добра задача.
в трикутнику ABC вибрано довільну т. P. коло APB перетинає AC, BC в M, N, а APC перетинає AB, BC в K, L. KL і MN перетнулись в Q. доведіть, що QN=QL

і ще дещо,
1.за якої умови A, P, Q колінеарні?
2.дослідіть конструкцію коли P=I, K...(I-інцентр, K - симедіана)

на сторонах AB, AC побудовано рівносторонні трикутники ABC' і ACB'. їх описані кола перетинають сторони трикутника в K, L, M, N. Q - перетин KL і MN. доведіть, що AQ перпендикулярно BC

дано четвірку точок A, B, C, D. центри описаних кіл ABC, BCD, CDA, DAB - O, O_A, O_B, O_C. доведіть, що O і D - ізогоналі відносно трикутника O_{A}O_{B}O_{C}

казочка задачка на ніч.
E, F - середини AC і BD чотирикутника ABCD. прямі AF, BE, CF, DE утворюють описаний чотрикутник PQRS, доведіть що A, B, C, D лежать на одному колі.

дано n "стаканів" з об'ємами води рівними натуральним числам a_{1}, a_{2},..., a_{n} і каструля з водою. можна переливати з i-го стакана в j-тий, але не можна виливати воду. чи можна завжди наповнити кастрюлю на [(a_{1}+...+a_{n})/n], дайте верхню і нижню оцінки мінімальної кількості переливань.
(авторська задача)

задача з мого brainrot каналу по всьому що хоч частково алгебра.

в ABC вписано рівносторонній трикутник DEF, доведіть, що точка перетину кіл AEF, BFD, CDE не залежить від вибору точки D.

бажаю удачі підписникам на відборах на RMM, якщо хтось пише.

в трикутнику ABC проведена нагеліана AK. доведіть, що її кола тебо рівні.

пряма через точку перетину симедіан K, проходить через точки D, E, F на сторонах BC, CA, AB трикутника ABC. BE і CF, CF і AD, AD і BE перетинаються в P, Q, R. доведіть, що точка інцидентності X прямих AP, BQ, CR належить описаному колу.

хз, наскільки баян, скоріше всього є в акопяні-заславському, ну в etc як мінімум. OH, T{1}Ap{1}, T{2}Ap{2} паралельні між собою.

коніка з фокусами в B, C перетинає AB в K і N, AC в L і M. BL і CK, BM і CN перетинаються в P, Q. доведіть, що прямі AP і AQ ізотомічно спряжені.

проста авторська
ABC - правильний. P - довільна точка площини. M - середина AB, W - середина дуги AB. CP перетинає (ABC) в точці X. Q - точка перетину (CXM) і AB - Q.R - (PXW) і (PBC). доведіть, що P, Q, R колінеарні.

"вечірній гроб"
дано правильний n-кутник A{1}A{2}...A{n}, його описане коло ω і довільна точка P. прямі A{1}P, A{2}P,...,A{n}P перетинають ω у B{1}, B{2},...,B{n}. доведіть, що у многокутник B{1}B{2}...B{n} можна вписати коніку.

надобраніч

до вписаного чотирикутника ABCD проведено прямі PA, PB, PC, PD, які перетинають його описане коло в E, F, G, H. доведіть, що точки перетину діагоналей M і N цих 4кутників колінеарні з P.

досить корисна лема.
дано трикутник ABC його інцентр - I, центр зовнівписаного кола I_A, і ізогонально спряжені точки P і Q. тоді точки B, C, I, I_A, P, Q лежать на одній коніці.

і ще одна. G - центроїд ABC, A' доповнює до паралелограма. P і Q ізотомічно спряжені. із цього слідує, що B, C, G, A', P, Q лежать на одній коніці.

в чаті олімпіадної геометрії сплив один факт про точки дотику вписаних кіл прямокутного трикутника, ось більш загальне твердження для довільного трикутника.
пунктирні криві - коніки.
напевно баян як завжди)))

ну тут ще така шиза є. довго думав чи постити, но точка перетину хороша. X(64)

але це для таких конік. для інших там якась X(N) N>1000.