в трикутнику ABC вибрана довільна т. P. D, E, F, K, L, M - середини BC, CA, AB, AP, BP, CP. доведіть, що прямі KD, LE, MF перетинаються в одній точці.

дивна задача, взагалі не геометрія напевно. дано n кіл α{1}, a{2},..., α{n} на площині і довільна точка P. інверсією P відносно α{i} позначимо inv_i. inv_1(P)=A_{1}, inv_{i%n}(A{i-1})=A{i}.
гіпотеза: A{m+n*N} прямує до деякої точки Q всередині кола α{m}, але такої, що inv_n-1(...inv_1(inv_n((...(inv_m+1(Q)...)=Q.
вибачаюсь за громіздкість, ось картинка з частковим випадком(n=4), де трохи інші позначки.
якщо хтось придумає як це можна вирішити синтетично(без координат), то напишіть під це повідомлення, будь ласка!

в деякому n-кутнику A{1}A{2}...A{n} знайшлась така точка P що видна під кутом 2π/n до всіх сторін A{i}A{i+1}. доведіть, що ця точка є точкою штейнера(сумма відстаней до вершин мінімальна) цього n-кутника.

в трикутнику ABC задана деяка кубіка q, яка проходить через його вершини та інцентр. D, E, F - точки перетину q зі сторонами BC, AC, AB. виявилось, що чевіани цих точок перетинаються в т. P, що належить q. в додачу, ізогональне спряження P - Q також належить q. доведіть, що AQ - дотична до q.

через ABC і чевіанний трикутник P - DEF, провели деяку кубіку, доведіть, що дотичні в A, B, C перетинаються в одній точці.

виявилось, що у вписаному чотирикутнику ABCD знайшлась така точка, що кольорові кути рівні, який інваріант від його сторін. inv(AB, BC, CD, DA)=0

якщо у вписаному п'ятикутнику ABCDE висоти(перпендикуляри з A,B,C,D,E до CD,DE,EA,AB,BC) перетинаються в одній точці H, то O,G,H лежать на одній прямій

проста авторська. виявилось, що серединний перпендикуляр до BC дотикається до вписаного кола в т.P, доведіть, що A, точка дотику зовнівписаного кола - E і P лежать на одній прямій.

в трикутнику ABC вибрана довільна точка P. центроїди BCP, CAP, ABP позначено G_A, G_B, G_C відповідно. якщо N - центр кола 9 точок, то доведіть, що PN є діаметром кола G_{A}G_{B}G_{C}

вечірній баян

AA{1}, BB{1}, CC{1} - висоти трикутника ABC. B{1}C{1} перетинає AA{1} в K. M - середина B{1}C{1}. доведіть, що B, C, K, M лежать на одному колі.

замітив це, але все ще не можу додуматись як це доказати через додавання точок

дано трикутник ABC і коніка Г вписана в нього, дотична в точці P перетинає сторони BC, CA, AB в точках D, E, F. доведіть, що точки чеви?(полюси триполяри, но я не знаю яка правильна термінологія) лежать на одній прямій - триполярі перспектора

питання до експертів.
трикутник KML називають античевіанним трикутником точки S відносно ABC?

по мотивах конкурсної задачі з каналу кухарчука, хто рішить синтетично - дам адмінку(хотя кому вона потрібна((((.
в трикутнику ABC на стороні BC вибрана довільна точка D а на AC і AB - E і F такі що CD=CF і BD=BE. доведіть, що геометричне місце точок центроїдів DEF - пряма.

щось з гіфками не то

узагальнення однієї задачки.
в трикутник ABC вписано коніку Г і на ній знайшлась така точка P_1, що ізогонально спяжена їй точка Q_1 належить Г, і аналогічні точки P_2 і Q_2. доведіть, що точка перетину P_1Q_1 і P_2Q_2 лежить на одній із бісектрис кутів A,B,C

до епіциклоїди проведено дотичні як показано на малюнку. знайдіть кут між ними.