червона фігура - коніка, зелена - кубіка. між ними провели всі можливі спільні дотичні. доведіть що отримані точки дотику до кубіки лежать на одній коніці.

доведіть що між асимптот гіпербол з центрами на серединах висот можна вписати коніку.

на сторонах AB, AC побудовано рівносторонні трикутники ABC' і ACB'. їх описані кола перетинають сторони трикутника в K, L, M, N. Q - перетин KL і MN. доведіть, що AQ перпендикулярно BC

зелені відрізки - нормалі, червоні - дотичні. доведіть нерівність.

зелені точки P, Q є фокусами описаної коніки. синє коло - педальне для однієї із них. червоне коло з центром I вписане в трикутник ABC. доведіть, якщо P, Q, I на одній прямій, тоді синє і червоне дотикаються.

новорічна.
O9 - центр 9 точок. кольорові кола дотикаються в основах O9 і проходять через відповідні вершини. якщо D, E, F - їх центри, доведіть що AD, BE, CF перетинаються в одній точці.

трикутник ABC обертається між колом описаним і вписаним еліпсом з спільним центром O. доведіть, що величина BC²+CA²+AB² - константа.

P - перспектор трикутників DEF і GHI. S - центр фіолетового кола. I_a, Ge_a - інцентр та жергонн трикутника SBC відповідно. доведіть що P лежить на прямій через вказані точки.

для k>4, докажіть що при (x,y)=1 у рівняння
x^k±y^k=n! нема рішень

K, L - основи бісектрис кутів B, C. фіолетова коніка ізогональна KL. X, Y - ізогонально спряжені і XY дотикається до фіолетової коніки. доведіть що триполяра X та прямі KL, XI_A конкурентні.

цікавий факт про одну кубіку. X і X' ізотомічно спряжені, Na - точка нагеля. якщо сума червоних відрізків рівна сумі зелених, тоді X, X', Na колінеарні.

про параболічну точку мікеля.
в повному чотиристоріннику чотирибічнику ABCDEF провели 4 параболи з паралельними осями через вершини трикутників ABC, ADE, CEF, BDF. вочевидь вони перетнулись в одній точці. доведіть, що ця точка лежить на вписаній параболі чотирибічника.

відома річ, що центри кардіоїд що дотикаються до сторін трикутника лежать на сторонах трикутника морлі. тим часом якщо центром вписаної кардіоїди є середина між вершинами трикутника морлі, тоді трикутник з точок дотику перспективний даному.

точка P така, що в перпендикуляри до сторін в основах її чевіан перетинаються в Q. через P провели 3 прямі паралельні до сторін, отримавши паралелограми PBaACa, PCbBAb, PAcCBc.

доведіть що R - радикальний центр кіл (ABaCa), (BCbAb), (CAcBc) належить PQ.

пряма l перетинає сторони трикутника ABC в точках A1, B1, C1, так що A1B=B1C=C1A. A2, B2, C2 симетричні A1, B1, C1 відносно середин сторін і утворюють пряму l'.відповідно до того як напрямлені відрізки A1B, B1C, C1A - вибирається вписане коло, його точка жергона Ge і точка нагеля Na.

доведіть, що l, l' і GeNa перетинаються в одній точці.

давненько тут не було олімпіадних задач.

точка X вибрана на (ABC). DEF - її чевіанний трикутник. <DYE=<BXA, <DYF=<CXA. Y' інверсна Y відносно (ABC). якщо Y'' ізогональна Y', тоді вона лежить на колі 9 точок трикутника ABC.

дано трикутник ABC. O - центр описаного кола (ABC). P вибрана на овалі кассіні з центром в центрі кола 9 точок, що проходить через точки A, B, C. доведіть що педальне коло точки P проходить через серединку відрізка OP.

в трикутнику ABC, точки P, Q є фокусами вписаної коніки 𝒞₁. 𝒞₂ проходить через O - центр описаного кола (ABC), а також має спільні фокуси P, Q з 𝒞₁. доведіть що коло через точки перетину 𝒞₁ із 𝒞₂ дотикається до кола 9 точок трикутника ABC.