в трикутнику ABC проводять висоти BB1, CC1. середини BC1 і B1C - M1, M2 відповідно. із вершини A проводять половинки висот(паралельні до них) AM3||CC1, AM4||BB1.
довести, що M1M2M3M4 прямокутник

ладно, давайте якусь задачу придуману сходу? чи як така задача називається, докажіть, що на прямій P,Q(P і Q ізогонально спряжені) більше нема ізогонально спряжених точок(очевидно, що відносно деякого трикутника ABC)

хоча я на 100% впевнений, так як ізогоналітет прямої це квадрика, а вона перетинає пряму лише в двух точках

ой, випадково вирішив

занадто просту задачу придумав

ладно, придумав тяжкішу. дано трикутник ABC, і вписане коло w з центром I, на колі є 6 точок P1, P2, P3, Q1, Q2, Q3. де P_i ізогонально спряжена Q_i. докажіть що прямі P1Q1, P2Q2 і одна із бісктрис перетинаються в одній точці

картинка буде

потім

картинка

не геома?(треба ж її чимось розбавляти)
прості алгебраїчні задачки на сьогодні
розкладіть на множники:
(8x^4-8x^2+1)^2+(8y^4-8y^2+1)^2-1
підказка: трига

знайдіть рівняння що зв'язує координати (x,y) на любій точці кривої Ліссажу
підказка: многочлени Чебишева

в трикутник ABC вписано еліпс Г з фокусами в O, H і перспектором N, докажіть що пунктирні відрізки рівні

це дуже класична задача на оптичну властивість еліпса, можна навіть сказати баян

я тільки зараз поняв, що точка N зайва

виправлена картинка і формулювання:
в трикутник ABC вписано еліпс Г з фокусами в O, H, він дотикається сторони AC в точці K, а пряма BO перетинає її в P. докажіть що AK=CP.

джерело: WolframMathWorld. MacBeath Inconic

так краще

Я забув що не публікував тут сьогодні задач, тому ось простенька: докажіть, що у діофантового рівняння a^2+b^2=3^n немає рішень в цілих числах.

І ще одна(непідйомна). Докажіть що у діофантового рівняння p+p^3=q+q^2 нескінченна кількість рішень.

Я так подумав, а чи вірний в загальному факт що у рівняння a^2+b^2=m^n скінченна множина розв'язків?