думаю це відомий факт, але виглядає прикольно. через A, B ,C, O, H провели гіперболу і вибрали на ній точку X. прямі AX, BX, CX перетинають описане коло в D, E, F які відобразили відносно BC, CA, AB отримавши D', E', F'. доведіть, що трикутники ABC і D'E'F' перспективні.

точки A, B, C відобразили відносно BC, CA, AB отримавши A', B', C'. якщо I_A, I_B, I_C центри відповідних зовнівписаних кіл, то доведіть, що A'I_A, B'I_B, C'I_C проходять через одну точку

ну і дещо із старих конструкцій.
доведіть, що ізогональне спряження P лежить на середній лінії до основи BC.

цікаво чи через 255 рішається, хоча може просто схоже.

ранковий баян. кола (AXI_A), (BXI_B), (CXI_C) завжди співвісні.

точка P така, що її чевіанний трикутник DEF рівносторонній. T - центр DEF, O - центр описаного кола ABC. доведіть, що Т, O, P колінеарні.

до речі, хтось знає ще якісь властивості точки P?

довго думав чи викладати, но виглядає гарно.
чевіанний трикутник DEF точки P - рівносторонній, (DEF) перетинає сторони трикутника вдруге у K, L, M, відповідні чевіани AK, BL, CM перетинаються в R(очевидно із степені точки). Q - ізогональне спряження P. доведіть, що P, Q, R - одна пряма.

не люблю такі задачі, но...

N - точка нагеля. доведіть, що P, Q, R на одній прямій.

ось вам трохи класики.
точки без позначок - середини сторін.
P, Q - перетини двох червоних і зелених кіл.
G - центр мас A, B, C, D.
доведіть, що відмічені точки колінеарні.

коніку що проходить через вершини B, C ізогонально відобразили відносно ABC
1. доведіть, що її образ - також коніка
2. якщо один із фокусів був в точці A, то доведіть, що він зберігся

придумайте хтось узагальнення, пж, бо мені лінь

AD - бісектриса, I1, I2 - центри вписаних кіл ABD, ACD.
Довести, що I1I2 та зовнішня бісектриса кута А перетинаються на BC.

узагальнення 😈.
AP і AQ - ізогоналі. I_1, I_2 - центри вписаних кіл ABP і ACQ.
доведіть, що лінія центрів цих кіл проходить через зовнішню бісектрису кута A.

здається давно не було задач на побудову.
A, B, C - точки коніки Г, F_1, F_2 - фокуси. побудуйте F_2, якщо всі інші точки дано.

попередня задача якась складна. тоді пропоную таку.
побудуйте фокус вписаної в ABC параболи по перспектору

все, це остання задача на побудову підряд.
побудуйте точку по її колу хагге(якщо хтось не знає що це, то пояснення на картинці)

чудовищна чудова задача.
точку X трикутника ABC відобразили відносно сторін і отримали точки P, Q, R, а їх відносно решти і отримали P_B, P_C, Q_C, Q_A, R_A, R_B.
доведіть, якщо (PQR) дотикається кіл (PQ_{A}R_{A}), (P_{B}QR_{B}), (P_{C}Q_{C}R), то прямі AP, BQ, CR перетинаються в одній точці

K3 - точка дотику вписаного кола ABC до AB
T - точка дотику зовнівписаного кола проти вершини A до AC
A' - діаметрально протилежна точка до А відносно (ABC)
Ib - центр зовнівписаного кола проти B
(!) A'Ib, K3T перпендикулярні

Точка A
Пряма l крізь точку A
точка S напевно не на прямій l
Якийсь відрізок k
Побудувати точки B, C на l такі що кут BSC прямий і AB*AC=k^2

Трикутник ABC, довільна точка D на його описаному колі.
S - точка перетину дотичних в B, C до (ABC).
M1 - середина BC.
G - перетин BC, (AM1D).
E - перетин AC, BD
Довести, що S, E, G колінеарні.

на 100 підписників чекайте невеличку статтю про синтетику епіциклоїд