простенька задача на параболи. якщо у цих трьох парабол спільний фокус, то пунктирні прямі перетинаються в одній точці.

ще одна. якщо у даних парабол спільна директриса, то пунктирні прямі знову ж таки перетинаються в одній точці.

простенький, але красивий факт

я колись давно придумав метод для приближення f(x)=x^1/n, ідея дуже тупа і сам метод працює ефективно лише для n=2, 3, а взагалі працює лише до 5(теорема абеля-руффіні передає привіт).
метод:
y_0 будемо називати близьким до y, якщо -1<y_0-y<1, тепер розглянемо таку послідовність біномів двох близьких чисел (x_0-x^1/n)^m, якщо припустити, що (x_0-x^1/n)^m=0, то отримаємо рівняння n-1 степені для x^1/n, так як (x^(1/n))^m стає константою. в загальному(для m=n), це зводиться до вираження y через x в такому рівнянні:
(y_0-y)^n-(-y)^n=x*(-1)^(n+1)

приклад:
(cuberoot(2)-1)^3=2-3cuberoot(2^2)+3cuberoot(2)-1=1+3x-3x^2=0 cuberoot(2)=(3+sqrt(21))/6

я розписав цей метод, бо може хтось знає як узагальнити на комплексні числа, чи може це якийсь відомий метод теорії апроксимацій?

також, ще давніше я думав, як подивитися на функціональні рівняння під іншим кутом, бо якщо є рівняння для таких відображень як функцій, то має бути і для операторів, які є по своїй суті відображеннями між функціями. я цю ідею не розвивав, навряд чи я перший додумався, но ось рівняння:
L(f) - оператор в просторі функцій
L(fg)=L(f)+L(g)

задача на побудову:
на даній прямій побудуйте дві ізогонально спряжені точки відносно даного трикутника ABC

*або докажіть що ця побудова неможлива

впринципі, я одразу додумався лише до технічного методу:
нехай точки P, Q ізогонально спряжені, тоді вони задовольняють трилінійним рінянням:
ax+by+cz=0
a/x+b/y+c/z=0
далі, знайшовши абсолютні трилінійні координати, можна побудувати P і Q.

якщо знаєте красиве синтетичне рішення, то поділіться будь-ласка!

коротше, мені написали в одному геом чаті, що задачка якось так вирішується через 9.8 з шаригінської олімпіади.
P, Q лежать на колі EFA.

не знаю чи це правда, але якщо все-таки...
назвемо ізогональне спряження точки X ->f(X), а ізотомічне g(X), тоді якщо X, f(x) і f(g(x)) колінеарні, тоді X, g(x), g(f(x)) також.
це просто спостереження в geogebra, тобто це може бути і неправдою.

картинка вийшла досить поганою, я не знаю як точно побудувати таку точку X для якої таке виконується + ці дві прямі дуже близькі, тому колінеарність може бути хибною.

коли розглядав подібні конфігурації, то замітив такий красивий факт. X' - ізотомічне спряження. К - точка лемуана. H, O', K', H' лежать на одній прямій.

ну а ось і класика.
побудуйте трикутник ABC по вершинах D, E, F рівносторонніх трикутників побудованих на сторонах BC, CA, AB.

знову якась дивна задача, що прийшла в голову. чи існує гіпербола, що проходить через A, B, C і дотикається до вписаного еліпса штейнера

дуже проста лемма, баян на кути

цікавий доказ існування точки перетину бісектрис, хоча ні, існування ексцентрів B і C передбачає існування точки перетину бісектрис, коротше, точка перетину бісектрис серединного трикутника - це радикальний центр трьох зовнівписаних кіл

якщо чотирикутник гармонійний і описаний, то докажіть синтетично, що його діагоналі перпендикулярні

в гармонійному чотирикутнику ABCD існують дві такі точки Ω і Ω', що зелені і червоні кути рівні, E - перетин прямих AΩ і DΩ', F - CΩ і BΩ', G - DΩ і CΩ', H - BΩ і AΩ', докажіть, що точки Ω, Ω', E, F, G, H лежать на одному колі.