цікавий доказ існування точки перетину бісектрис, хоча ні, існування ексцентрів B і C передбачає існування точки перетину бісектрис, коротше, точка перетину бісектрис серединного трикутника - це радикальний центр трьох зовнівписаних кіл

якщо чотирикутник гармонійний і описаний, то докажіть синтетично, що його діагоналі перпендикулярні

в гармонійному чотирикутнику ABCD існують дві такі точки Ω і Ω', що зелені і червоні кути рівні, E - перетин прямих AΩ і DΩ', F - CΩ і BΩ', G - DΩ і CΩ', H - BΩ і AΩ', докажіть, що точки Ω, Ω', E, F, G, H лежать на одному колі.

еліпс з фокусами Ω і Ω' вписаний в ABCD, дотикається до сторін AD і BC в точках K_2 і K_1. докажіть, що пряма K1K2 співпадає з прямою EFPG(ця пряма це досить відомий факт)

в гармонійному чотирикутнику ABCD центри кіл ΩAB, ΩBC, ΩCD, ΩDA - E, F, G, H, конциклічні

ABCD гармонійний чотирикутник з центром описаного кола в точці O. центри кіл ΩAB, ΩBC, ΩCD,- E, F, G, H, лежать на колі ω1, а центри Ω'AB, Ω'BC, Ω'CD, Ω'DA - I, J, K, L на ω2. докажіть, що радикальна вісь MN кіл ω1 і ω2 містить O.

напевно остання задача по точках брокара в гармонійному чотирикутнику. доведіть, що кут брокара менший за 45°

я пробував вирішувати і замітив, що точка перетину діагоналей також лежить на цьому колі

узагальнення, для інших багатокутників малювати лінь.

задача на побудову: знайдіть дві ізогонально спряжені точки P і Q відносно трикунтника ABC по їх середині M.

)

і знову центри кіл. в шестикутнику ABCDEF прямі AD, BE, CF перетинаються в точці X. докажіть, що центри описаних кіл трикутників AXB, BXC, CXD, DXE, EXF, FXA лежать на одній коніці.

виявляється що для центрів AXC, BXD, CXE, DXF, EXA, FXB в довільному шестикутнику з конкурентними головними діагоналями не завжди лежать на одній коніці, я ще не досліджував повну умову, але в частковому випадку твердження правдиве, коли ABCDEF вписаний.

теорема монжа, або ортоцентр вписаного чотирикутника

якщо точка P лежить на кубиці фокусів чотирикутника ABCD(або простіше кажучи, якщо в неї є ізогонально спряжена точка Q), то центри описаних кіл APB, BPC, CPD, DPA лежать на одному колі.(узагальнення того факту про точку Ω і центри описаних кіл)

я сильно затупив, це неправда

чотирикутник ABCD гармонійний, M - середина AC, а N - середина - BD, кола описані навколо трикутників AMB, BNC, CMD, DNA перетинаються в одній точці.(доречі, ця задача є дуже хорошою вправою на кути)

знову факт про точки брокара. P середина ΩΩ', M, N, середини AC і BD. доведіть, що P лежить на прямій ньютона чотирикутника ABCD

дано випуклий шестикутник ABCDEF. відомо, що AB*CE=BC*AE, BC*DF=CD*BF, CD*EA=DE*CA. доведіть, що AB*CD*EF=BC*DE*FA.

я забув, що AB*CD=BC*AD не значить що чотирикутник гармонійний, зараз переформулюю.