проста авторська
зелене коло - описане, червоні - кола нейберга(або нойберга) трикутника ABC. доведіть, що прямі PA, QB, RC і прямі PD, QE, RF перетинаються в деяких точках.

думаю, що це класика.
два зелені кола такі, що дотикаються до кожного із червоних. P, Q - їх центри, а R - радикальний центр трьох червоних кіл, докажіть, що P, Q, R колінеарні.

чотирикутник ABCD вписаний. між прямими AB, BC, CD, DA розміщено квадрат EFGH, коло описане навколо нього перетинає ці прямі другий раз в точках P, Q, R, S. доведіть, що PR⊥QS.

до речі, це також правда, якщо EFGH просто ортодіагональний

задача на побудову. побудуйте квадрат кожна з вершин якого A, B, C, D лежить на даних прямих a, b, c, d.

задача максимально проста, хоч і здається складною на перший погляд, там всього лиш подібні трикутники

до речі, це узагальнюється на два подібні прямокутники

а тепер, задача про них. дано прямокутники DEFG і KLMN, вписані в ABC. доведіть, якщо AP і CQ перетинаються в точці X, то BX - перпендикуляр до AC.

в трикутнику ABC вибрана довільна точка D, а на AD, BD, CD - E, F, G. прямі BG та CF, CE та BG, BE та AF - перетинаються в точках P, Q, R. доведіть, що AP, BQ, CR перетинаються в одній точці.

знайдіть усі цілі рішення (x, y, z, n) для рівняння x^n+y^n=z^n+1

ну, і ще дещо про цю конструкцію. точки бріаншона шестикутників AGBEF, ARBPCQ, ERFPGQ - конкурентні

кожна із пунктирних прямих ділить трикутник на два, таким чином, що їх вписані кола рівні(вони позначені одним кольором). доведіть, що вони перетинаються в одній точці

якщо зелені перпендикуляри перетинаються в одній точці, то пунктирні - також.

якщо я не помиляюсь, то це задача ще від якоба штейнера.

хоча до дня святого патріка ще дуже далеко, но ось авторська задача на тему. дано трилистник Г заданий параметрично (x, y) -> (1/2sin(2t)+2sin(1/2t), 1/2cos(2t)+2cos(1/2t)). для деякої т. O вибрано т. A на Г, щоб відстань від O до другої т. перетину з Г була рівна OA. доведіть, що дотичні до Г в точках A і B перетинаються на колі OA

Я забув дещо зазначити. O знаходиться на колі x^2+y^2=1/4

а тепер задачка про щасливий чотирилистник. доведіть, що <DEF=36 градусів(цей чотирилистник це крива з сімейства епіциклоїд)

із точки A проведені дотичні до параболи Г, <BAC=90°. коло ω1 проходить через фокус і дотикається до Г в B, а ω2 в C. доведіть, що ω1 і ω2 ортогональні.