дано трикутник ABC, інцентр I. провели довільну коніку Г з ізогонально спряженими відносно ABC фокусами P, Q. доведіть, тоді що точки E, F для яких IE і IF це дотичні до Г - ізогонально спряжені.

а. скутін, 2017

задача від @mamonovclhgffkuffhj

(!) існує коло що дотикається до описаного і гіперболи жерабека і проходить через ортоцентр і центр описаного кола

ну і ось лема за тим же авторством, яку я згадав в коментарях.
сині точки P, Q ізогональні. через них і вершини проведено коніку (ABCPQ), точка перетину U якої з описаним колом (ABC), що відрізняється від вершин. через U провели довільну пряму, яка перетинає (ABC) в R і (ABCPQ) в S.

(!) доведіть вписаність чотирикутника PQRS

ну і щоб життя медом не здавалось... задачка тепер вже за моїм авторством...

доведіть, що триполяра точки ізогонально спряженої до точки вписаного еліпса штейнера - дотикається до описаного кола (ABC).

доведіть, якщо рожева точка на K003 тоді оранжевий і голубий трикутник ортологічні

ну і дуже красивий класичний факт.

(!) ортоцентр контактного трикутника і точка перетину прямих ейлера трикутників IBC, ICA, IAB - ізогональні.

фіолетова пряма і червона гіпербола ізогональні. P - центр гіперболи.

(!) доведіть, що зелений кут - прямий.

добра задача

зла задача

доведіть що пряма через центр червоної гіперболи, що відсікає колом 9 точок рівні відрізки на (ABC) - дотикається до вписаного кола трикутника ABC.

до речі. ви могли знати цю пряму як "четверту сторону трикутника" чи "пряму шермана"

доведіть, якщо перспектор вписаної коніки знаходиться на описаному колі, тоді її центр лежить на триполярі ортоцентра.

Красные точки - пересечения биссектрис противоположных углов, а зеленая - изогональное сопряжение точки пересечения диагоналей. Доказать что красный угол равен 90°.

задача з авторського каналу @mamonovclhgffkuffhj

OL - вісь брокара. T1 і T2 - точки торрічеллі, доведіть що T1T2 перпендикулярна BC

а ніхто навіть реакцію не поставив(

дякую за реакції

добра задача. доведіть що фокуси конциклічні.

(зауважу, що кожен з кутів трикутника має бути > 30°, для вірності задачі)

на перший погляд ні, але також добра задача.

P, Q - ізогонально спряжені відносно ABC. кола із центрів кіл (BPC), (CPA), (APB) і (BQC), (CQA), (AQB) - співвісні з (ABC).

а чому б і ні. гарну задачу можна багато разів постити)

добре. ось справді красива задача.

пунктирна пряма - одна із осей еліпса штейнера. доведіть рівність зелених кутів

червона фігура - коніка, зелена - кубіка. між ними провели всі можливі спільні дотичні. доведіть що отримані точки дотику до кубіки лежать на одній коніці.