виявляється що для центрів AXC, BXD, CXE, DXF, EXA, FXB в довільному шестикутнику з конкурентними головними діагоналями не завжди лежать на одній коніці, я ще не досліджував повну умову, але в частковому випадку твердження правдиве, коли ABCDEF вписаний.

теорема монжа, або ортоцентр вписаного чотирикутника

якщо точка P лежить на кубиці фокусів чотирикутника ABCD(або простіше кажучи, якщо в неї є ізогонально спряжена точка Q), то центри описаних кіл APB, BPC, CPD, DPA лежать на одному колі.(узагальнення того факту про точку Ω і центри описаних кіл)

я сильно затупив, це неправда

чотирикутник ABCD гармонійний, M - середина AC, а N - середина - BD, кола описані навколо трикутників AMB, BNC, CMD, DNA перетинаються в одній точці.(доречі, ця задача є дуже хорошою вправою на кути)

знову факт про точки брокара. P середина ΩΩ', M, N, середини AC і BD. доведіть, що P лежить на прямій ньютона чотирикутника ABCD

дано випуклий шестикутник ABCDEF. відомо, що AB*CE=BC*AE, BC*DF=CD*BF, CD*EA=DE*CA. доведіть, що AB*CD*EF=BC*DE*FA.

я забув, що AB*CD=BC*AD не значить що чотирикутник гармонійний, зараз переформулюю.

дано випуклий шестикутник ABCDEF. відомо, що чотирикутники ABCE, BCDF, CDEA гармонійні. доведіть, що AB*CD*EF=BC*DE*FA.

переформулюю задачку, що поспіхом видалив.
дано випуклий n-кутник A{1}A{2}...A{n} і довільна точка P всередині нього. доведіть, що хоча б один із кутів <PA1A2,..., <PAn-1An, <PAnA1 менший ніж pi*(n-2)/2n

класична задача на побудову:
якщо дано прямі AB, AC і OH трикутника ABC, то відновіть по них ABC

ще одна задача на побудову: дано прямі p і q і довільну точку K, побудуйте на p таку точку X, щоб відстані до q і K були рівні

проста авторська
зелене коло - описане, червоні - кола нейберга(або нойберга) трикутника ABC. доведіть, що прямі PA, QB, RC і прямі PD, QE, RF перетинаються в деяких точках.

думаю, що це класика.
два зелені кола такі, що дотикаються до кожного із червоних. P, Q - їх центри, а R - радикальний центр трьох червоних кіл, докажіть, що P, Q, R колінеарні.

чотирикутник ABCD вписаний. між прямими AB, BC, CD, DA розміщено квадрат EFGH, коло описане навколо нього перетинає ці прямі другий раз в точках P, Q, R, S. доведіть, що PR⊥QS.

до речі, це також правда, якщо EFGH просто ортодіагональний

задача на побудову. побудуйте квадрат кожна з вершин якого A, B, C, D лежить на даних прямих a, b, c, d.

задача максимально проста, хоч і здається складною на перший погляд, там всього лиш подібні трикутники

до речі, це узагальнюється на два подібні прямокутники