моя улюблена авторська задача. дано описаний чотирикутник EFGH і його точки дотику A, B, C, D. як на картинці будується октаграма AEDHCGBFA, і відзначаються зовнішні точки самоперетину K, L, M, N, P, Q, I, J.
Доказати:
1. що точки зовнішнього самоперетину лежать на одній коніці
2. що у восьмикутник із внутрішніх точок самоперетину можна вписати коніку.

(я знаю, що вона вирішується проективою в 2 кроки, але якщо без проективи...)

також крута задача. я досліджував траєкторію ортоцентра відносно "рейок Евкліда" і отримав таку красу.

дано параболу з фокусом F і відстанню від фокуса до директриси f, дано пряму BC яка паралельна директрисі перетинає параболу відповідно у точках B, C. відкладемо пряму || BC на відстані 2f від неї. тоді вибравши довільну точку A на ній, ортоцентр H, трикутника ABC завжди лежатиме на параболі.

перша авторка. в рівносторонньому трикутнику ABC AF/FB=CI/IA=1:2. L -перетин CF і BI. доказати, що <ALB прямий.

підказка: юзайте симетрію

всі кольорові трикутники рівносторонні. як видно з картинки треба доказати колінеарність точок A, F, G. (задача вирішується одним кроком через спільну точку Торічеллі, але краще вирішити через поворот)

напевне найлегша серед всі моїх задач. пятикутники правильні, пунктирними прямими позначено колінеарні точки.

підказка: в правильного багатокутника завжди є описане коло.

в трикутнику ABC проводять висоти BB1, CC1. середини BC1 і B1C - M1, M2 відповідно. із вершини A проводять половинки висот(паралельні до них) AM3||CC1, AM4||BB1.
довести, що M1M2M3M4 прямокутник

ладно, давайте якусь задачу придуману сходу? чи як така задача називається, докажіть, що на прямій P,Q(P і Q ізогонально спряжені) більше нема ізогонально спряжених точок(очевидно, що відносно деякого трикутника ABC)

хоча я на 100% впевнений, так як ізогоналітет прямої це квадрика, а вона перетинає пряму лише в двух точках

ой, випадково вирішив

занадто просту задачу придумав

ладно, придумав тяжкішу. дано трикутник ABC, і вписане коло w з центром I, на колі є 6 точок P1, P2, P3, Q1, Q2, Q3. де P_i ізогонально спряжена Q_i. докажіть що прямі P1Q1, P2Q2 і одна із бісктрис перетинаються в одній точці

картинка буде

потім

картинка

не геома?(треба ж її чимось розбавляти)
прості алгебраїчні задачки на сьогодні
розкладіть на множники:
(8x^4-8x^2+1)^2+(8y^4-8y^2+1)^2-1
підказка: трига

знайдіть рівняння що зв'язує координати (x,y) на любій точці кривої Ліссажу
підказка: многочлени Чебишева

в трикутник ABC вписано еліпс Г з фокусами в O, H і перспектором N, докажіть що пунктирні відрізки рівні

це дуже класична задача на оптичну властивість еліпса, можна навіть сказати баян

я тільки зараз поняв, що точка N зайва

виправлена картинка і формулювання:
в трикутник ABC вписано еліпс Г з фокусами в O, H, він дотикається сторони AC в точці K, а пряма BO перетинає її в P. докажіть що AK=CP.

джерело: WolframMathWorld. MacBeath Inconic

так краще