремя крикнувшего «в атаааакуу!!!». Поэтому все они одинаково важны. Поэтому тот же Платон Каратаев, мимоходом встретившийся Пьеру, который вообще не должен был быть тогда в Москве, оказал огромное влияние на всех, с кем потом Пьер взаимодействовал – превратившись в морально-теоретический конструкт, влиявший на его поведение. Поэтому Кутузов ничего не делает с войсками Наполеона, и только временами со вздохами сожаления идёт на поводу у офицеров, требующих активных действий. Вообще Кутузов – фигура, у Толстого олицетворяющая понимание хода событий и того, как с ними взаимодействовать. Именно поэтому на протяжении всего романа Кутузов, по большому счёту, не делает ничего. Что-то в этом есть буддистское.

Короче, роман – совсем не школьная вещь. Его и современники-то далеко не сразу приняли. Он не о людях в том плане, что люди являются главным и самодостаточным объектом изображения. Но при этом он о людях как об элементах общей картины, из которой составляется целое. И эти «элементы» Толстой прописывает великолепно, образы очень узнаваемые, живые, их мотивы логичны, их чувства описаны так глубоко и точно, как мало где можно встретить. Но это не энциклопедия русской жизни. Персонажи там не представляют собой галерею типичных образов Российской империи, ничего подобного. Они очень индивидуальные, по-человечески уникальные, хоть и конечно обусловленные своим воспитанием и временем рождения. Толстой не выводит их для того, чтобы показать какую-то объективную картину мира. Он разворачивает свою собственную мысль, и использует героев для неё. Вообще на самом деле в четырёх частях этого монстра уместилось не так уж много людей и событий. Просто каждое из них описано так тщательно, что становится максимально живым. Ну и соответственно занимает много места. Сериал, короче. И когда он закончился, возникло ощущение, что ему не помешал бы еще как минимум сезон.

*ссылка на заметку в комментариях

#Хайдарова
#литература
#Авторский_челлендж

Оригинал

А теперь к прогнозу погоды! В регионах вселенной ожидается похолодание.

Согласно одной из гипотез, вселенная является замкнутой системой и все явления в ней взаимосвязаны. Отсюда следует, что случайность может создать систему, не способную к выполнению полезных действий, что в конечном итоге вызовет тепловую гибель вселенной.

Что мы знаем о вселенной? Ну, когда-то там был большой взрыв. Когда-то там кто-то спросил кого-то "Ебанёт? Не должно", в итоге ебануло, да ещё как, и получилось то, что получилось. С тех пор прошло почти 14 миллиардов лет и мы имеем невысокоупорядоченную систему, о размерах которой до сих пор спорят. А как мы знаем из умных книжек, низкоупорядоченная система имеет высокую энтропию, а энтропия замкнутой системы не может уменьшаться, то в конечном итоге эта энтропия и погубит всю нашу вселенную.

Сторонники данной гипотезы утверждают, что вселенную можно считать закрытой системой, потому что она не сообщается энергией с другими вселенными, по причине отсутствия оных. Отсюда можно сделать вывод, что рано или поздно энтропия достигнет максимума и наступит тепловая смерть вселенной. Данное состояние не подразумевает полное отсутствие энергии или какой-либо определённой температуры. Это подразумевает, что вселенная достигнет термодинамического равновесия и в ней не будет полезной энергии.

Так что же это, теперь всем бегать и напевать "Скоро мы умрём, ура!". Не всё так просто. Помимо сторонников этой гипотезы есть и её противники, как, в общем, и у любой другой гипотезы.

Как раз её противники и говорят нам, что немного не комильфо считать вселенную закрытой системой, ведь, как пелось в одной песенке, "если вселенная бесконечна..", то и не имеет смысла применять законы термодинамики и энтропии к объекту, размеры которого мы не можем измерить, потому что здесь действуют совершенно другие законы и сами по себе эти критерии используются лишь для конечных объектов.

Но, как говорится, поживём увидим. Если, конечно, доживём и если, конечно, увидим.

#Карнаухов
#Астрофизика
#Авторский_челлендж

Оригинал

🌋 - Звуки смерти или пара слов об ударных волнах

Думаете, что звуки соседской дрели невыносимы? Или же вас ощутимо потряхивало от мощных битов на концерте и, казалось, что громче уже нельзя? Поверьте, это все цветочки, ведь звук может быть не только «раздражающе» громким, но и «разрушающе» громким...

Пролог: Индонезия. Смертоносный звук.

«… у половины экипажа лопнули барабанные перепонки. Мои последние мысли — о моей дорогой жене. Я убеждён, что настал судный день» - из отчёта капитана британского судна Norham Castle, 64 км от места событий.

Ранним утром 27 августа 1883 года планету сотрясли три страшных взрыва: вулкан Кракатау, проснувшийся в мае после длительной спячки, наконец дошёл до кульминационной фазы извержения. Сила третьего, самого мощного выброса более чем в десять тысяч раз превысила силу взрыва, уничтожившего Хиросиму. За 24 часа с карты исчезла вся северная часть острова Кракатау, а тридцатиметровые цунами привели к гибели около 36 тысяч человек и смыли 295 городов и селений. Неспокойная земля породила смертоносные огонь и воду, но ещё до того, как волны добрались до своих жертв, многие поселения уже были разрушены четвертой стихией - мощнейшей воздушной ударной волной. Это был самый громкий звук в истории.

Действие первое: Европа. Открытие.

Примерно в то же время, что и извержение Кракатау, на другом конце Земли кипели свои страсти. Специалисты по баллистике пытались объяснить странное явление, обнаруженное в ходе Франко-Прусской войны: раны солдат, нанесённые с помощью новых французских винтовок, имели воронкообразный характер. Французов подозревали в использовании разрывных пуль, что было прямым нарушением Санкт-Петербургской декларации, принятой странами в 1868 году. Также, артиллерийские части сообщали о необычных «двойных хлопках» во время выпускания снаряда на высокой скорости, при этом на более низких скоростях, был слышен лишь один взрыв.

Для объяснения первого феномена бельгийский баллист Мельсенс выдвинул элегантное решение: он предположил, что высокоскоростной снаряд «сминает» воздух перед собой, и эта сильно сжатая масса может оказывать взрывоподобное воздействие на объекты. Другими словами, Мельсенс предсказал существование ударной волны, которая предшествует сверхзвуковому объекту и является причиной ран в форме воронок. Сначала тело повреждается чрезвычайно плотным воздушным фронтом и только потом самой пулей.

Знаменитый учёный в области оптики и акустики – Эрнст Мах – настолько проникся идеей Мельсенса, что решил подтвердить ее экспериментально, ведь как говорил Крош: «Кругом одни теоретики! А жизнь, это прежде всего — практика». В 1886 году он и его коллега-экспериментатор Петер Зальхер первыми получили фотографии ударной волны (рис.3)

Кроме того, эксперименты Маха и его подробно изложенная теория объясняли и второй феномен – «двойные хлопки»: первый взрыв производится пороховыми газами, вырывающимися из оружия, а второй взрыв - это звуковой удар. Мах так сильно увлёкся развитием этой темы, что основал новый раздел газодинамики, где его самым знаменитым уравнением является формула угла для ударной волны при переходе на сверхзвуковой полет (конус Маха) sin a = c/v, связывающая скорость снаряда и скорость звука в среде. Ну а помимо прочего, всем известное безразмерное число Маха стало главной характеристикой ударных волн.


Действие второе: Немного теории. Почему ударная волна – это уже не совсем звук?

Пение китов, дрель соседа из квартиры напротив и процедура УЗИ у врача – все это примеры звуковых волн разных диапазонов. В воздухе, потревоженном источником звука, начинают распространяться области сжатия и разрежения, где основными изменяющимися параметрами являются давление и плотность. Спокойно тусующиеся, примерно одинаково раскиданные в пространстве молекулы внезапно выводят из равновесия, сгоняя их плотнее, что затем вызывает обратный эффект, и они разбегаются, ненадолго снижая свою концентрацию. Словно воздушная пружина. Частота таких последовательных колебаний плотности воздуха определяет высоту звука.

Большую часть инфразвуковой музыки китов мы не слышим из-за того, что человеческое ухо не способно распознавать волны с частотой ниже 16Гц, а аппарат для УЗИ, наоборот, использует слишком высокие для нас частоты. В свою очередь величина отклонения давления от начального состояния определяет громкость распространяющегося звука. Чем волна плотнее, тем она сильнее давит нам на перепонку, тем, собственно, «ощутимее» для нас звук.

Неподвижный объект, испускающий звуковые волны, по классике сравнивают с брошенным в воду камнем: камень возмущает спокойную водную гладь, вызывая появление кругов, где высота образующихся волн будет амплитудой колебаний – «громкостью» нашей волны. А что если объект начнёт двигаться? Очевидно, что тогда круги, расходящиеся от него, уже не будут иметь общий центр (рис. 3), и точки окружностей спереди будут находиться ближе друг к другу, чем сзади, а значит, частота их звука будет выше. В этом заключается всем известный эффект Доплера, из-за которого появляется тот самый нисходящий вой проносящегося мимо нас поезда.

А теперь представьте, что наш объект двигается все быстрее и быстрее. Мы знаем, что скорость распространения самих волн –скорость звука - это постоянная величина для конкретной среды (для воздуха – каждый «круг» будет расходиться от центра со скоростью около 343 м/с). Бедные волны впереди вынуждены двигаться все ближе и ближе друг к другу, пока вообще не перестанут успевать распространяться по-отдельности и не сольются в один мощнейший фронт, где их плотности накладываются друг на друга, и давление достигает огромных значений. Этот фронт образуется, когда скорость движения объекта равна скорости движения звука в среде, и называется он звуковым барьером или ударной волной.

То есть в грубом приближении, ударная волна – это кульминация эффекта Доплера, его максимальная стадия. Её ещё сравнивают с давкой толпы в узком проходе, когда скорость прибывающих людей больше или равна скорости тех, кто все ещё пытается выйти. При этом, строго говоря, звуковой барьер - уже не совсем звук. В отличие от звуковой волны, которая представляет собой области сжатия-разрежения с малой амплитудой, не изменяющие состояние среды, фронт ударной волны – это всегда только сжатие, скачкообразное изменение всех параметров среды, особенно давления. Причём газ после того, как он прошёл ударную волну (или после того, как ударная волна прошла через газ) обычно имеет более высокую температуру и давление, чего не бывает с обычными звуковыми волнами. В общем, ударная волна – это эдакая аномалия при переходе с дозвуковых скоростей к сверхзвуковым.

Если звук – это просто волны уплотнений и разрежений среды, то он, очевидно, может распространяться не только в газах, но и в жидкостях и даже в твёрдых телах. Собственно киты так и поют где-то на глубине океанов. А вот что насчёт ударных волн в жидкости?

Действие третье: Россия. Гидроудар.

В 1897 году профессору МГУ Николаю Егоровичу Жуковскому было поручено расследование причин внезапных разрушений в московском водопроводе. Появление разрывов труб в самых неожиданных местах было проблемой не только в России, но и в других странах. После почти двух лет опытов и исследований Жуковский в 1899 г. опубликовал свой капитальный труд “О гидравлическом ударе в водопроводных трубах”, который принёс ему мировую известность, был переведён на многие языки и до сих является основой для решения проблемы гидроудара.

Как уже было сказано, ударная волна – это резкий скачок уплотнения в среде, параметры которого во много раз превышают обычные отклонения, вроде звуковых волн. При этом, как говорил сам Мах, по принципу относительности не обязательно разгонять какой-то предмет в среде, чтобы вызвать такой скачок, можно разгонять саму среду (здесь Галилей довольно перевернулся в гробу на другой бок). Вода, по сравнению с газом, сжимается крайне плохо, но все-таки сжимается, поэтому если резко остановить её течение в герметичном сосуде, в точке, где скорость слишком быстро стала равна нулю образуется ударный фронт с высокой плотностью и давлением.

Это происходило при резком закрытии шарового крана или остановке циркуляционного насоса, когда давление в трубе достигало таких значений, что выбивало сами краны или просто расширяло трубу (!), часто с её последующим разрушением.

В своей работе Жуковский предложил различные способы решения проблемы, например медленное закрытие крана, замена шаровых кранов на винтовые задвижки или вентили. До сих пор по его советам во всем мире применяются демпфирующие устройства (гасители гидравлического удара), разрушаемые мембраны и обратные клапаны.

Эпилог. Ещё немного ударных волн.

Извержение вулкана Кракатау по многим данным было самым громким событием в нашей истории. Правда, слово «громкий» здесь стоит воспринимать больше как силу давления, ведь по примерным оценкам в тот момент она составила около 310 децибел, а наши перепонки могут выдержать максимальную «громкость» лишь в 140-145 дБ. Так что такие волны на самом деле воспринимаются человеком не как звук, а как удар (отсюда и название), и понятие «громкость» здесь означает силу этого удара.

Менее мощные, но не менее опасные ударные волны возникают при ядерных взрывах (280 дБ) или падении метеоритов. Например, Тунгусский взрыв оценивают в 300 дБ, что не намного меньше Кракатау, а падение метеорита в Челябинске в 2013 году вызвало ударную волну, выбившую стекла в большинстве зданий города. К тому же, помимо атмосферного фронта, крупные метеориты способны вызвать ударные волны прямо в земной коре – то есть в твёрдом теле.

Есть ещё много подобных примеров, но я все-таки хочу закончить любимой классикой - ударной волной самолёта при переходе на сверхзвук. Она вызывает вокруг интенсивное образование тумана в форме конуса, а её сила составляет обычно около 160 дБ. Так вот, разумеется, мощные ударные волны способны нанести серьёзный урон людям и постройкам, но даже небольшие скачки уплотнения бывают крайне нежелательны, особенно в таком тонком деле как авиация. Явление ударной волны, которое объяснил Мах ещё в 19 веке впоследствии сильно попортило жизнь авиаторам в веке двадцатом. Хотя… это уже совсем другая история.

В общем, любите физику и не бегайте со сверхзвуковыми скоростями.

P.S. В качестве выполнения условия конкурса хочу поздравить с днём рождения Serge Semserovich*, который не только подписан на Кэтсаенс и родился в день выхода этой заметки, но ещё и, как оказалось, мой земляк - и живёт в Иркутске (если подпись в вк не врёт). Приятное совпадение, с днём рождения!

#Грибоедов
#физика
#Авторский_челлендж

Оригинал

Извержение вулкана Хунга Тонга 2022 г.

Прямо перед пулей видно красивый и чёткий фронт.

А тут видно, как прохождение ударной волны отображается на поверхности воды.

Гидроудары также возникают в поршневых двигателях, когда в рабочий цилиндр попадает несжимаемая (слабосжимаемая) жидкость, например, вода.

Эффект Прандтля — Глоерта. Паровой конус, появляющийся при движении самолёта на околозвуковых скоростях.

ВСЕ ПЕЙТЕ ПИВО ПЕННОЕ - БУДЕТ ЖИЗНЬ ОТМЕННАЯ!

Ватсапп, КатСаентисты! Хочу рассказать вам, как минимум, о связи математики и пива. Гарантирую, что после прочтения заметки вы не сможете смотреть на бокал пива прежним взглядом.

Вообразите себе шар, в котором расположены шарики поменьше, причём между ними не остаётся места, то есть они заполняют весь огромный шар целиком. Вы можете делать с большим шаром всё, что заблагорассудится: крутить, вращать, подбрасывать, пинать со всей силы, ̶ж̶а̶л̶о̶в̶а̶т̶ь̶с̶я̶ ̶е̶м̶у̶ ̶н̶а̶ ̶к̶о̶л̶л̶е̶г, но при любом раскладе окажется хотя бы один шарик, который останется на своем прежнем месте. Так звучит теорема Брауэра о неподвижной точке.

Вообще же, если немного углубляться в теорию, то неподвижная точка – это точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, это решение уравнения f(x) = x. С неподвижной точкой на плоскости все довольно элементарно: если график функции пересекает прямую y = x (то есть просто биссектрису 1 и 3 четвертей), то эти точки пересечения и называются неподвижными. Для наглядности прикрепляю пример с тремя неподвижными точками для заданной функции f(x). Но не у каждой функции есть неподвижная точка: например, y = -1/x – обычная гипербола – вообще лежит во 2 и 4 четвертях и неподвижных точек не имеет.

Вот с теоремой о неподвижных точках в пространстве несколько сложнее. Здесь намного легче посмотреть на практические примеры в окружающем мире. По аналогии с шаром из введения можно рассматривать любые объекты, плотно наполненные каким-либо составом. К примеру, если взять бокал пива и любыми методами помешать в нем жидкость (главное – не изменяя объема), то в любой момент времени у нас будет хотя бы одна молекула, которая осталась в том же положении в бокале, что и в первоначальный момент. Да, это действительно взрывает мозг, но так работает математика.

Вообще неподвижные точки играют большую роль в науке. Например, теорема Брауэра нашла применение в «теории критических явлений в связи с фазовыми переходами» американского физика Кеннета Вильсона. За свою работу он был удостоен Нобелевской премии по физике 1982 года.

Вот еще один пример: «Феноменально!» - должно быть, подумал Сидзуо Какутани (на минутку, японский математик) и обобщил результаты Брауэра в 1941 году, представляя миру новую теорему, которая позже была названа в его честь. В скором времени эта теорема была популяризирована известным математиком и экономистом Джоном Нэшем (единственным в истории человеком, получившим за жизнь Нобелевку за экономику и Абеля за математику). Если вы слышали о так называемом «равновесии по Нэшу», то знайте: в его описании тоже напрямую используется неподвижная точка.

Вашему вниманию предлагается демонстрация теоремы о вложенных компактах. Неожиданно? Но, как вы догадываетесь, и эта теорема напрямую связана с неподвижной точкой. Итак, представьте, что перед вами лежит карта, скажем, Москвы: замкнутая область, в нашем случае ограниченная МКАДом по периметру. И пусть у вас в руках будет та же карта – картинка, только уменьшенная во сколько угодно раз – это не имеет значения. На большую карту вы в любое место кладете маленькую (картинка №3) и обводите ее по периметру на крупной. Теперь на маленькой карте находите область, которая обведена на большой (окей, в нашем случае это делается на глаз), и обводите ее теперь уже на этой маленькой карте – картинке. Затем в этой области маленькой карты вы находите окрестность, которая только что была обведена, и стараетесь обвести ее внутри этой миниатюрной области. Поступая таким образом столько раз, сколько нам нужно для заданной точности, мы для удобства делаем отверстие в заданном участке (который в идеале стремится к точке - смотрим на картинку №4), и в результате получаем, что и большая, и маленькая карта проколоты в одном и том же географическом месте (в одинаковом районе или доме). И, как понимаете, такая неподвижная точка будет находиться всегда, независимо от масштабов наших карт и того, куда мы изначально положим маленькую карту.

В действительности примеров применения теорем о неподвижных точках очень много, и все вместе они мне напоминают сцену из фильма «Быть Джоном Малковичем», где главный герой в какой-то момент оказался внутри своего сознания и видел вместо людей лишь свои копии. Так же и здесь: вроде неподвижная точка одна, но проявляется в стольких вариациях, начиная от теоремы Брауэра и заканчивая теоремой о вложенных компактах, что голова идёт кругом (прямо, кстати, как у героя кино в тот момент).

В итоге, дорогие друзья, хочется ещё раз отметить: если вам кажется, что все меняется и что «как прежде уже не будет», помните, что какая-та часть «прежнего» навсегда останется жить в таком понятии, как неподвижная точка.

#Вараксин
#математика
#Авторский_челлендж

Оригинал