дано випуклий шестикутник ABCDEF. відомо, що чотирикутники ABCE, BCDF, CDEA гармонійні. доведіть, що AB*CD*EF=BC*DE*FA.

переформулюю задачку, що поспіхом видалив.
дано випуклий n-кутник A{1}A{2}...A{n} і довільна точка P всередині нього. доведіть, що хоча б один із кутів <PA1A2,..., <PAn-1An, <PAnA1 менший ніж pi*(n-2)/2n

класична задача на побудову:
якщо дано прямі AB, AC і OH трикутника ABC, то відновіть по них ABC

ще одна задача на побудову: дано прямі p і q і довільну точку K, побудуйте на p таку точку X, щоб відстані до q і K були рівні

проста авторська
зелене коло - описане, червоні - кола нейберга(або нойберга) трикутника ABC. доведіть, що прямі PA, QB, RC і прямі PD, QE, RF перетинаються в деяких точках.

думаю, що це класика.
два зелені кола такі, що дотикаються до кожного із червоних. P, Q - їх центри, а R - радикальний центр трьох червоних кіл, докажіть, що P, Q, R колінеарні.

чотирикутник ABCD вписаний. між прямими AB, BC, CD, DA розміщено квадрат EFGH, коло описане навколо нього перетинає ці прямі другий раз в точках P, Q, R, S. доведіть, що PR⊥QS.

до речі, це також правда, якщо EFGH просто ортодіагональний

задача на побудову. побудуйте квадрат кожна з вершин якого A, B, C, D лежить на даних прямих a, b, c, d.

задача максимально проста, хоч і здається складною на перший погляд, там всього лиш подібні трикутники

до речі, це узагальнюється на два подібні прямокутники

а тепер, задача про них. дано прямокутники DEFG і KLMN, вписані в ABC. доведіть, якщо AP і CQ перетинаються в точці X, то BX - перпендикуляр до AC.

в трикутнику ABC вибрана довільна точка D, а на AD, BD, CD - E, F, G. прямі BG та CF, CE та BG, BE та AF - перетинаються в точках P, Q, R. доведіть, що AP, BQ, CR перетинаються в одній точці.

знайдіть усі цілі рішення (x, y, z, n) для рівняння x^n+y^n=z^n+1

ну, і ще дещо про цю конструкцію. точки бріаншона шестикутників AGBEF, ARBPCQ, ERFPGQ - конкурентні

кожна із пунктирних прямих ділить трикутник на два, таким чином, що їх вписані кола рівні(вони позначені одним кольором). доведіть, що вони перетинаються в одній точці

якщо зелені перпендикуляри перетинаються в одній точці, то пунктирні - також.

якщо я не помиляюсь, то це задача ще від якоба штейнера.