"вечірній гроб"
дано правильний n-кутник A{1}A{2}...A{n}, його описане коло ω і довільна точка P. прямі A{1}P, A{2}P,...,A{n}P перетинають ω у B{1}, B{2},...,B{n}. доведіть, що у многокутник B{1}B{2}...B{n} можна вписати коніку.

надобраніч

до вписаного чотирикутника ABCD проведено прямі PA, PB, PC, PD, які перетинають його описане коло в E, F, G, H. доведіть, що точки перетину діагоналей M і N цих 4кутників колінеарні з P.

досить корисна лема.
дано трикутник ABC його інцентр - I, центр зовнівписаного кола I_A, і ізогонально спряжені точки P і Q. тоді точки B, C, I, I_A, P, Q лежать на одній коніці.

і ще одна. G - центроїд ABC, A' доповнює до паралелограма. P і Q ізотомічно спряжені. із цього слідує, що B, C, G, A', P, Q лежать на одній коніці.

в чаті олімпіадної геометрії сплив один факт про точки дотику вписаних кіл прямокутного трикутника, ось більш загальне твердження для довільного трикутника.
пунктирні криві - коніки.
напевно баян як завжди)))

ну тут ще така шиза є. довго думав чи постити, но точка перетину хороша. X(64)

але це для таких конік. для інших там якась X(N) N>1000.

в трикутник ABC вписано дві коніки. зелена дотикається до BC в P, а червона в Q. AP перетинає червону в N, AQ зелену в M, доведіть, що дотичні в цих точках перетинаються на BC.

простенька задачка спеціально для тих хто поставив губи і пігулки на попередній пост.
перпендикуляр із B до дотичної в C і із C до дотичної в B перетинаються в D. доведіть, що AD містить центр кола 9 точок.

назвемо ортотрансверсальним спряженням точки P відносно ABC - другу точку перетину кіл (APA_{1}), (BPB_{1}), (CPC_{1}).
1.доведіть що ці кола завжди співвісні
2.доведіть, якщо P належить колу 9 точок, то P' описаному колу.

p. s. поправте мене, якщо у цього спряження є інша назва.

у трикутників ABC і DEF спільне описане коло. доведіть, що H_{ABC}H_{DEF} паралельно G_{ABC}G_{DEF}.

шиза напевно. ортотрансверсаль інцентра - триполяра X(57).

доведіть, що парабола, що проходить через B, C, I, I_A дотикається до описаного кола ABC.

p. s. знаю що це вже було в каналі, но може хтось знайде гарне рішення без кубік.

ну і знову задача про вписані параболи.
дано дві діаметрально протилежні точки P і Q на (BIC), проведено параболи Ω_1 і Ω_2 через B, C, P, Q.
1. доведіть, що Ω_1 і Ω_2 дотикаються до (ABC).
2. якщо M і N точки дотику, то доведіть, що вони діаметрально протилежні.

думаю знову ж таки баян на теорему нілова.


невеличка поправка. червоні кути не між параболами, а між хордами кола (BIC)

(!) Вписаний еліпс з фокусами у ортоцентрі та центрі описаного кола дотикається до кола Ейлера

H - ортоцентр ABC. точки дотику вписаних кіл HBC, HCA, HAB до BC, CA, AB - D, E, F. доведіть, що прямі AD, BE, CF перетинаються в одній точці.

я ненавиджу geogebra 5. я зробив досить точну приблизну побудову, а виявляється факт не правдивий. найбільш залайкана задача - фейк. більше не поститиму задач в 3 ночі. вибачте, підписники.

а ще я не знаю як забрати цю "задачу" з аватарки каналу.

розминка. тримайте щось просте і добре на ранок.
в трапеції ABCD зелене коло через AB дотикається до CD в P. доведіть, що (ADP) і (BCP) перетинаються на AB.

хоча, вона запроста. пропоную тоді вирішити через додавання точок на кубиці.

думаю це відомий факт, але виглядає прикольно. через A, B ,C, O, H провели гіперболу і вибрали на ній точку X. прямі AX, BX, CX перетинають описане коло в D, E, F які відобразили відносно BC, CA, AB отримавши D', E', F'. доведіть, що трикутники ABC і D'E'F' перспективні.