дано еліпс з фокусами в A, B, який проходить через C, і з фокусами в A, C, який проходить через B, доведіть, що точка перетину спільних дотичних D цих еліпсів лежить на BC.

а тепер задача на колінеарність, що слідує із цієї конструкції.

в трикутнику ABC з ортоцентром H, провели кола BHC, CHA, AHB і медіани a, b, c. коло PQR дотикається до кожного із кіл BHC, CHA, AHB в точках P, Q, R відповідно. доведіть, що P є a, Q є b, R є c.

на жаль в каналі зовсім нема активу, тому під цим повідомленням пропоную написати про свою улюблену задачу з тих що тут були.

задача про золоту трапецію
AB || CD, φ=(1+√5)/2
побудовані півкола на сторонах BA і CD, позначимо одну з точок перетину - E(як на малюнку), доведіть, що кут <AED=45°

сьогодні напевне день півкіл. дано довільні точки A, B, C, D на площині. побудовано півкола a, b, c, d на діаметрах - AB, BC, CD, DA. E, F - точки перетину a і b, c і d. доведіть, що A, C, E, F лежать на одній прямій.

до речі, це найпростіша задача в каналі

висоти перетинають сторони BC, CA, AB трикутника ABC в точках D, E, F відповідно. K - перетин AD і EF. Коло BKC перетинає другий раз AB і AC в P, Q. доведіть що PQ || EF.

два кола ω1, ω2 з центрами M і N дотикаються в D. B і C - інверсні відображення довільної т.A відносно першого і другого кола відповідно. коло ABC перетинає їх у F і E. доведіть, що AD, BE, CF перетинаються в одній точці.

F_A, F_B, F_C - точки дотику кола 9 точок з зовнівписаними(або розумніше - зовнішні точки феєрбаха). доведіть, що прямі AF_A, BF_B, CF_C перетинаються в одній точці.

баян. задана деяка кубіка q на площині, через неї проходить пряма DEF. в точках D, E, F проведено дотичні, які перетинають q в P, Q, R. доведіть, що P, Q, R колінеарні.

в трикутнику ABC вибрана довільна т. P. D, E, F, K, L, M - середини BC, CA, AB, AP, BP, CP. доведіть, що прямі KD, LE, MF перетинаються в одній точці.

дивна задача, взагалі не геометрія напевно. дано n кіл α{1}, a{2},..., α{n} на площині і довільна точка P. інверсією P відносно α{i} позначимо inv_i. inv_1(P)=A_{1}, inv_{i%n}(A{i-1})=A{i}.
гіпотеза: A{m+n*N} прямує до деякої точки Q всередині кола α{m}, але такої, що inv_n-1(...inv_1(inv_n((...(inv_m+1(Q)...)=Q.
вибачаюсь за громіздкість, ось картинка з частковим випадком(n=4), де трохи інші позначки.
якщо хтось придумає як це можна вирішити синтетично(без координат), то напишіть під це повідомлення, будь ласка!

в деякому n-кутнику A{1}A{2}...A{n} знайшлась така точка P що видна під кутом 2π/n до всіх сторін A{i}A{i+1}. доведіть, що ця точка є точкою штейнера(сумма відстаней до вершин мінімальна) цього n-кутника.

в трикутнику ABC задана деяка кубіка q, яка проходить через його вершини та інцентр. D, E, F - точки перетину q зі сторонами BC, AC, AB. виявилось, що чевіани цих точок перетинаються в т. P, що належить q. в додачу, ізогональне спряження P - Q також належить q. доведіть, що AQ - дотична до q.

через ABC і чевіанний трикутник P - DEF, провели деяку кубіку, доведіть, що дотичні в A, B, C перетинаються в одній точці.

виявилось, що у вписаному чотирикутнику ABCD знайшлась така точка, що кольорові кути рівні, який інваріант від його сторін. inv(AB, BC, CD, DA)=0

якщо у вписаному п'ятикутнику ABCDE висоти(перпендикуляри з A,B,C,D,E до CD,DE,EA,AB,BC) перетинаються в одній точці H, то O,G,H лежать на одній прямій