OL - вісь брокара. T1 і T2 - точки торрічеллі, доведіть що T1T2 перпендикулярна BC

а ніхто навіть реакцію не поставив(

дякую за реакції

добра задача. доведіть що фокуси конциклічні.

(зауважу, що кожен з кутів трикутника має бути > 30°, для вірності задачі)

на перший погляд ні, але також добра задача.

P, Q - ізогонально спряжені відносно ABC. кола із центрів кіл (BPC), (CPA), (APB) і (BQC), (CQA), (AQB) - співвісні з (ABC).

а чому б і ні. гарну задачу можна багато разів постити)

добре. ось справді красива задача.

пунктирна пряма - одна із осей еліпса штейнера. доведіть рівність зелених кутів

червона фігура - коніка, зелена - кубіка. між ними провели всі можливі спільні дотичні. доведіть що отримані точки дотику до кубіки лежать на одній коніці.

доведіть що між асимптот гіпербол з центрами на серединах висот можна вписати коніку.

на сторонах AB, AC побудовано рівносторонні трикутники ABC' і ACB'. їх описані кола перетинають сторони трикутника в K, L, M, N. Q - перетин KL і MN. доведіть, що AQ перпендикулярно BC

зелені відрізки - нормалі, червоні - дотичні. доведіть нерівність.

зелені точки P, Q є фокусами описаної коніки. синє коло - педальне для однієї із них. червоне коло з центром I вписане в трикутник ABC. доведіть, якщо P, Q, I на одній прямій, тоді синє і червоне дотикаються.

новорічна.
O9 - центр 9 точок. кольорові кола дотикаються в основах O9 і проходять через відповідні вершини. якщо D, E, F - їх центри, доведіть що AD, BE, CF перетинаються в одній точці.

трикутник ABC обертається між колом описаним і вписаним еліпсом з спільним центром O. доведіть, що величина BC²+CA²+AB² - константа.

P - перспектор трикутників DEF і GHI. S - центр фіолетового кола. I_a, Ge_a - інцентр та жергонн трикутника SBC відповідно. доведіть що P лежить на прямій через вказані точки.

для k>4, докажіть що при (x,y)=1 у рівняння
x^k±y^k=n! нема рішень

K, L - основи бісектрис кутів B, C. фіолетова коніка ізогональна KL. X, Y - ізогонально спряжені і XY дотикається до фіолетової коніки. доведіть що триполяра X та прямі KL, XI_A конкурентні.

цікавий факт про одну кубіку. X і X' ізотомічно спряжені, Na - точка нагеля. якщо сума червоних відрізків рівна сумі зелених, тоді X, X', Na колінеарні.

про параболічну точку мікеля.
в повному чотиристоріннику чотирибічнику ABCDEF провели 4 параболи з паралельними осями через вершини трикутників ABC, ADE, CEF, BDF. вочевидь вони перетнулись в одній точці. доведіть, що ця точка лежить на вписаній параболі чотирибічника.