впринципі, я одразу додумався лише до технічного методу:
нехай точки P, Q ізогонально спряжені, тоді вони задовольняють трилінійним рінянням:
ax+by+cz=0
a/x+b/y+c/z=0
далі, знайшовши абсолютні трилінійні координати, можна побудувати P і Q.

якщо знаєте красиве синтетичне рішення, то поділіться будь-ласка!

коротше, мені написали в одному геом чаті, що задачка якось так вирішується через 9.8 з шаригінської олімпіади.
P, Q лежать на колі EFA.

не знаю чи це правда, але якщо все-таки...
назвемо ізогональне спряження точки X ->f(X), а ізотомічне g(X), тоді якщо X, f(x) і f(g(x)) колінеарні, тоді X, g(x), g(f(x)) також.
це просто спостереження в geogebra, тобто це може бути і неправдою.

картинка вийшла досить поганою, я не знаю як точно побудувати таку точку X для якої таке виконується + ці дві прямі дуже близькі, тому колінеарність може бути хибною.

коли розглядав подібні конфігурації, то замітив такий красивий факт. X' - ізотомічне спряження. К - точка лемуана. H, O', K', H' лежать на одній прямій.

ну а ось і класика.
побудуйте трикутник ABC по вершинах D, E, F рівносторонніх трикутників побудованих на сторонах BC, CA, AB.

знову якась дивна задача, що прийшла в голову. чи існує гіпербола, що проходить через A, B, C і дотикається до вписаного еліпса штейнера

дуже проста лемма, баян на кути

цікавий доказ існування точки перетину бісектрис, хоча ні, існування ексцентрів B і C передбачає існування точки перетину бісектрис, коротше, точка перетину бісектрис серединного трикутника - це радикальний центр трьох зовнівписаних кіл

якщо чотирикутник гармонійний і описаний, то докажіть синтетично, що його діагоналі перпендикулярні

в гармонійному чотирикутнику ABCD існують дві такі точки Ω і Ω', що зелені і червоні кути рівні, E - перетин прямих AΩ і DΩ', F - CΩ і BΩ', G - DΩ і CΩ', H - BΩ і AΩ', докажіть, що точки Ω, Ω', E, F, G, H лежать на одному колі.

еліпс з фокусами Ω і Ω' вписаний в ABCD, дотикається до сторін AD і BC в точках K_2 і K_1. докажіть, що пряма K1K2 співпадає з прямою EFPG(ця пряма це досить відомий факт)

в гармонійному чотирикутнику ABCD центри кіл ΩAB, ΩBC, ΩCD, ΩDA - E, F, G, H, конциклічні

ABCD гармонійний чотирикутник з центром описаного кола в точці O. центри кіл ΩAB, ΩBC, ΩCD,- E, F, G, H, лежать на колі ω1, а центри Ω'AB, Ω'BC, Ω'CD, Ω'DA - I, J, K, L на ω2. докажіть, що радикальна вісь MN кіл ω1 і ω2 містить O.

напевно остання задача по точках брокара в гармонійному чотирикутнику. доведіть, що кут брокара менший за 45°

я пробував вирішувати і замітив, що точка перетину діагоналей також лежить на цьому колі

узагальнення, для інших багатокутників малювати лінь.

задача на побудову: знайдіть дві ізогонально спряжені точки P і Q відносно трикунтника ABC по їх середині M.